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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
    2. 8 + 30 = 38
    Ergebnis:
    38
  2. ●40
    Rechne: (8 + 5) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 5 = 13
    2. 13 · 6 = 78
    Ergebnis:
    78

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 6 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 3 = 18
    2. 8 + 18 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 34 und erhalte 43. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 17 + 84 + 3 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
17843
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 17 + 3 + 84
  2. 17 + 3 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 84 = 104
  1. Vertauschen: 17 + 3 + 84
  2. 17 + 3 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 84 = 104
Ergebnis:
104

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 39 + 66 + 61
    396661
    So fängst du an:
    Vertauschen: 39 + 61 + 66
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 39 + 61 + 66
    2. 39 + 61 = 100
    3. 100 + 66 = 166
    Ergebnis:
    166
  2. ●2
    Noah rechnet 21 + 64 + 29 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    216429
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 29 + 64
    2. 21 + 29 = 50
    3. 50 + 64 = 114
    Ergebnis:
    114
  3. ★3
    Lina rechnet 927 + 656 + 73 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    92765673
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 927 + 73 + 656
    2. 927 + 73 = 1000
    3. 1000 + 656 = 1656
    Ergebnis:
    1656

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Aylin rechnet 299 + 95 als 300 + 95. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
29995
Schritt für Schritt
  1. Aylin hat 299 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 95 = 395.
  3. 1 wieder abziehen: 395 − 1 = 394
  1. Aylin hat 299 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 95 = 395.
  3. 1 wieder abziehen: 395 − 1 = 394
Ergebnis:
394

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeynep rechnet 199 + 69 als 200 + 69. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    19969
    So fängst du an:
    Zeynep hat 199 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 69 = 269.
    3. 1 wieder abziehen: 269 − 1 = 268
    Ergebnis:
    268
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 66
    3766
    Lösung zeigen
    1. 37 bekommt 3 dazu, 66 gibt 3 ab.
    2. 37 + 66 = 40 + 63
    3. 40 + 63 = 103
    Ergebnis:
    103
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1999 + 592 = 2000 + ___
    1999592
    Lösung zeigen
    1. 1999 wird zu 2000: 1 mehr.
    2. Also muss 592 um 1 kleiner werden: 592 − 1 = 591
    3. 2000 + 591 = 2591
    Ergebnis:
    591

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 31
Schritt für Schritt
  1. 31 = 30 + 1
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
  3. 270 + 9 = 279
  1. 31 = 30 + 1
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
  3. 270 + 9 = 279
Ergebnis:
279

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Reihen mit je 34 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 34
    Lösung zeigen
    1. 6 · 34
    2. 34 = 30 + 4
    3. 6 · 30 = 180 und 6 · 4 = 24
    4. 180 + 24 = 204
    Ergebnis:
    204 Stühle
  2. ●8
    Es gibt 4 Tüten mit je 36 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 36
    2. 36 = 30 + 6
    3. 4 · 30 = 120 und 4 · 6 = 24
    4. 120 + 24 = 144
    Ergebnis:
    144 Bonbons
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
    3. 120 − 6 = 114
    Ergebnis:
    114

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

114 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 114 : 6
  2. 114 = 60 + 54
  3. 60 : 6 = 10 und 54 : 6 = 9
  4. 10 + 9 = 19
  1. 114 : 6
  2. 114 = 60 + 54
  3. 60 : 6 = 10 und 54 : 6 = 9
  4. 10 + 9 = 19
Ergebnis:
19 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 112 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 112 : 4?
    112: 4
    So fängst du an:
    112 = 80 + 32
    Lösung zeigen
    1. 112 = 80 + 32
    2. 80 : 4 = 20 und 32 : 4 = 8
    3. 20 + 8 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 354 : 6
    Lösung zeigen
    1. 354 = 300 + 54
    2. 300 : 6 = 50 und 54 : 6 = 9
    3. 50 + 9 = 59
    Ergebnis:
    59
  3. ★12
    1494 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1494 : 9
    2. 1494 = 1440 + 54
    3. 1440 : 9 = 160 und 54 : 9 = 6
    4. 160 + 6 = 166
    Ergebnis:
    166 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 84 − 56 = ___ − 58
Schritt für Schritt
  1. 56 wird zu 58: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 84 um 2 größer.
  3. 84 + 2 = 86
  1. 56 wird zu 58: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 84 um 2 größer.
  3. 84 + 2 = 86
Ergebnis:
86

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 + 40 = 11 + ___
    12 + 40=11 + ?
    So fängst du an:
    12 wird zu 11: 1 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 12 wird zu 11: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 40 um 1 größer.
    3. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 63 − 50 = ___ − 51
    Lösung zeigen
    1. 50 wird zu 51: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 63 um 1 größer.
    3. 63 + 1 = 64
    Ergebnis:
    64
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 12 = 8 · ___
    16 · 12=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
Schritt für Schritt
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    So fängst du an:
    18 · 5 = 9 · 10
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Zeynep verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 35
    Lösung zeigen
    1. 14 · 35 = 7 · 70
    2. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 53? Nenne ihn und rechne.
6 · 53zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 53 = 50 + 3.
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 3 = 18
  3. Zusammen: 318
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 53 = 50 + 3.
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 3 = 18
  3. Zusammen: 318
Ergebnis:
zerlegen, 318

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 176 + 299? Nenne ihn und rechne.
    176 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 176 + 299 = 175 + 300
    3. 175 + 300 = 475
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 475
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 36 + 34 + 64? Nenne ihn und rechne.
    36 + 34 + 64zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 36 + 64 = 100
    3. 100 + 34 = 134
    Ergebnis:
    vertauschen, 134
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 153 + 598? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 153 + 598 = 151 + 600
    3. 151 + 600 = 751
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 751

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia erhält für 66 · 37 das Ergebnis 2342. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 70 · 40 = 2800
  2. 2342 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 66 · 37 = 2442
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 70 · 40 = 2800
  2. 2342 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 66 · 37 = 2442
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 2442

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Hanna rechnet 384 : 8 und erhält 58. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    384 : 8Ergebnis 58?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 58 · 8 = 464
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 58 · 8 = 464
    2. 464 ist nicht 384: Es ist falsch.
    3. 384 : 8 = 48
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 48
  2. ●23
    Jonas erhält für 22 · 18 das Ergebnis 496. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 20 · 20 = 400
    2. 496 liegt zu weit weg. Genau: 22 · 18 = 396
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 396
  3. ★24
    Jonas rechnet 2149 : 7 und erhält 307. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    2149 : 7Ergebnis 307?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 307 · 7 = 2149
    2. 2149 ist genau 2149: Es stimmt.
    3. 2149 : 7 = 307
    Ergebnis:
    stimmt, 307

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 6 + 58 + 34 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    65834
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 34 + 58
    2. 6 + 34 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 58 = 98
    Ergebnis:
    98
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Kisten. In jeder Kiste sind 16 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Kisten16 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 16
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 16 = 1600
    Ergebnis:
    1600 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 57 = 50 + ___
    4757
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
    2. Also muss 57 um 3 kleiner werden: 57 − 3 = 54
    3. 50 + 54 = 104
    Ergebnis:
    54
  4. ●28
    Paul rechnet 130 − 48 als 130 − 50 und erhält 80. Ist das schon das Ergebnis?
    130 − 48130 − 50
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 80 + 2 = 82
    Ergebnis:
    Nein, 82
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
    3. 200 − 4 = 196
    Ergebnis:
    196
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 25 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2053
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 20 = 60
    2. Rechter Teil: 3 · 5 = 15
    3. Zusammen: 60 + 15 = 75
    Ergebnis:
    75 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Noah rechnet 28 + 73 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    287322
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    123

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Elias rechnet 297 + 95 als 300 + 95. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    29795
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    392

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 9 Hefte mit je 42 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    378 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 76 : 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    19

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 56 − 17 = ___ − 18
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan erhält für 63 · 35 das Ergebnis 2105. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2205

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 166
  2. 114
  3. 1656
  4. 268
  5. 103
  6. 591
  7. 204 Stühle
  8. 144 Bonbons
  9. 114
  10. 28
  11. 59
  12. 166 Murmeln
  13. 41
  14. 64
  15. 24
  16. 90
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  18. 490
  19. gegensinnig verändern, 475
  20. vertauschen, 134
  21. gegensinnig verändern, 751
  22. falsch, richtig ist 48
  23. falsch, richtig ist 396
  24. stimmt, 307
  25. 98
  26. 1600 Bälle
  27. 54
  28. Nein, 82
  29. 196
  30. 75 Kästchen
  31. 123
  32. 392
  33. 378 Hefte
  34. 19
  35. 57
  36. 180
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. falsch, richtig ist 2205
  39. 38
  40. 78
  41. 26
  42. 9