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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 2 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 6 = 12
    2. 5 + 12 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●40
    Rechne: (8 + 9) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 9 = 17
    2. 17 · 5 = 85
    Ergebnis:
    85

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 2 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 5 = 10
    2. 8 + 10 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 55. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 6 + 12 + 34 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
61234
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 6 + 34 + 12
  2. 6 + 34 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 12 = 52
  1. Vertauschen: 6 + 34 + 12
  2. 6 + 34 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 12 = 52
Ergebnis:
52

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lina rechnet 74 + 64 + 26 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    746426
    So fängst du an:
    Vertauschen: 74 + 26 + 64
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 74 + 26 + 64
    2. 74 + 26 = 100
    3. 100 + 64 = 164
    Ergebnis:
    164
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 56 + 27 + 4 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    56274
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 56 + 4 + 27
    2. 56 + 4 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 27 = 87
    Ergebnis:
    87
  3. ★3
    Sofia rechnet 127 + 241 + 173 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    127241173
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 127 + 173 + 241
    2. 127 + 173 = 300
    3. 300 + 241 = 541
    Ergebnis:
    541

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 44
3844
Schritt für Schritt
  1. 38 bekommt 2 dazu, 44 gibt 2 ab.
  2. 38 + 44 = 40 + 42
  3. 40 + 42 = 82
  1. 38 bekommt 2 dazu, 44 gibt 2 ab.
  2. 38 + 44 = 40 + 42
  3. 40 + 42 = 82
Ergebnis:
82

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 48
    29848
    So fängst du an:
    298 bekommt 2 dazu, 48 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 48 gibt 2 ab.
    2. 298 + 48 = 300 + 46
    3. 300 + 46 = 346
    Ergebnis:
    346
  2. ●5
    Elias rechnet 199 + 23 als 200 + 23. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    19923
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 23 = 223.
    3. 1 wieder abziehen: 223 − 1 = 222
    Ergebnis:
    222
  3. ★6
    Emma rechnet 399 + 126 als 400 + 126. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    399126
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 399 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 400 + 126 = 526.
    3. 1 wieder abziehen: 526 − 1 = 525
    Ergebnis:
    525

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Hefte mit je 36 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 36
  2. 36 = 30 + 6
  3. 5 · 30 = 150 und 5 · 6 = 30
  4. 150 + 30 = 180
  1. 5 · 36
  2. 36 = 30 + 6
  3. 5 · 30 = 150 und 5 · 6 = 30
  4. 150 + 30 = 180
Ergebnis:
180 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Tüten mit je 62 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 62
    Lösung zeigen
    1. 9 · 62
    2. 62 = 60 + 2
    3. 9 · 60 = 540 und 9 · 2 = 18
    4. 540 + 18 = 558
    Ergebnis:
    558 Bonbons
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 52
    Lösung zeigen
    1. 52 = 50 + 2
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 2 = 6
    3. 150 + 6 = 156
    Ergebnis:
    156
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
    3. 150 − 5 = 145
    Ergebnis:
    145

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 549 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 549 : 9?
549: 9
Schritt für Schritt
  1. 549 = 540 + 9
  2. 540 : 9 = 60 und 9 : 9 = 1
  3. 60 + 1 = 61
  1. 549 = 540 + 9
  2. 540 : 9 = 60 und 9 : 9 = 1
  3. 60 + 1 = 61
Ergebnis:
61

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 224 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 224 : 4?
    224: 4
    So fängst du an:
    224 = 200 + 24
    Lösung zeigen
    1. 224 = 200 + 24
    2. 200 : 4 = 50 und 24 : 4 = 6
    3. 50 + 6 = 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●11
    Zerlege 256 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 256 : 8?
    256: 8
    Lösung zeigen
    1. 256 = 240 + 16
    2. 240 : 8 = 30 und 16 : 8 = 2
    3. 30 + 2 = 32
    Ergebnis:
    32
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 192 : 6
    Lösung zeigen
    1. 192 = 180 + 12
    2. 180 : 6 = 30 und 12 : 6 = 2
    3. 30 + 2 = 32
    Ergebnis:
    32

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 59 + 13 = 69 + ___
59 + 13=69 + ?
Schritt für Schritt
  1. 59 wird zu 69: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 13 um 10 kleiner.
  3. 13 − 10 = 3
  1. 59 wird zu 69: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 13 um 10 kleiner.
  3. 13 − 10 = 3
Ergebnis:
3

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 10 = 8 · ___
    16 · 10=8 · ?
    So fängst du an:
    16 wird halb so groß: 8.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 24 + 41 = 23 + ___
    24 + 41=23 + ?
    Lösung zeigen
    1. 24 wird zu 23: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 41 um 1 größer.
    3. 41 + 1 = 42
    Ergebnis:
    42
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 28 + 51 = 30 + ___
    28 + 51=30 + ?
    Lösung zeigen
    1. 28 wird zu 30: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 51 um 2 kleiner.
    3. 51 − 2 = 49
    Ergebnis:
    49

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 373 + 399? Nenne ihn und rechne.
    373 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 373 + 399 = 372 + 400
    3. 372 + 400 = 772
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 772
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 59? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 59 = 50 + 9.
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 9 = 45
    3. Zusammen: 295
    Ergebnis:
    zerlegen, 295
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 151 + 299? Nenne ihn und rechne.
    151 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 151 + 299 = 150 + 300
    3. 150 + 300 = 450
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 450

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul erhält für 22 · 13 das Ergebnis 86. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 20 · 10 = 200
  2. 86 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 22 · 13 = 286
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 20 · 10 = 200
  2. 86 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 22 · 13 = 286
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 286

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom rechnet 539 − 387 und erhält 162. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 162 + 387 = 549
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 162 + 387 = 549
    2. 549 ist nicht 539: Es ist falsch.
    3. 539 − 387 = 152
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 152
  2. ●23
    Lea erhält für 81 · 15 das Ergebnis 2215. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
    2. 2215 liegt zu weit weg. Genau: 81 · 15 = 1215
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1215
  3. ★24
    Aylin erhält für 326 · 43 das Ergebnis 14.118. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 40 = 12.000
    2. 14.118 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 326 · 43 = 14.018
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 14.018

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Sofia rechnet 6 + 23 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    62314
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 14 + 23
    2. 6 + 14 = 20
    3. 20 + 23 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 50 · 19 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    50192
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 19
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 19 = 1900
    Ergebnis:
    1900
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 36 = 100 + ___
    9736
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 36 um 3 kleiner werden: 36 − 3 = 33
    3. 100 + 33 = 133
    Ergebnis:
    33
  4. ●28
    Mia rechnet 214 − 199 als 214 − 200 und erhält 14. Ist das schon das Ergebnis?
    214 − 199214 − 200
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 14 + 1 = 15
    Ergebnis:
    Nein, 15
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 1 = 9
    3. 450 − 9 = 441
    Ergebnis:
    441
  6. ●30
    Jonas rechnet 4 · 17 so: erst 4 · 10, dann 7 dazu. Jonas erhält 47. Zeige am Bild, was fehlt.
    1074
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 7 Kästchen, nicht nur 7.
    2. Rechter Teil: 4 · 7 = 28
    3. 40 + 28 = 68
    Ergebnis:
    68

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Can rechnet 28 + 53 + 72 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    285372
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    153

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Mia rechnet 98 + 94 als 100 + 94. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    9894
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    192

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 35
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 266 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 266 : 7?
    266: 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 97 − 62 = ___ − 67
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    102

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 27? Nenne ihn und rechne.
    7 · 27zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 189

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea erhält für 32 · 14 das Ergebnis 548. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 448

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 164
  2. 87
  3. 541
  4. 346
  5. 222
  6. 525
  7. 558 Bonbons
  8. 156
  9. 145
  10. 56
  11. 32
  12. 32
  13. 20
  14. 42
  15. 49
  16. 80
  17. 90
  18. 400
  19. gegensinnig verändern, 772
  20. zerlegen, 295
  21. gegensinnig verändern, 450
  22. falsch, richtig ist 152
  23. falsch, richtig ist 1215
  24. falsch, richtig ist 14.018
  25. 43
  26. 1900
  27. 33
  28. Nein, 15
  29. 441
  30. 68
  31. 153
  32. 192
  33. 210
  34. 38
  35. 102
  36. 400
  37. zerlegen, 189
  38. falsch, richtig ist 448
  39. 17
  40. 85
  41. 18
  42. 52