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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 53 − 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
    2. 53 − 30 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●40
    Rechne: (8 + 8) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 8 = 16
    2. 16 · 6 = 96
    Ergebnis:
    96

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 5 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 3 = 15
    2. 9 + 15 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 25 und erhalte 59. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Milan rechnet 29 + 25 + 31 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
292531
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 29 + 31 + 25
  2. 29 + 31 = 60
  3. 60 + 25 = 85
  1. Vertauschen: 29 + 31 + 25
  2. 29 + 31 = 60
  3. 60 + 25 = 85
Ergebnis:
85

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 21 + 31 + 9
    21319
    So fängst du an:
    Vertauschen: 21 + 9 + 31
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 9 + 31
    2. 21 + 9 = 30
    3. 30 + 31 = 61
    Ergebnis:
    61
  2. ●2
    Rechne geschickt: 46 + 51 + 54
    465154
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 46 + 54 + 51
    2. 46 + 54 = 100
    3. 100 + 51 = 151
    Ergebnis:
    151
  3. ★3
    Can rechnet 22 + 856 + 35 + 78 + 65 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    22856357865
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 22 + 78 + 35 + 65 + 856
    2. 22 + 78 = 100 und 35 + 65 = 100
    3. 100 + 100 + 856 = 1056
    Ergebnis:
    1056

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 23
3823
Schritt für Schritt
  1. 38 bekommt 2 dazu, 23 gibt 2 ab.
  2. 38 + 23 = 40 + 21
  3. 40 + 21 = 61
  1. 38 bekommt 2 dazu, 23 gibt 2 ab.
  2. 38 + 23 = 40 + 21
  3. 40 + 21 = 61
Ergebnis:
61

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lina rechnet 198 + 73 als 200 + 73. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    19873
    So fängst du an:
    Lina hat 198 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 73 = 273.
    3. 2 wieder abziehen: 273 − 2 = 271
    Ergebnis:
    271
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 79
    4779
    Lösung zeigen
    1. 47 bekommt 3 dazu, 79 gibt 3 ab.
    2. 47 + 79 = 50 + 76
    3. 50 + 76 = 126
    Ergebnis:
    126
  3. ★6
    Hanna rechnet 997 + 496 als 1000 + 496. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    997496
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 997 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 1000 + 496 = 1496.
    3. 3 wieder abziehen: 1496 − 3 = 1493
    Ergebnis:
    1493

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 4 Reihen mit je 28 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 4 · 28
  2. 28 = 20 + 8
  3. 4 · 20 = 80 und 4 · 8 = 32
  4. 80 + 32 = 112
  1. 4 · 28
  2. 28 = 20 + 8
  3. 4 · 20 = 80 und 4 · 8 = 32
  4. 80 + 32 = 112
Ergebnis:
112 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
    3. 120 − 3 = 117
    Ergebnis:
    117
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 36
    Lösung zeigen
    1. 36 = 30 + 6
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 6 = 36
    3. 180 + 36 = 216
    Ergebnis:
    216
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
    3. 180 − 9 = 171
    Ergebnis:
    171

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 91 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 91 : 7?
91: 7
Schritt für Schritt
  1. 91 = 70 + 21
  2. 70 : 7 = 10 und 21 : 7 = 3
  3. 10 + 3 = 13
  1. 91 = 70 + 21
  2. 70 : 7 = 10 und 21 : 7 = 3
  3. 10 + 3 = 13
Ergebnis:
13

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    246 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    246 : 6
    Lösung zeigen
    1. 246 : 6
    2. 246 = 240 + 6
    3. 240 : 6 = 40 und 6 : 6 = 1
    4. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41 Bücher
  2. ●11
    Zerlege 144 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 144 : 8?
    144: 8
    Lösung zeigen
    1. 144 = 80 + 64
    2. 80 : 8 = 10 und 64 : 8 = 8
    3. 10 + 8 = 18
    Ergebnis:
    18
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 440 : 5
    Lösung zeigen
    1. 440 = 400 + 40
    2. 400 : 5 = 80 und 40 : 5 = 8
    3. 80 + 8 = 88
    Ergebnis:
    88

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 + 39 = 20 + ___
18 + 39=20 + ?
Schritt für Schritt
  1. 18 wird zu 20: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 39 um 2 kleiner.
  3. 39 − 2 = 37
  1. 18 wird zu 20: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 39 um 2 kleiner.
  3. 39 − 2 = 37
Ergebnis:
37

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 64 − 25 = ___ − 30
    So fängst du an:
    25 wird zu 30: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird zu 30: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 64 um 5 größer.
    3. 64 + 5 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 16 · 10 = 8 · ___
    16 · 10=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 17 + 48 = 20 + ___
    17 + 48=20 + ?
    Lösung zeigen
    1. 17 wird zu 20: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 48 um 3 kleiner.
    3. 48 − 3 = 45
    Ergebnis:
    45

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Paul verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Lina verdoppelt bei 18 · 45 beide Faktoren und rechnet 36 · 90. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 90 = 3240, aber 18 · 45 = 810
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 286 + 198? Nenne ihn und rechne.
286 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 286 + 198 = 284 + 200
  3. 284 + 200 = 484
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 286 + 198 = 284 + 200
  3. 284 + 200 = 484
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 484

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 276 + 198? Nenne ihn und rechne.
    276 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 276 + 198 = 274 + 200
    3. 274 + 200 = 474
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 474
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 20 + 31 + 80? Nenne ihn und rechne.
    20 + 31 + 80zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 20 + 80 = 100
    3. 100 + 31 = 131
    Ergebnis:
    vertauschen, 131
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah erhält für 38 · 25 das Ergebnis 850. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
  2. 850 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 38 · 25 = 950
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
  2. 850 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 38 · 25 = 950
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 950

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 560 : 7 und erhält 82. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    560 : 7Ergebnis 82?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 82 · 7 = 574
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 82 · 7 = 574
    2. 574 ist nicht 560: Es ist falsch.
    3. 560 : 7 = 80
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 80
  2. ●23
    Tom rechnet 971 − 537 und erhält 534. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 534 + 537 = 1071
    2. 1071 ist nicht 971: Es ist falsch.
    3. 971 − 537 = 434
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 434
  3. ★24
    Aylin erhält für 415 · 30 das Ergebnis 12.350. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 30 = 12.000
    2. 12.350 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 415 · 30 = 12.450
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 12.450

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 4 + 45 + 16
    44516
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 16 + 45
    2. 4 + 16 = 20
    3. 20 + 45 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●26
    In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Packungen. In jeder Packung sind 19 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    50 Regale2 Packungen19 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 50 · 2 · 19
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 19 = 1900
    Ergebnis:
    1900 Bälle
  3. ●27
    Elias rechnet 299 + 54 als 300 + 54. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    29954
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 299 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 54 = 354.
    3. 1 wieder abziehen: 354 − 1 = 353
    Ergebnis:
    353
  4. ●28
    Ben rechnet 225 − 197 als 225 − 200 und erhält 25. Ist das schon das Ergebnis?
    225 − 197225 − 200
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 25 + 3 = 28
    Ergebnis:
    Nein, 28
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 46
    Lösung zeigen
    1. 46 = 40 + 6
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 6 = 30
    3. 200 + 30 = 230
    Ergebnis:
    230
  6. ●30
    Hanna rechnet 5 · 13 so: erst 5 · 10, dann 3 dazu. Hanna erhält 53. Zeige am Bild, was fehlt.
    1035
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 3 Kästchen, nicht nur 3.
    2. Rechter Teil: 5 · 3 = 15
    3. 50 + 15 = 65
    Ergebnis:
    65

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Elias rechnet 6 + 63 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    66314
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    83

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Sofia rechnet 199 + 49 als 200 + 49. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    19949
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    248

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    116

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 228 : 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 70 − 54 = ___ − 56
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 28 + 53 + 72? Nenne ihn und rechne.
    28 + 53 + 72zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 153

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can rechnet 924 − 220 und erhält 704. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 704

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 61
  2. 151
  3. 1056
  4. 271
  5. 126
  6. 1493
  7. 117
  8. 216
  9. 171
  10. 41 Bücher
  11. 18
  12. 88
  13. 69
  14. 20
  15. 45
  16. 200
  17. 70
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 810
  19. gegensinnig verändern, 474
  20. vertauschen, 131
  21. halbieren und verdoppeln, 90
  22. falsch, richtig ist 80
  23. falsch, richtig ist 434
  24. falsch, richtig ist 12.450
  25. 65
  26. 1900 Bälle
  27. 353
  28. Nein, 28
  29. 230
  30. 65
  31. 83
  32. 248
  33. 116
  34. 38
  35. 72
  36. 210
  37. vertauschen, 153
  38. stimmt, 704
  39. 23
  40. 96
  41. 24
  42. 34