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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 55 − 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 55 − 24 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●40
    Rechne: (9 + 8) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 8 = 17
    2. 17 · 6 = 102
    Ergebnis:
    102

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 8 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 5 = 40
    2. 10 + 40 = 50
    Ergebnis:
    50
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 31 und erhalte 74. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Elias rechnet 22 + 52 + 28 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
225228
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 22 + 28 + 52
  2. 22 + 28 = 50
  3. 50 + 52 = 102
  1. Vertauschen: 22 + 28 + 52
  2. 22 + 28 = 50
  3. 50 + 52 = 102
Ergebnis:
102

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 16 + 62 + 84
    166284
    So fängst du an:
    Vertauschen: 16 + 84 + 62
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 84 + 62
    2. 16 + 84 = 100
    3. 100 + 62 = 162
    Ergebnis:
    162
  2. ●2
    Rechne geschickt: 6 + 52 + 54
    65254
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 54 + 52
    2. 6 + 54 = 60
    3. 60 + 52 = 112
    Ergebnis:
    112
  3. ★3
    Zeynep rechnet 83 + 213 + 21 + 217 + 79 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    832132121779
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 83 + 217 + 21 + 79 + 213
    2. 83 + 217 = 300 und 21 + 79 = 100
    3. 300 + 100 + 213 = 613
    Ergebnis:
    613

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 42 = 100 + ___
9942
Schritt für Schritt
  1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
  2. Also muss 42 um 1 kleiner werden: 42 − 1 = 41
  3. 100 + 41 = 141
  1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
  2. Also muss 42 um 1 kleiner werden: 42 − 1 = 41
  3. 100 + 41 = 141
Ergebnis:
41

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Aylin rechnet 97 + 48 als 100 + 48. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    9748
    So fängst du an:
    Aylin hat 97 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 48 = 148.
    3. 3 wieder abziehen: 148 − 3 = 145
    Ergebnis:
    145
  2. ●5
    Ben rechnet 37 + 78 als 40 + 78. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    3778
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 78 = 118.
    3. 3 wieder abziehen: 118 − 3 = 115
    Ergebnis:
    115
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1998 + 475
    1998475
    Lösung zeigen
    1. 1998 bekommt 2 dazu, 475 gibt 2 ab.
    2. 1998 + 475 = 2000 + 473
    3. 2000 + 473 = 2473
    Ergebnis:
    2473

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 4 Reihen mit je 64 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 4 · 64
  2. 64 = 60 + 4
  3. 4 · 60 = 240 und 4 · 4 = 16
  4. 240 + 16 = 256
  1. 4 · 64
  2. 64 = 60 + 4
  3. 4 · 60 = 240 und 4 · 4 = 16
  4. 240 + 16 = 256
Ergebnis:
256 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 15
    So fängst du an:
    15 = 10 + 5
    Lösung zeigen
    1. 15 = 10 + 5
    2. 7 · 10 = 70 und 7 · 5 = 35
    3. 70 + 35 = 105
    Ergebnis:
    105
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
    3. 180 − 3 = 177
    Ergebnis:
    177
  3. ★9
    Es gibt 8 Tüten mit je 21 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 21
    2. 21 = 20 + 1
    3. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
    4. 160 + 8 = 168
    Ergebnis:
    168 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 204 : 3
Schritt für Schritt
  1. 204 = 180 + 24
  2. 180 : 3 = 60 und 24 : 3 = 8
  3. 60 + 8 = 68
  1. 204 = 180 + 24
  2. 180 : 3 = 60 und 24 : 3 = 8
  3. 60 + 8 = 68
Ergebnis:
68

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    287 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    287 : 7
    Lösung zeigen
    1. 287 : 7
    2. 287 = 280 + 7
    3. 280 : 7 = 40 und 7 : 7 = 1
    4. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41 Murmeln
  2. ●11
    360 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 360 : 8
    2. 360 = 320 + 40
    3. 320 : 8 = 40 und 40 : 8 = 5
    4. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45 Murmeln
  3. ★12
    363 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 363 : 3
    2. 363 = 360 + 3
    3. 360 : 3 = 120 und 3 : 3 = 1
    4. 120 + 1 = 121
    Ergebnis:
    121 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 59 + 74 = 69 + ___
59 + 74=69 + ?
Schritt für Schritt
  1. 59 wird zu 69: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 74 um 10 kleiner.
  3. 74 − 10 = 64
  1. 59 wird zu 69: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 74 um 10 kleiner.
  3. 74 − 10 = 64
Ergebnis:
64

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 56 + 31 = 66 + ___
    56 + 31=66 + ?
    So fängst du an:
    56 wird zu 66: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 56 wird zu 66: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 31 um 10 kleiner.
    3. 31 − 10 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 90 − 14 = ___ − 16
    Lösung zeigen
    1. 14 wird zu 16: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 90 um 2 größer.
    3. 90 + 2 = 92
    Ergebnis:
    92
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 8 · 14 = 4 · ___
    8 · 14=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Jonas verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Milan verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 30 + 48 + 70? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 30 + 70 = 100
  3. 100 + 48 = 148
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 30 + 70 = 100
  3. 100 + 48 = 148
Ergebnis:
vertauschen, 148

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 362 + 598? Nenne ihn und rechne.
    362 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 362 + 598 = 360 + 600
    3. 360 + 600 = 960
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 960
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 170 + 399? Nenne ihn und rechne.
    170 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 170 + 399 = 169 + 400
    3. 169 + 400 = 569
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 569
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 38 + 73 + 62? Nenne ihn und rechne.
    38 + 73 + 62zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 38 + 62 = 100
    3. 100 + 73 = 173
    Ergebnis:
    vertauschen, 173

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Milan erhält für 76 · 16 das Ergebnis 1216. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
  2. 1216 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 76 · 16 = 1216
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
  2. 1216 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 76 · 16 = 1216
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 1216

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Hanna rechnet 642 − 455 und erhält 187. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 187 + 455 = 642
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 187 + 455 = 642
    2. 642 ist genau 642: Es stimmt.
    3. 642 − 455 = 187
    Ergebnis:
    stimmt, 187
  2. ●23
    Can rechnet 443 − 137 und erhält 296. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 296 + 137 = 433
    2. 433 ist nicht 443: Es ist falsch.
    3. 443 − 137 = 306
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 306
  3. ★24
    Lea rechnet 8164 − 424 und erhält 7740. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 7740 + 424 = 8164
    2. 8164 ist genau 8164: Es stimmt.
    3. 8164 − 424 = 7740
    Ergebnis:
    stimmt, 7740

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 15 + 23 + 15
    152315
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 15 + 23
    2. 15 + 15 = 30
    3. 30 + 23 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 8 · 5 · 20 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    8520
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 8
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 8 = 800
    Ergebnis:
    800
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 86
    9786
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 86 gibt 3 ab.
    2. 97 + 86 = 100 + 83
    3. 100 + 83 = 183
    Ergebnis:
    183
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 160 − 37 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 160 um 3 größer: 163.
    3. 163 − 40 = 123
    Ergebnis:
    163
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 28
    Lösung zeigen
    1. 28 = 20 + 8
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 8 = 32
    3. 80 + 32 = 112
    Ergebnis:
    112
  6. ●30
    Lina rechnet 3 · 15 so: erst 3 · 10, dann 5 dazu. Lina erhält 35. Zeige am Bild, was fehlt.
    1053
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 5 Kästchen, nicht nur 5.
    2. Rechter Teil: 3 · 5 = 15
    3. 30 + 15 = 45
    Ergebnis:
    45

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 31 + 12 + 19 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    311219
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    62

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 57
    3757
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    94

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 6 Tüten mit je 22 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    132 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 220 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 220 : 4?
    220: 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 24 + 45 = 22 + ___
    24 + 45=22 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 43 + 74 + 57? Nenne ihn und rechne.
    43 + 74 + 57zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 174

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna erhält für 32 · 45 das Ergebnis 1340. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1440

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 162
  2. 112
  3. 613
  4. 145
  5. 115
  6. 2473
  7. 105
  8. 177
  9. 168 Bonbons
  10. 41 Murmeln
  11. 45 Murmeln
  12. 121 Bücher
  13. 21
  14. 92
  15. 28
  16. 180
  17. 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. gegensinnig verändern, 960
  20. gegensinnig verändern, 569
  21. vertauschen, 173
  22. stimmt, 187
  23. falsch, richtig ist 306
  24. stimmt, 7740
  25. 53
  26. 800
  27. 183
  28. 163
  29. 112
  30. 45
  31. 62
  32. 94
  33. 132 Bonbons
  34. 55
  35. 47
  36. 210
  37. vertauschen, 174
  38. falsch, richtig ist 1440
  39. 31
  40. 102
  41. 50
  42. 43