Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 9 + 5 · 5
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
2. 9 + 25 = 34
Ergebnis:
34
●40
Rechne: (9 + 6) · 3
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 9 + 6 = 15
2. 15 · 3 = 45
Ergebnis:
45

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 3 + 9 · 4
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 9 · 4 = 36
2. 3 + 36 = 39
Ergebnis:
39
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 12 und erhalte 70. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
58

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 9 + 35 + 11 zuerst zusammen? Begründe und rechne.

Schritt für Schritt

Vertauschen: 9 + 11 + 35
9 + 11 = 20
Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 35 = 55

Vertauschen: 9 + 11 + 35
9 + 11 = 20
Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 35 = 55

Ergebnis:

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Rechne geschickt: 15 + 83 + 25
So fängst du an:
Vertauschen: 15 + 25 + 83
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 15 + 25 + 83
2. 15 + 25 = 40
3. 40 + 83 = 123
Ergebnis:
123
●2
Lea rechnet 16 + 82 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 16 + 4 + 82
2. 16 + 4 = 20
3. 20 + 82 = 102
Ergebnis:
102
★3
Rechne geschickt: 463 + 563 + 537
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 463 + 537 + 563
2. 463 + 537 = 1000
3. 1000 + 563 = 1563
Ergebnis:
1563

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Elias rechnet 98 + 58 als 100 + 58. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?

Schritt für Schritt

Elias hat 98 um 2 vergrößert.
Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 58 = 158.
2 wieder abziehen: 158 − 2 = 156

Elias hat 98 um 2 vergrößert.
Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 58 = 158.
2 wieder abziehen: 158 − 2 = 156

Ergebnis:

156

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Sofia rechnet 69 + 82 als 70 + 82. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
So fängst du an:
Sofia hat 69 um 1 vergrößert.
Lösung zeigen
1. Sofia hat 69 um 1 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 82 = 152.
3. 1 wieder abziehen: 152 − 1 = 151
Ergebnis:
151
●5
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 54
Lösung zeigen
1. 68 bekommt 2 dazu, 54 gibt 2 ab.
2. 68 + 54 = 70 + 52
3. 70 + 52 = 122
Ergebnis:
122
★6
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 996 + 597 = 1000 + ___
Lösung zeigen
1. 996 wird zu 1000: 4 mehr.
2. Also muss 597 um 4 kleiner werden: 597 − 4 = 593
3. 1000 + 593 = 1593
Ergebnis:
593

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 32

Schritt für Schritt

32 = 30 + 2
8 · 30 = 240 und 8 · 2 = 16
240 + 16 = 256

32 = 30 + 2
8 · 30 = 240 und 8 · 2 = 16
240 + 16 = 256

Ergebnis:

256

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 56
So fängst du an:
56 = 50 + 6
Lösung zeigen
1. 56 = 50 + 6
2. 3 · 50 = 150 und 3 · 6 = 18
3. 150 + 18 = 168
Ergebnis:
168
●8
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
Lösung zeigen
1. 59 = 60 − 1
2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
3. 480 − 8 = 472
Ergebnis:
472
★9
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39
Lösung zeigen
1. 39 = 40 − 1
2. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
3. 120 − 3 = 117
Ergebnis:
117

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 272 : 4

Schritt für Schritt

272 = 240 + 32
240 : 4 = 60 und 32 : 4 = 8
60 + 8 = 68

272 = 240 + 32
240 : 4 = 60 und 32 : 4 = 8
60 + 8 = 68

Ergebnis:

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
210 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
So fängst du an:
210 : 5
Lösung zeigen
1. 210 : 5
2. 210 = 200 + 10
3. 200 : 5 = 40 und 10 : 5 = 2
4. 40 + 2 = 42
Ergebnis:
42 Murmeln
●11
Rechne halbschriftlich: 64 : 4
Lösung zeigen
1. 64 = 40 + 24
2. 40 : 4 = 10 und 24 : 4 = 6
3. 10 + 6 = 16
Ergebnis:
16
★12
Zerlege 495 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 495 : 5?
Lösung zeigen
1. 495 = 450 + 45
2. 450 : 5 = 90 und 45 : 5 = 9
3. 90 + 9 = 99
Ergebnis:
99

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 59 − 18 = ___ − 28

Schritt für Schritt

18 wird zu 28: 10 mehr.
Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 10 größer.
59 + 10 = 69

18 wird zu 28: 10 mehr.
Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 10 größer.
59 + 10 = 69

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 75 + 58 = 78 + ___
So fängst du an:
75 wird zu 78: 3 mehr.
Lösung zeigen
1. 75 wird zu 78: 3 mehr.
2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 58 um 3 kleiner.
3. 58 − 3 = 55
Ergebnis:
55
●14
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 13 = 6 · ___
Lösung zeigen
1. 12 wird halb so groß: 6.
2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
3. 13 · 2 = 26
Ergebnis:
26
★15
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 10 = 6 · ___
Lösung zeigen
1. 12 wird halb so groß: 6.
2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
3. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15

Schritt für Schritt

14 · 15 = 7 · 30
7 · 30 = 210

14 · 15 = 7 · 30
7 · 30 = 210

Ergebnis:

210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
So fängst du an:
Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 14 · 15 = 7 · 30
3. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210
●17
Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 16 · 25 = 8 · 50
3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400
★18
Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
Lösung zeigen
1. 16 · 25 = 8 · 50
2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn und rechne.

Schritt für Schritt

5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
14 · 5 = 7 · 10
7 · 10 = 70

5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
14 · 5 = 7 · 10
7 · 10 = 70

Ergebnis:

halbieren und verdoppeln, 70

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Wie rechnest du am schnellsten: 226 + 598? Nenne ihn und rechne.
So fängst du an:
598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
Lösung zeigen
1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
2. 226 + 598 = 224 + 600
3. 224 + 600 = 824
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 824
●20
Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
Lösung zeigen
1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
2. 16 · 5 = 8 · 10
3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80
★21
Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 29? Nenne ihn und rechne.
Lösung zeigen
1. Den zweiten Faktor zerlegen: 29 = 20 + 9.
2. 9 · 20 = 180 und 9 · 9 = 81
3. Zusammen: 261
Ergebnis:
zerlegen, 261

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah erhält für 79 · 27 das Ergebnis 1933. Prüfe mit einem Überschlag.

Schritt für Schritt

Überschlag: 80 · 30 = 2400
1933 liegt zu weit weg. Genau: 79 · 27 = 2133
Das Ergebnis ist falsch.

Überschlag: 80 · 30 = 2400
1933 liegt zu weit weg. Genau: 79 · 27 = 2133
Das Ergebnis ist falsch.

Ergebnis:

falsch, richtig ist 2133

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Ben rechnet 477 : 9 und erhält 63. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
So fängst du an:
Umkehraufgabe: 63 · 9 = 567
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 63 · 9 = 567
2. 567 ist nicht 477: Es ist falsch.
3. 477 : 9 = 53
Ergebnis:
falsch, richtig ist 53
●23
Lina rechnet 174 : 6 und erhält 29. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 29 · 6 = 174
2. 174 ist genau 174: Es stimmt.
3. 174 : 6 = 29
Ergebnis:
stimmt, 29
★24
Milan rechnet 2332 : 4 und erhält 583. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 583 · 4 = 2332
2. 2332 ist genau 2332: Es stimmt.
3. 2332 : 4 = 583
Ergebnis:
stimmt, 583

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Welche Zahlen fasst du bei 85 + 88 + 15 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 85 + 15 + 88
2. 85 + 15 = 100
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 88 = 188
Ergebnis:
188
●26
Rechne geschickt: 11 · 2 · 5
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 2 · 5 · 11
2. 2 · 5 = 10
3. 10 · 11 = 110
Ergebnis:
110
●27
Ben rechnet 97 + 78 als 100 + 78. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
1. Ben hat 97 um 3 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 78 = 178.
3. 3 wieder abziehen: 178 − 3 = 175
Ergebnis:
175
●28
Zeynep rechnet 147 − 38 als 147 − 40 und erhält 107. Ist das schon das Ergebnis?
Lösung zeigen
1. Zeynep hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
3. 107 + 2 = 109
Ergebnis:
Nein, 109
●29
Es gibt 7 Tüten mit je 22 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 7 · 22
2. 22 = 20 + 2
3. 7 · 20 = 140 und 7 · 2 = 14
4. 140 + 14 = 154
Ergebnis:
154 Bonbons
●30
Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 25?
Lösung zeigen
1. Links: 4 · 20 = 80
2. Rechts: 4 · 5 = 20
3. 4 · 25 = 80 + 20 = 100
Ergebnis:
4 · 20 und 4 · 5, zusammen 100

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Mia rechnet 26 + 13 + 24 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
Ergebnis:
63
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Lina rechnet 67 + 48 als 70 + 48. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
Ergebnis:
115
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 49
Lösung zeigen
Ergebnis:
294
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
52 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
Ergebnis:
13 Sticker
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Ergänze die Lücke: 60 + 13 = 57 + ___
Lösung zeigen
Ergebnis:
16
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Elias verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Welcher Weg passt zu 5 · 87? Nenne ihn und rechne.
Lösung zeigen
Ergebnis:
zerlegen, 435
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Aylin erhält für 63 · 23 das Ergebnis 1449. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
Ergebnis:
stimmt, 1449

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

123
102
1563
151
122
593
168
472
117
42 Murmeln
16
99
55
26
20
210
400
400
gegensinnig verändern, 824
halbieren und verdoppeln, 80
zerlegen, 261
falsch, richtig ist 53
stimmt, 29
stimmt, 583
188
110
175
Nein, 109
154 Bonbons
4 · 20 und 4 · 5, zusammen 100
63
115
294
13 Sticker
16
Nein, viermal so groß; richtig ist 400
zerlegen, 435
stimmt, 1449
34
45
39
58