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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 4 + 20 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●40
    Rechne: (7 + 6) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 6 = 13
    2. 13 · 7 = 91
    Ergebnis:
    91

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 5 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 9 = 45
    2. 7 + 45 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 32 und erhalte 47. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 91 + 67 + 9 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
91679
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 91 + 9 + 67
  2. 91 + 9 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 67 = 167
  1. Vertauschen: 91 + 9 + 67
  2. 91 + 9 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 67 = 167
Ergebnis:
167

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 13 + 12 + 47 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    131247
    So fängst du an:
    Vertauschen: 13 + 47 + 12
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 47 + 12
    2. 13 + 47 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 12 = 72
    Ergebnis:
    72
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 4 + 85 + 16 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    48516
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 16 + 85
    2. 4 + 16 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 85 = 105
    Ergebnis:
    105
  3. ★3
    Elias rechnet 142 + 299 + 158 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    142299158
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 142 + 158 + 299
    2. 142 + 158 = 300
    3. 300 + 299 = 599
    Ergebnis:
    599

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 78 = 70 + ___
6978
Schritt für Schritt
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Also muss 78 um 1 kleiner werden: 78 − 1 = 77
  3. 70 + 77 = 147
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Also muss 78 um 1 kleiner werden: 78 − 1 = 77
  3. 70 + 77 = 147
Ergebnis:
77

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 72 = 100 + ___
    9972
    So fängst du an:
    99 wird zu 100: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 72 um 1 kleiner werden: 72 − 1 = 71
    3. 100 + 71 = 171
    Ergebnis:
    71
  2. ●5
    Noah rechnet 98 + 38 als 100 + 38. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    9838
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 38 = 138.
    3. 2 wieder abziehen: 138 − 2 = 136
    Ergebnis:
    136
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1996 + 855
    1996855
    Lösung zeigen
    1. 1996 bekommt 4 dazu, 855 gibt 4 ab.
    2. 1996 + 855 = 2000 + 851
    3. 2000 + 851 = 2851
    Ergebnis:
    2851

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 7 Reihen mit je 24 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 7 · 24
  2. 24 = 20 + 4
  3. 7 · 20 = 140 und 7 · 4 = 28
  4. 140 + 28 = 168
  1. 7 · 24
  2. 24 = 20 + 4
  3. 7 · 20 = 140 und 7 · 4 = 28
  4. 140 + 28 = 168
Ergebnis:
168 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 4 Reihen mit je 61 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    4 · 61
    Lösung zeigen
    1. 4 · 61
    2. 61 = 60 + 1
    3. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
    4. 240 + 4 = 244
    Ergebnis:
    244 Stühle
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 66
    Lösung zeigen
    1. 66 = 60 + 6
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 6 = 30
    3. 300 + 30 = 330
    Ergebnis:
    330
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 33
    Lösung zeigen
    1. 33 = 30 + 3
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 3 = 9
    3. 90 + 9 = 99
    Ergebnis:
    99

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

405 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 405 : 9
  2. 405 = 360 + 45
  3. 360 : 9 = 40 und 45 : 9 = 5
  4. 40 + 5 = 45
  1. 405 : 9
  2. 405 = 360 + 45
  3. 360 : 9 = 40 und 45 : 9 = 5
  4. 40 + 5 = 45
Ergebnis:
45 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    396 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    396 : 6
    Lösung zeigen
    1. 396 : 6
    2. 396 = 360 + 36
    3. 360 : 6 = 60 und 36 : 6 = 6
    4. 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    66 Murmeln
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 84 : 4
    Lösung zeigen
    1. 84 = 80 + 4
    2. 80 : 4 = 20 und 4 : 4 = 1
    3. 20 + 1 = 21
    Ergebnis:
    21
  3. ★12
    917 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 917 : 7
    2. 917 = 910 + 7
    3. 910 : 7 = 130 und 7 : 7 = 1
    4. 130 + 1 = 131
    Ergebnis:
    131 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 77 − 47 = ___ − 49
Schritt für Schritt
  1. 47 wird zu 49: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 77 um 2 größer.
  3. 77 + 2 = 79
  1. 47 wird zu 49: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 77 um 2 größer.
  3. 77 + 2 = 79
Ergebnis:
79

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 56 − 26 = ___ − 31
    So fängst du an:
    26 wird zu 31: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 26 wird zu 31: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 56 um 5 größer.
    3. 56 + 5 = 61
    Ergebnis:
    61
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 9 = 9 · ___
    18 · 9=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 15 = 2 · ___
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Hanna verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    So fängst du an:
    18 · 5 = 9 · 10
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Aylin verdoppelt bei 36 · 5 beide Faktoren und rechnet 72 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 72 · 10 = 720, aber 36 · 5 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 68? Nenne ihn und rechne.
9 · 68zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 68 = 60 + 8.
  2. 9 · 60 = 540 und 9 · 8 = 72
  3. Zusammen: 612
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 68 = 60 + 8.
  2. 9 · 60 = 540 und 9 · 8 = 72
  3. Zusammen: 612
Ergebnis:
zerlegen, 612

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 80? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 80 = 80 + 0.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 80 = 80 + 0.
    2. 7 · 80 = 560 und 7 · 0 = 0
    3. Zusammen: 560
    Ergebnis:
    zerlegen, 560
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 151 + 198? Nenne ihn und rechne.
    151 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 151 + 198 = 149 + 200
    3. 149 + 200 = 349
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 349
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6570 − 4560? Nenne ihn und rechne.
    6570 − 4560zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 6570 − 4560 = 2010
    Ergebnis:
    schriftlich, 2010

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul rechnet 297 : 3 und erhält 99. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
297 : 3Ergebnis 99?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 99 · 3 = 297
  2. 297 ist genau 297: Es stimmt.
  3. 297 : 3 = 99
  1. Umkehraufgabe: 99 · 3 = 297
  2. 297 ist genau 297: Es stimmt.
  3. 297 : 3 = 99
Ergebnis:
stimmt, 99

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah rechnet 524 − 321 und erhält 203. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 203 + 321 = 524
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 203 + 321 = 524
    2. 524 ist genau 524: Es stimmt.
    3. 524 − 321 = 203
    Ergebnis:
    stimmt, 203
  2. ●23
    Paul rechnet 771 − 292 und erhält 489. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 489 + 292 = 781
    2. 781 ist nicht 771: Es ist falsch.
    3. 771 − 292 = 479
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 479
  3. ★24
    Sofia rechnet 7504 − 993 und erhält 6521. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 6521 + 993 = 7514
    2. 7514 ist nicht 7504: Es ist falsch.
    3. 7504 − 993 = 6511
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 6511

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 12 + 66 + 38 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    126638
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 38 + 66
    2. 12 + 38 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 66 = 116
    Ergebnis:
    116
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 50 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    5052
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 5
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 5 = 500
    Ergebnis:
    500
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 49
    4949
    Lösung zeigen
    1. 49 bekommt 1 dazu, 49 gibt 1 ab.
    2. 49 + 49 = 50 + 48
    3. 50 + 48 = 98
    Ergebnis:
    98
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 116 − 99
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 116 − 99 = 117 − 100
    3. 117 − 100 = 17
    Ergebnis:
    17
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
    3. 480 − 8 = 472
    Ergebnis:
    472
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 28?
    2084
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 20 = 80
    2. Rechts: 4 · 8 = 32
    3. 4 · 28 = 80 + 32 = 112
    Ergebnis:
    4 · 20 und 4 · 8, zusammen 112

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Mia rechnet 23 + 54 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    23547
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    84

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Emma rechnet 98 + 69 als 100 + 69. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    9869
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    167

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 325 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 5 = 4 · ___
    8 · 5=4 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 24 + 68 + 76? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 168

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea erhält für 42 · 13 das Ergebnis 546. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 546

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 72
  2. 105
  3. 599
  4. 71
  5. 136
  6. 2851
  7. 244 Stühle
  8. 330
  9. 99
  10. 66 Murmeln
  11. 21
  12. 131 Bücher
  13. 61
  14. 18
  15. 30
  16. 90
  17. 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  19. zerlegen, 560
  20. gegensinnig verändern, 349
  21. schriftlich, 2010
  22. stimmt, 203
  23. falsch, richtig ist 479
  24. falsch, richtig ist 6511
  25. 116
  26. 500
  27. 98
  28. 17
  29. 472
  30. 4 · 20 und 4 · 8, zusammen 112
  31. 84
  32. 167
  33. 57
  34. 65
  35. 10
  36. 70
  37. vertauschen, 168
  38. stimmt, 546
  39. 24
  40. 91
  41. 52
  42. 15