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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 54 − 2 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 9 = 18
    2. 54 − 18 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●40
    Rechne: (9 + 3) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 3 = 12
    2. 12 · 5 = 60
    Ergebnis:
    60

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 2 + 8 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 2 = 16
    2. 2 + 16 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 9 und erhalte 20. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 19 + 55 + 11
195511
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 19 + 11 + 55
  2. 19 + 11 = 30
  3. 30 + 55 = 85
  1. Vertauschen: 19 + 11 + 55
  2. 19 + 11 = 30
  3. 30 + 55 = 85
Ergebnis:
85

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lea rechnet 37 + 57 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    375713
    So fängst du an:
    Vertauschen: 37 + 13 + 57
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 13 + 57
    2. 37 + 13 = 50
    3. 50 + 57 = 107
    Ergebnis:
    107
  2. ●2
    Rechne geschickt: 15 + 78 + 85
    157885
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 85 + 78
    2. 15 + 85 = 100
    3. 100 + 78 = 178
    Ergebnis:
    178
  3. ★3
    Emma rechnet 115 + 388 + 885 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    115388885
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 115 + 885 + 388
    2. 115 + 885 = 1000
    3. 1000 + 388 = 1388
    Ergebnis:
    1388

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 74
3974
Schritt für Schritt
  1. 39 bekommt 1 dazu, 74 gibt 1 ab.
  2. 39 + 74 = 40 + 73
  3. 40 + 73 = 113
  1. 39 bekommt 1 dazu, 74 gibt 1 ab.
  2. 39 + 74 = 40 + 73
  3. 40 + 73 = 113
Ergebnis:
113

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 88
    19888
    So fängst du an:
    198 bekommt 2 dazu, 88 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 198 bekommt 2 dazu, 88 gibt 2 ab.
    2. 198 + 88 = 200 + 86
    3. 200 + 86 = 286
    Ergebnis:
    286
  2. ●5
    Elias rechnet 98 + 33 als 100 + 33. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    9833
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 33 = 133.
    3. 2 wieder abziehen: 133 − 2 = 131
    Ergebnis:
    131
  3. ★6
    Sofia rechnet 1996 + 558 als 2000 + 558. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    1996558
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 1996 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 2000 + 558 = 2558.
    3. 4 wieder abziehen: 2558 − 4 = 2554
    Ergebnis:
    2554

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 58
Schritt für Schritt
  1. 58 = 50 + 8
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 8 = 48
  3. 300 + 48 = 348
  1. 58 = 50 + 8
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 8 = 48
  3. 300 + 48 = 348
Ergebnis:
348

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 38
    So fängst du an:
    38 = 30 + 8
    Lösung zeigen
    1. 38 = 30 + 8
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 8 = 48
    3. 180 + 48 = 228
    Ergebnis:
    228
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
    3. 240 − 6 = 234
    Ergebnis:
    234
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 66
    Lösung zeigen
    1. 66 = 60 + 6
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 6 = 24
    3. 240 + 24 = 264
    Ergebnis:
    264

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 345 : 5
Schritt für Schritt
  1. 345 = 300 + 45
  2. 300 : 5 = 60 und 45 : 5 = 9
  3. 60 + 9 = 69
  1. 345 = 300 + 45
  2. 300 : 5 = 60 und 45 : 5 = 9
  3. 60 + 9 = 69
Ergebnis:
69

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 224 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 224 : 7?
    224: 7
    So fängst du an:
    224 = 210 + 14
    Lösung zeigen
    1. 224 = 210 + 14
    2. 210 : 7 = 30 und 14 : 7 = 2
    3. 30 + 2 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●11
    Zerlege 189 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 189 : 9?
    189: 9
    Lösung zeigen
    1. 189 = 180 + 9
    2. 180 : 9 = 20 und 9 : 9 = 1
    3. 20 + 1 = 21
    Ergebnis:
    21
  3. ★12
    970 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 970 : 5
    2. 970 = 950 + 20
    3. 950 : 5 = 190 und 20 : 5 = 4
    4. 190 + 4 = 194
    Ergebnis:
    194 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 63 − 34 = ___ − 35
Schritt für Schritt
  1. 34 wird zu 35: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 63 um 1 größer.
  3. 63 + 1 = 64
  1. 34 wird zu 35: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 63 um 1 größer.
  3. 63 + 1 = 64
Ergebnis:
64

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 8 · 8 = 4 · ___
    8 · 8=4 · ?
    So fängst du an:
    8 wird halb so groß: 4.
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 37 + 80 = 40 + ___
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 80 um 3 kleiner.
    3. 80 − 3 = 77
    Ergebnis:
    77
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 10 = 4 · ___
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Zeynep verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  3. ★18
    Lina verdoppelt bei 36 · 5 beide Faktoren und rechnet 72 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 72 · 10 = 720, aber 36 · 5 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 300

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 32 + 31 + 68? Nenne ihn und rechne.
    32 + 31 + 68zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 32 + 68 = 100
    3. 100 + 31 = 131
    Ergebnis:
    vertauschen, 131
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 23 + 58 + 77? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 23 + 77 = 100
    3. 100 + 58 = 158
    Ergebnis:
    vertauschen, 158
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 133 + 598? Nenne ihn und rechne.
    133 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 133 + 598 = 131 + 600
    3. 131 + 600 = 731
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 731

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Zeynep rechnet 656 − 141 und erhält 505. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 505 + 141 = 646
  2. 646 ist nicht 656: Es ist falsch.
  3. 656 − 141 = 515
  1. Umkehraufgabe: 505 + 141 = 646
  2. 646 ist nicht 656: Es ist falsch.
  3. 656 − 141 = 515
Ergebnis:
falsch, richtig ist 515

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 469 − 295 und erhält 274. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 274 + 295 = 569
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 274 + 295 = 569
    2. 569 ist nicht 469: Es ist falsch.
    3. 469 − 295 = 174
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 174
  2. ●23
    Can rechnet 570 : 6 und erhält 94. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    570 : 6Ergebnis 94?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 94 · 6 = 564
    2. 564 ist nicht 570: Es ist falsch.
    3. 570 : 6 = 95
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 95
  3. ★24
    Ben rechnet 5972 − 5276 und erhält 716. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 716 + 5276 = 5992
    2. 5992 ist nicht 5972: Es ist falsch.
    3. 5972 − 5276 = 696
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 696

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 12 + 17 + 88 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    121788
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 88 + 17
    2. 12 + 88 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 17 = 117
    Ergebnis:
    117
  2. ●26
    Rechne geschickt: 19 · 4 · 25
    19425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 19
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 19 = 1900
    Ergebnis:
    1900
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 26 = 40 + ___
    3926
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Also muss 26 um 1 kleiner werden: 26 − 1 = 25
    3. 40 + 25 = 65
    Ergebnis:
    25
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 227 − 197 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 227 um 3 größer: 230.
    3. 230 − 200 = 30
    Ergebnis:
    230
  5. ●29
    Es gibt 7 Reihen mit je 22 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 22
    2. 22 = 20 + 2
    3. 7 · 20 = 140 und 7 · 2 = 14
    4. 140 + 14 = 154
    Ergebnis:
    154 Stühle
  6. ●30
    Mia rechnet 7 · 18 so: erst 7 · 10, dann 8 dazu. Mia erhält 78. Zeige am Bild, was fehlt.
    1087
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 8 Kästchen, nicht nur 8.
    2. Rechter Teil: 7 · 8 = 56
    3. 70 + 56 = 126
    Ergebnis:
    126

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Tom rechnet 43 + 41 + 57 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    434157
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    141

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 29
    19729
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    226

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 9 Reihen mit je 41 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    369 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    255 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 64 + 38 = 63 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 45 + 61 + 55? Nenne ihn und rechne.
    45 + 61 + 55zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 161

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can rechnet 515 − 417 und erhält 198. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 98

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 107
  2. 178
  3. 1388
  4. 286
  5. 131
  6. 2554
  7. 228
  8. 234
  9. 264
  10. 32
  11. 21
  12. 194 Murmeln
  13. 16
  14. 77
  15. 20
  16. 80
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  19. vertauschen, 131
  20. vertauschen, 158
  21. gegensinnig verändern, 731
  22. falsch, richtig ist 174
  23. falsch, richtig ist 95
  24. falsch, richtig ist 696
  25. 117
  26. 1900
  27. 25
  28. 230
  29. 154 Stühle
  30. 126
  31. 141
  32. 226
  33. 369 Stühle
  34. 51 Sticker
  35. 39
  36. 400
  37. vertauschen, 161
  38. falsch, richtig ist 98
  39. 36
  40. 60
  41. 18
  42. 11