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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 21 − 2 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 2 = 4
    2. 21 − 4 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●40
    Rechne: (6 + 2) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 2 = 8
    2. 8 · 5 = 40
    Ergebnis:
    40

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 6 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 8 = 48
    2. 7 + 48 = 55
    Ergebnis:
    55
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 31 und erhalte 78. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 34 + 32 + 16
343216
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 34 + 16 + 32
  2. 34 + 16 = 50
  3. 50 + 32 = 82
  1. Vertauschen: 34 + 16 + 32
  2. 34 + 16 = 50
  3. 50 + 32 = 82
Ergebnis:
82

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 29 + 74 + 71 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    297471
    So fängst du an:
    Vertauschen: 29 + 71 + 74
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 29 + 71 + 74
    2. 29 + 71 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 74 = 174
    Ergebnis:
    174
  2. ●2
    Mia rechnet 46 + 88 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    46884
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 46 + 4 + 88
    2. 46 + 4 = 50
    3. 50 + 88 = 138
    Ergebnis:
    138
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 134 + 797 + 66 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    13479766
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 134 + 66 + 797
    2. 134 + 66 = 200
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 797 = 997
    Ergebnis:
    997

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Emma rechnet 69 + 69 als 70 + 69. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
6969
Schritt für Schritt
  1. Emma hat 69 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 69 = 139.
  3. 1 wieder abziehen: 139 − 1 = 138
  1. Emma hat 69 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 69 = 139.
  3. 1 wieder abziehen: 139 − 1 = 138
Ergebnis:
138

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 37 = 50 + ___
    4837
    So fängst du an:
    48 wird zu 50: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Also muss 37 um 2 kleiner werden: 37 − 2 = 35
    3. 50 + 35 = 85
    Ergebnis:
    35
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 89
    29789
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 89 gibt 3 ab.
    2. 297 + 89 = 300 + 86
    3. 300 + 86 = 386
    Ergebnis:
    386
  3. ★6
    Emma rechnet 496 + 867 als 500 + 867. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    496867
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 496 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 500 + 867 = 1367.
    3. 4 wieder abziehen: 1367 − 4 = 1363
    Ergebnis:
    1363

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
  3. 180 − 6 = 174
  1. 29 = 30 − 1
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
  3. 180 − 6 = 174
Ergebnis:
174

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 1 = 9
    3. 450 − 9 = 441
    Ergebnis:
    441
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
    3. 240 − 6 = 234
    Ergebnis:
    234
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 98
    Lösung zeigen
    1. 98 = 100 − 2
    2. 3 · 100 = 300 und 3 · 2 = 6
    3. 300 − 6 = 294
    Ergebnis:
    294

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 324 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 324 : 9?
324: 9
Schritt für Schritt
  1. 324 = 270 + 54
  2. 270 : 9 = 30 und 54 : 9 = 6
  3. 30 + 6 = 36
  1. 324 = 270 + 54
  2. 270 : 9 = 30 und 54 : 9 = 6
  3. 30 + 6 = 36
Ergebnis:
36

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    208 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    208 : 8
    Lösung zeigen
    1. 208 : 8
    2. 208 = 160 + 48
    3. 160 : 8 = 20 und 48 : 8 = 6
    4. 20 + 6 = 26
    Ergebnis:
    26 Bücher
  2. ●11
    273 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 273 : 7
    2. 273 = 210 + 63
    3. 210 : 7 = 30 und 63 : 7 = 9
    4. 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39 Murmeln
  3. ★12
    Zerlege 654 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 654 : 6?
    654: 6
    Lösung zeigen
    1. 654 = 600 + 54
    2. 600 : 6 = 100 und 54 : 6 = 9
    3. 100 + 9 = 109
    Ergebnis:
    109

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 45 + 40 = 48 + ___
45 + 40=48 + ?
Schritt für Schritt
  1. 45 wird zu 48: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 40 um 3 kleiner.
  3. 40 − 3 = 37
  1. 45 wird zu 48: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 40 um 3 kleiner.
  3. 40 − 3 = 37
Ergebnis:
37

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 59 − 35 = ___ − 45
    So fängst du an:
    35 wird zu 45: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 35 wird zu 45: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 10 größer.
    3. 59 + 10 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 11 = 9 · ___
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 8 = 8 · ___
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Milan verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Noah verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Lea verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 29? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 29 = 20 + 9.
  2. 5 · 20 = 100 und 5 · 9 = 45
  3. Zusammen: 145
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 29 = 20 + 9.
  2. 5 · 20 = 100 und 5 · 9 = 45
  3. Zusammen: 145
Ergebnis:
zerlegen, 145

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 22 + 43 + 78? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 22 + 78 = 100
    3. 100 + 43 = 143
    Ergebnis:
    vertauschen, 143
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 24? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 24 = 20 + 4.
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 4 = 36
    3. Zusammen: 216
    Ergebnis:
    zerlegen, 216

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin erhält für 29 · 29 das Ergebnis 1041. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 30 · 30 = 900
  2. 1041 liegt zu weit weg. Genau: 29 · 29 = 841
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 30 · 30 = 900
  2. 1041 liegt zu weit weg. Genau: 29 · 29 = 841
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 841

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan erhält für 57 · 46 das Ergebnis 2822. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 60 · 50 = 3000
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 50 = 3000
    2. 2822 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 57 · 46 = 2622
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2622
  2. ●23
    Tom rechnet 310 : 5 und erhält 64. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    310 : 5Ergebnis 64?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 64 · 5 = 320
    2. 320 ist nicht 310: Es ist falsch.
    3. 310 : 5 = 62
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 62
  3. ★24
    Milan rechnet 7232 − 6683 und erhält 559. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 559 + 6683 = 7242
    2. 7242 ist nicht 7232: Es ist falsch.
    3. 7232 − 6683 = 549
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 549

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 6 + 16 + 24 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    61624
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 24 + 16
    2. 6 + 24 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 16 = 46
    Ergebnis:
    46
  2. ●26
    Rechne geschickt: 5 · 4 · 2
    542
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 4
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 4 = 40
    Ergebnis:
    40
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 24 = 50 + ___
    4724
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
    2. Also muss 24 um 3 kleiner werden: 24 − 3 = 21
    3. 50 + 21 = 71
    Ergebnis:
    21
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 214 − 199
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 214 − 199 = 215 − 200
    3. 215 − 200 = 15
    Ergebnis:
    15
  5. ●29
    Es gibt 3 Reihen mit je 54 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 54
    2. 54 = 50 + 4
    3. 3 · 50 = 150 und 3 · 4 = 12
    4. 150 + 12 = 162
    Ergebnis:
    162 Stühle
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 21?
    2016
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 20 = 120
    2. Rechts: 6 · 1 = 6
    3. 6 · 21 = 120 + 6 = 126
    Ergebnis:
    6 · 20 und 6 · 1, zusammen 126

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 24 + 35 + 6
    24356
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 43
    19943
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    242

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 55
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    165

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    78 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 8 · 4 = 4 · ___
    8 · 4=4 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 28 + 68 + 72? Nenne ihn und rechne.
    28 + 68 + 72zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 168

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Noah rechnet 333 − 157 und erhält 176. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 176

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 174
  2. 138
  3. 997
  4. 35
  5. 386
  6. 1363
  7. 441
  8. 234
  9. 294
  10. 26 Bücher
  11. 39 Murmeln
  12. 109
  13. 69
  14. 22
  15. 16
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. halbieren und verdoppeln, 80
  20. vertauschen, 143
  21. zerlegen, 216
  22. falsch, richtig ist 2622
  23. falsch, richtig ist 62
  24. falsch, richtig ist 549
  25. 46
  26. 40
  27. 21
  28. 15
  29. 162 Stühle
  30. 6 · 20 und 6 · 1, zusammen 126
  31. 65
  32. 242
  33. 165
  34. 13 Bücher
  35. 8
  36. 180
  37. vertauschen, 168
  38. stimmt, 176
  39. 17
  40. 40
  41. 55
  42. 47