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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 46 − 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 46 − 24 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●40
    Rechne: (9 + 5) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 5 = 14
    2. 14 · 9 = 126
    Ergebnis:
    126

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 10 + 24 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 14 und erhalte 45. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 4 + 27 + 16
42716
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 4 + 16 + 27
  2. 4 + 16 = 20
  3. 20 + 27 = 47
  1. Vertauschen: 4 + 16 + 27
  2. 4 + 16 = 20
  3. 20 + 27 = 47
Ergebnis:
47

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 19 + 29 + 41
    192941
    So fängst du an:
    Vertauschen: 19 + 41 + 29
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 41 + 29
    2. 19 + 41 = 60
    3. 60 + 29 = 89
    Ergebnis:
    89
  2. ●2
    Elias rechnet 46 + 76 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    467614
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 46 + 14 + 76
    2. 46 + 14 = 60
    3. 60 + 76 = 136
    Ergebnis:
    136
  3. ★3
    Rechne geschickt: 657 + 397 + 343
    657397343
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 657 + 343 + 397
    2. 657 + 343 = 1000
    3. 1000 + 397 = 1397
    Ergebnis:
    1397

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 38 = 50 + ___
4938
Schritt für Schritt
  1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
  2. Also muss 38 um 1 kleiner werden: 38 − 1 = 37
  3. 50 + 37 = 87
  1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
  2. Also muss 38 um 1 kleiner werden: 38 − 1 = 37
  3. 50 + 37 = 87
Ergebnis:
37

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Can rechnet 37 + 97 als 40 + 97. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    3797
    So fängst du an:
    Can hat 37 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Can hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 97 = 137.
    3. 3 wieder abziehen: 137 − 3 = 134
    Ergebnis:
    134
  2. ●5
    Elias rechnet 97 + 78 als 100 + 78. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    9778
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 78 = 178.
    3. 3 wieder abziehen: 178 − 3 = 175
    Ergebnis:
    175
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1998 + 656 = 2000 + ___
    1998656
    Lösung zeigen
    1. 1998 wird zu 2000: 2 mehr.
    2. Also muss 656 um 2 kleiner werden: 656 − 2 = 654
    3. 2000 + 654 = 2654
    Ergebnis:
    654

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
  3. 180 − 3 = 177
  1. 59 = 60 − 1
  2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
  3. 180 − 3 = 177
Ergebnis:
177

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 52
    So fängst du an:
    52 = 50 + 2
    Lösung zeigen
    1. 52 = 50 + 2
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 2 = 8
    3. 200 + 8 = 208
    Ergebnis:
    208
  2. ●8
    Es gibt 8 Tüten mit je 65 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 65
    2. 65 = 60 + 5
    3. 8 · 60 = 480 und 8 · 5 = 40
    4. 480 + 40 = 520
    Ergebnis:
    520 Bonbons
  3. ★9
    Es gibt 7 Tüten mit je 17 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 17
    2. 17 = 10 + 7
    3. 7 · 10 = 70 und 7 · 7 = 49
    4. 70 + 49 = 119
    Ergebnis:
    119 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

42 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 42 : 3
  2. 42 = 30 + 12
  3. 30 : 3 = 10 und 12 : 3 = 4
  4. 10 + 4 = 14
  1. 42 : 3
  2. 42 = 30 + 12
  3. 30 : 3 = 10 und 12 : 3 = 4
  4. 10 + 4 = 14
Ergebnis:
14 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    264 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    264 : 8
    Lösung zeigen
    1. 264 : 8
    2. 264 = 240 + 24
    3. 240 : 8 = 30 und 24 : 8 = 3
    4. 30 + 3 = 33
    Ergebnis:
    33 Murmeln
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 357 : 7
    Lösung zeigen
    1. 357 = 350 + 7
    2. 350 : 7 = 50 und 7 : 7 = 1
    3. 50 + 1 = 51
    Ergebnis:
    51
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 648 : 8
    Lösung zeigen
    1. 648 = 640 + 8
    2. 640 : 8 = 80 und 8 : 8 = 1
    3. 80 + 1 = 81
    Ergebnis:
    81

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 38 + 24 = 39 + ___
38 + 24=39 + ?
Schritt für Schritt
  1. 38 wird zu 39: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 24 um 1 kleiner.
  3. 24 − 1 = 23
  1. 38 wird zu 39: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 24 um 1 kleiner.
  3. 24 − 1 = 23
Ergebnis:
23

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 68 − 36 = ___ − 37
    So fängst du an:
    36 wird zu 37: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 36 wird zu 37: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 68 um 1 größer.
    3. 68 + 1 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 71 − 47 = ___ − 52
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 52: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 71 um 5 größer.
    3. 71 + 5 = 76
    Ergebnis:
    76
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 84 − 40 = ___ − 45
    Lösung zeigen
    1. 40 wird zu 45: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 84 um 5 größer.
    3. 84 + 5 = 89
    Ergebnis:
    89

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Sofia verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Hanna verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Warum ist 18 · 45 dasselbe wie 9 · 90? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 45 = 9 · 90
    3. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 27 + 21 + 73? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 27 + 73 = 100
  3. 100 + 21 = 121
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 27 + 73 = 100
  3. 100 + 21 = 121
Ergebnis:
vertauschen, 121

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 187 + 198? Nenne ihn und rechne.
    187 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 187 + 198 = 185 + 200
    3. 185 + 200 = 385
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 385
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 33? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 33 = 30 + 3.
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 3 = 27
    3. Zusammen: 297
    Ergebnis:
    zerlegen, 297

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can rechnet 931 − 799 und erhält 122. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 122 + 799 = 921
  2. 921 ist nicht 931: Es ist falsch.
  3. 931 − 799 = 132
  1. Umkehraufgabe: 122 + 799 = 921
  2. 921 ist nicht 931: Es ist falsch.
  3. 931 − 799 = 132
Ergebnis:
falsch, richtig ist 132

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ben rechnet 382 − 200 und erhält 192. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 192 + 200 = 392
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 192 + 200 = 392
    2. 392 ist nicht 382: Es ist falsch.
    3. 382 − 200 = 182
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 182
  2. ●23
    Jonas rechnet 682 − 292 und erhält 390. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 390 + 292 = 682
    2. 682 ist genau 682: Es stimmt.
    3. 682 − 292 = 390
    Ergebnis:
    stimmt, 390
  3. ★24
    Zeynep erhält für 322 · 22 das Ergebnis 7184. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 20 = 6000
    2. 7184 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 322 · 22 = 7084
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 7084

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 54 + 62 + 6
    54626
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 54 + 6 + 62
    2. 54 + 6 = 60
    3. 60 + 62 = 122
    Ergebnis:
    122
  2. ●26
    Rechne geschickt: 20 · 7 · 5
    2075
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 7
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 7 = 700
    Ergebnis:
    700
  3. ●27
    Aylin rechnet 98 + 34 als 100 + 34. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    9834
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 34 = 134.
    3. 2 wieder abziehen: 134 − 2 = 132
    Ergebnis:
    132
  4. ●28
    Zeynep rechnet 105 − 39 als 105 − 40 und erhält 65. Ist das schon das Ergebnis?
    105 − 39105 − 40
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 65 + 1 = 66
    Ergebnis:
    Nein, 66
  5. ●29
    Es gibt 8 Hefte mit je 62 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 62
    2. 62 = 60 + 2
    3. 8 · 60 = 480 und 8 · 2 = 16
    4. 480 + 16 = 496
    Ergebnis:
    496 Hefte
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 26 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2066
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 20 = 120
    2. Rechter Teil: 6 · 6 = 36
    3. Zusammen: 120 + 36 = 156
    Ergebnis:
    156 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 12 + 17 + 28
    121728
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 94
    3994
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    133

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 51
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    153

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 306 : 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 3 = 2 · ___
    4 · 3=2 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 166 + 198? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 364

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Sofia erhält für 82 · 29 das Ergebnis 2378. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 2378

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 89
  2. 136
  3. 1397
  4. 134
  5. 175
  6. 654
  7. 208
  8. 520 Bonbons
  9. 119 Bonbons
  10. 33 Murmeln
  11. 51
  12. 81
  13. 69
  14. 76
  15. 89
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  17. 90
  18. 810
  19. gegensinnig verändern, 385
  20. halbieren und verdoppeln, 400
  21. zerlegen, 297
  22. falsch, richtig ist 182
  23. stimmt, 390
  24. falsch, richtig ist 7084
  25. 122
  26. 700
  27. 132
  28. Nein, 66
  29. 496 Hefte
  30. 156 Kästchen
  31. 57
  32. 133
  33. 153
  34. 51
  35. 6
  36. 400
  37. gegensinnig verändern, 364
  38. stimmt, 2378
  39. 22
  40. 126
  41. 34
  42. 31