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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 21 − 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 21 − 16 = 5
    Ergebnis:
    5
  2. ●40
    Rechne: (9 + 7) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 7 = 16
    2. 16 · 4 = 64
    Ergebnis:
    64

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 8 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 7 = 56
    2. 7 + 56 = 63
    Ergebnis:
    63
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 28 und erhalte 65. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 7 + 42 + 13
74213
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 7 + 13 + 42
  2. 7 + 13 = 20
  3. 20 + 42 = 62
  1. Vertauschen: 7 + 13 + 42
  2. 7 + 13 = 20
  3. 20 + 42 = 62
Ergebnis:
62

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 32 + 89 + 68
    328968
    So fängst du an:
    Vertauschen: 32 + 68 + 89
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 32 + 68 + 89
    2. 32 + 68 = 100
    3. 100 + 89 = 189
    Ergebnis:
    189
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 13 + 89 + 17 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    138917
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 17 + 89
    2. 13 + 17 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 89 = 119
    Ergebnis:
    119
  3. ★3
    Rechne geschickt: 196 + 549 + 104
    196549104
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 196 + 104 + 549
    2. 196 + 104 = 300
    3. 300 + 549 = 849
    Ergebnis:
    849

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 34 = 70 + ___
6934
Schritt für Schritt
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Also muss 34 um 1 kleiner werden: 34 − 1 = 33
  3. 70 + 33 = 103
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Also muss 34 um 1 kleiner werden: 34 − 1 = 33
  3. 70 + 33 = 103
Ergebnis:
33

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 43
    9943
    So fängst du an:
    99 bekommt 1 dazu, 43 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 43 gibt 1 ab.
    2. 99 + 43 = 100 + 42
    3. 100 + 42 = 142
    Ergebnis:
    142
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 93 = 100 + ___
    9893
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 93 um 2 kleiner werden: 93 − 2 = 91
    3. 100 + 91 = 191
    Ergebnis:
    91
  3. ★6
    Hanna rechnet 697 + 539 als 700 + 539. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    697539
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 697 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 700 + 539 = 1239.
    3. 3 wieder abziehen: 1239 − 3 = 1236
    Ergebnis:
    1236

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 53
Schritt für Schritt
  1. 53 = 50 + 3
  2. 7 · 50 = 350 und 7 · 3 = 21
  3. 350 + 21 = 371
  1. 53 = 50 + 3
  2. 7 · 50 = 350 und 7 · 3 = 21
  3. 350 + 21 = 371
Ergebnis:
371

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 52
    So fängst du an:
    52 = 50 + 2
    Lösung zeigen
    1. 52 = 50 + 2
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 2 = 10
    3. 250 + 10 = 260
    Ergebnis:
    260
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
    3. 300 − 6 = 294
    Ergebnis:
    294
  3. ★9
    Es gibt 6 Tüten mit je 31 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 31
    2. 31 = 30 + 1
    3. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
    4. 180 + 6 = 186
    Ergebnis:
    186 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 402 : 6
Schritt für Schritt
  1. 402 = 360 + 42
  2. 360 : 6 = 60 und 42 : 6 = 7
  3. 60 + 7 = 67
  1. 402 = 360 + 42
  2. 360 : 6 = 60 und 42 : 6 = 7
  3. 60 + 7 = 67
Ergebnis:
67

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 168 : 7
    So fängst du an:
    168 = 140 + 28
    Lösung zeigen
    1. 168 = 140 + 28
    2. 140 : 7 = 20 und 28 : 7 = 4
    3. 20 + 4 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●11
    Zerlege 342 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 342 : 6?
    342: 6
    Lösung zeigen
    1. 342 = 300 + 42
    2. 300 : 6 = 50 und 42 : 6 = 7
    3. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57
  3. ★12
    Zerlege 186 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 186 : 3?
    186: 3
    Lösung zeigen
    1. 186 = 180 + 6
    2. 180 : 3 = 60 und 6 : 3 = 2
    3. 60 + 2 = 62
    Ergebnis:
    62

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 16 · 13 = 8 · ___
16 · 13=8 · ?
Schritt für Schritt
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
Ergebnis:
26

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 34 + 49 = 33 + ___
    34 + 49=33 + ?
    So fängst du an:
    34 wird zu 33: 1 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 34 wird zu 33: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 49 um 1 größer.
    3. 49 + 1 = 50
    Ergebnis:
    50
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 91 − 53 = ___ − 55
    Lösung zeigen
    1. 53 wird zu 55: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 91 um 2 größer.
    3. 91 + 2 = 93
    Ergebnis:
    93
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 3 = 7 · ___
    14 · 3=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
    3. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 46 + 25 + 54? Nenne ihn und rechne.
46 + 25 + 54zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 46 + 54 = 100
  3. 100 + 25 = 125
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 46 + 54 = 100
  3. 100 + 25 = 125
Ergebnis:
vertauschen, 125

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 50? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 50 = 50 + 0.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 50 = 50 + 0.
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 0 = 0
    3. Zusammen: 450
    Ergebnis:
    zerlegen, 450
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 46? Nenne ihn und rechne.
    9 · 46zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 46 = 40 + 6.
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 6 = 54
    3. Zusammen: 414
    Ergebnis:
    zerlegen, 414
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 73? Nenne ihn und rechne.
    7 · 73zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 73 = 70 + 3.
    2. 7 · 70 = 490 und 7 · 3 = 21
    3. Zusammen: 511
    Ergebnis:
    zerlegen, 511

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Milan rechnet 420 − 222 und erhält 188. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 188 + 222 = 410
  2. 410 ist nicht 420: Es ist falsch.
  3. 420 − 222 = 198
  1. Umkehraufgabe: 188 + 222 = 410
  2. 410 ist nicht 420: Es ist falsch.
  3. 420 − 222 = 198
Ergebnis:
falsch, richtig ist 198

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 974 − 322 und erhält 652. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 652 + 322 = 974
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 652 + 322 = 974
    2. 974 ist genau 974: Es stimmt.
    3. 974 − 322 = 652
    Ergebnis:
    stimmt, 652
  2. ●23
    Emma erhält für 51 · 38 das Ergebnis 1938. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 40 = 2000
    2. 1938 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 51 · 38 = 1938
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1938
  3. ★24
    Lea erhält für 412 · 44 das Ergebnis 18.128. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 40 = 16.000
    2. 18.128 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 412 · 44 = 18.128
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 18.128

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Mia rechnet 15 + 12 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    15125
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 5 + 12
    2. 15 + 5 = 20
    3. 20 + 12 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Packungen. In jeder Packung sind 18 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Packungen18 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 18
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 18 = 180
    Ergebnis:
    180 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 52 = 300 + ___
    29952
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 52 um 1 kleiner werden: 52 − 1 = 51
    3. 300 + 51 = 351
    Ergebnis:
    51
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 161 − 48 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 161 um 2 größer: 163.
    3. 163 − 50 = 113
    Ergebnis:
    163
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
    3. 270 − 9 = 261
    Ergebnis:
    261
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 26 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2066
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 20 = 120
    2. Rechter Teil: 6 · 6 = 36
    3. Zusammen: 120 + 36 = 156
    Ergebnis:
    156 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Paul rechnet 7 + 42 + 53 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    74253
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    102

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Mia rechnet 99 + 35 als 100 + 35. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    9935
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    134

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 46
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    322

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 168 : 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 58 + 17 = 60 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Paul verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 24 + 23 + 76? Nenne ihn und rechne.
    24 + 23 + 76zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 123

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Emma erhält für 59 · 47 das Ergebnis 3773. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2773

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 189
  2. 119
  3. 849
  4. 142
  5. 91
  6. 1236
  7. 260
  8. 294
  9. 186 Bonbons
  10. 24
  11. 57
  12. 62
  13. 50
  14. 93
  15. 6
  16. 90
  17. 400
  18. 3000
  19. zerlegen, 450
  20. zerlegen, 414
  21. zerlegen, 511
  22. stimmt, 652
  23. stimmt, 1938
  24. stimmt, 18.128
  25. 32
  26. 180 Bälle
  27. 51
  28. 163
  29. 261
  30. 156 Kästchen
  31. 102
  32. 134
  33. 322
  34. 42
  35. 15
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  37. vertauschen, 123
  38. falsch, richtig ist 2773
  39. 5
  40. 64
  41. 63
  42. 37