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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 34 − 2 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 3 = 6
    2. 34 − 6 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●40
    Rechne: (8 + 7) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 7 = 15
    2. 15 · 6 = 90
    Ergebnis:
    90

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 6 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 4 = 24
    2. 10 + 24 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 4 und erhalte 32. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Sofia rechnet 43 + 34 + 57 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
433457
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 43 + 57 + 34
  2. 43 + 57 = 100
  3. 100 + 34 = 134
  1. Vertauschen: 43 + 57 + 34
  2. 43 + 57 = 100
  3. 100 + 34 = 134
Ergebnis:
134

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lina rechnet 45 + 22 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    452215
    So fängst du an:
    Vertauschen: 45 + 15 + 22
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 45 + 15 + 22
    2. 45 + 15 = 60
    3. 60 + 22 = 82
    Ergebnis:
    82
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 7 + 16 + 13 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    71613
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 13 + 16
    2. 7 + 13 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 16 = 36
    Ergebnis:
    36
  3. ★3
    Paul rechnet 61 + 601 + 139 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    61601139
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 61 + 139 + 601
    2. 61 + 139 = 200
    3. 200 + 601 = 801
    Ergebnis:
    801

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 96
29796
Schritt für Schritt
  1. 297 bekommt 3 dazu, 96 gibt 3 ab.
  2. 297 + 96 = 300 + 93
  3. 300 + 93 = 393
  1. 297 bekommt 3 dazu, 96 gibt 3 ab.
  2. 297 + 96 = 300 + 93
  3. 300 + 93 = 393
Ergebnis:
393

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Milan rechnet 97 + 77 als 100 + 77. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    9777
    So fängst du an:
    Milan hat 97 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 77 = 177.
    3. 3 wieder abziehen: 177 − 3 = 174
    Ergebnis:
    174
  2. ●5
    Jonas rechnet 97 + 38 als 100 + 38. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    9738
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 38 = 138.
    3. 3 wieder abziehen: 138 − 3 = 135
    Ergebnis:
    135
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1998 + 485
    1998485
    Lösung zeigen
    1. 1998 bekommt 2 dazu, 485 gibt 2 ab.
    2. 1998 + 485 = 2000 + 483
    3. 2000 + 483 = 2483
    Ergebnis:
    2483

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 28
Schritt für Schritt
  1. 28 = 20 + 8
  2. 9 · 20 = 180 und 9 · 8 = 72
  3. 180 + 72 = 252
  1. 28 = 20 + 8
  2. 9 · 20 = 180 und 9 · 8 = 72
  3. 180 + 72 = 252
Ergebnis:
252

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
    3. 180 − 3 = 177
    Ergebnis:
    177
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 65
    Lösung zeigen
    1. 65 = 60 + 5
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 5 = 20
    3. 240 + 20 = 260
    Ergebnis:
    260
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 6 · 476
    Lösung zeigen
    1. 476 = 400 + 70 + 6
    2. 6 · 400 = 2400; 6 · 70 = 420; 6 · 6 = 36
    3. 2400 + 420 + 36 = 2856
    Ergebnis:
    2856

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 210 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 210 : 5?
210: 5
Schritt für Schritt
  1. 210 = 200 + 10
  2. 200 : 5 = 40 und 10 : 5 = 2
  3. 40 + 2 = 42
  1. 210 = 200 + 10
  2. 200 : 5 = 40 und 10 : 5 = 2
  3. 40 + 2 = 42
Ergebnis:
42

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    261 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    261 : 9
    Lösung zeigen
    1. 261 : 9
    2. 261 = 180 + 81
    3. 180 : 9 = 20 und 81 : 9 = 9
    4. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29 Murmeln
  2. ●11
    Zerlege 248 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 248 : 4?
    248: 4
    Lösung zeigen
    1. 248 = 240 + 8
    2. 240 : 4 = 60 und 8 : 4 = 2
    3. 60 + 2 = 62
    Ergebnis:
    62
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 1359 : 9
    Lösung zeigen
    1. 1359 = 1350 + 9
    2. 1350 : 9 = 150 und 9 : 9 = 1
    3. 150 + 1 = 151
    Ergebnis:
    151

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 45 + 54 = 47 + ___
45 + 54=47 + ?
Schritt für Schritt
  1. 45 wird zu 47: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 54 um 2 kleiner.
  3. 54 − 2 = 52
  1. 45 wird zu 47: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 54 um 2 kleiner.
  3. 54 − 2 = 52
Ergebnis:
52

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 55 − 17 = ___ − 18
    So fängst du an:
    17 wird zu 18: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 17 wird zu 18: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 55 um 1 größer.
    3. 55 + 1 = 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 24 + 67 = 21 + ___
    Lösung zeigen
    1. 24 wird zu 21: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 67 um 3 größer.
    3. 67 + 3 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 13 + 44 = 11 + ___
    13 + 44=11 + ?
    Lösung zeigen
    1. 13 wird zu 11: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 44 um 2 größer.
    3. 44 + 2 = 46
    Ergebnis:
    46

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Lea verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 45? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 45 = 40 + 5.
  2. 9 · 40 = 360 und 9 · 5 = 45
  3. Zusammen: 405
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 45 = 40 + 5.
  2. 9 · 40 = 360 und 9 · 5 = 45
  3. Zusammen: 405
Ergebnis:
zerlegen, 405

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 70? Nenne ihn und rechne.
    9 · 70zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 70 = 70 + 0.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 70 = 70 + 0.
    2. 9 · 70 = 630 und 9 · 0 = 0
    3. Zusammen: 630
    Ergebnis:
    zerlegen, 630
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 45 + 41 + 55? Nenne ihn und rechne.
    45 + 41 + 55zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 45 + 55 = 100
    3. 100 + 41 = 141
    Ergebnis:
    vertauschen, 141
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Elias rechnet 840 − 690 und erhält 150. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 150 + 690 = 840
  2. 840 ist genau 840: Es stimmt.
  3. 840 − 690 = 150
  1. Umkehraufgabe: 150 + 690 = 840
  2. 840 ist genau 840: Es stimmt.
  3. 840 − 690 = 150
Ergebnis:
stimmt, 150

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia rechnet 260 : 4 und erhält 66. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    260 : 4Ergebnis 66?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 66 · 4 = 264
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 66 · 4 = 264
    2. 264 ist nicht 260: Es ist falsch.
    3. 260 : 4 = 65
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 65
  2. ●23
    Paul rechnet 511 : 7 und erhält 75. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    511 : 7Ergebnis 75?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 75 · 7 = 525
    2. 525 ist nicht 511: Es ist falsch.
    3. 511 : 7 = 73
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 73
  3. ★24
    Aylin rechnet 7976 − 350 und erhält 7626. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 7626 + 350 = 7976
    2. 7976 ist genau 7976: Es stimmt.
    3. 7976 − 350 = 7626
    Ergebnis:
    stimmt, 7626

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 24 + 29 + 6 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    24296
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    1. Vertauschen: 24 + 6 + 29
    2. 24 + 6 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 29 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 5 · 3 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    532
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 3
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 89 = 100 + ___
    9889
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 89 um 2 kleiner werden: 89 − 2 = 87
    3. 100 + 87 = 187
    Ergebnis:
    87
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 98 − 48 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 98 um 2 größer: 100.
    3. 100 − 50 = 50
    Ergebnis:
    100
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
    3. 320 − 8 = 312
    Ergebnis:
    312
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 23 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2033
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 20 = 60
    2. Rechter Teil: 3 · 3 = 9
    3. Zusammen: 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 36 + 23 + 64 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    362364
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    123

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 64 = 300 + ___
    29764
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    61

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    354

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 63 : 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 95 − 23 = ___ − 28
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    100

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Can verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina rechnet 720 : 8 und erhält 89. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    720 : 8Ergebnis 89?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 90

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 82
  2. 36
  3. 801
  4. 174
  5. 135
  6. 2483
  7. 177
  8. 260
  9. 2856
  10. 29 Murmeln
  11. 62
  12. 151
  13. 56
  14. 70
  15. 46
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  17. 200
  18. 3000
  19. zerlegen, 630
  20. vertauschen, 141
  21. halbieren und verdoppeln, 80
  22. falsch, richtig ist 65
  23. falsch, richtig ist 73
  24. stimmt, 7626
  25. 59
  26. 30
  27. 87
  28. 100
  29. 312
  30. 69 Kästchen
  31. 123
  32. 61
  33. 354
  34. 21
  35. 100
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  37. halbieren und verdoppeln, 200
  38. falsch, richtig ist 90
  39. 28
  40. 90
  41. 34
  42. 28