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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 6 + 3 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 2 = 6
    2. 6 + 6 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●40
    Rechne: (8 + 7) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 7 = 15
    2. 15 · 7 = 105
    Ergebnis:
    105

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 6 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 6 = 36
    2. 5 + 36 = 41
    Ergebnis:
    41
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 20 und erhalte 37. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 42 + 44 + 58
424458
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 42 + 58 + 44
  2. 42 + 58 = 100
  3. 100 + 44 = 144
  1. Vertauschen: 42 + 58 + 44
  2. 42 + 58 = 100
  3. 100 + 44 = 144
Ergebnis:
144

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Paul rechnet 39 + 49 + 21 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    394921
    So fängst du an:
    Vertauschen: 39 + 21 + 49
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 39 + 21 + 49
    2. 39 + 21 = 60
    3. 60 + 49 = 109
    Ergebnis:
    109
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 42 + 62 + 8 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    42628
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 42 + 8 + 62
    2. 42 + 8 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 62 = 112
    Ergebnis:
    112
  3. ★3
    Rechne geschickt: 228 + 506 + 65 + 72 + 35
    228506657235
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 228 + 72 + 65 + 35 + 506
    2. 228 + 72 = 300 und 65 + 35 = 100
    3. 300 + 100 + 506 = 906
    Ergebnis:
    906

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 29
6729
Schritt für Schritt
  1. 67 bekommt 3 dazu, 29 gibt 3 ab.
  2. 67 + 29 = 70 + 26
  3. 70 + 26 = 96
  1. 67 bekommt 3 dazu, 29 gibt 3 ab.
  2. 67 + 29 = 70 + 26
  3. 70 + 26 = 96
Ergebnis:
96

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 58 = 300 + ___
    29858
    So fängst du an:
    298 wird zu 300: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
    2. Also muss 58 um 2 kleiner werden: 58 − 2 = 56
    3. 300 + 56 = 356
    Ergebnis:
    56
  2. ●5
    Hanna rechnet 37 + 45 als 40 + 45. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    3745
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 45 = 85.
    3. 3 wieder abziehen: 85 − 3 = 82
    Ergebnis:
    82
  3. ★6
    Emma rechnet 699 + 339 als 700 + 339. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    699339
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 699 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 700 + 339 = 1039.
    3. 1 wieder abziehen: 1039 − 1 = 1038
    Ergebnis:
    1038

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 49
Schritt für Schritt
  1. 49 = 50 − 1
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
  3. 300 − 6 = 294
  1. 49 = 50 − 1
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
  3. 300 − 6 = 294
Ergebnis:
294

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Reihen mit je 57 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 57
    Lösung zeigen
    1. 9 · 57
    2. 57 = 50 + 7
    3. 9 · 50 = 450 und 9 · 7 = 63
    4. 450 + 63 = 513
    Ergebnis:
    513 Stühle
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 69
    Lösung zeigen
    1. 69 = 60 + 9
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 9 = 72
    3. 480 + 72 = 552
    Ergebnis:
    552
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 25
    Lösung zeigen
    1. 25 = 20 + 5
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 5 = 35
    3. 140 + 35 = 175
    Ergebnis:
    175

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 301 : 7
Schritt für Schritt
  1. 301 = 280 + 21
  2. 280 : 7 = 40 und 21 : 7 = 3
  3. 40 + 3 = 43
  1. 301 = 280 + 21
  2. 280 : 7 = 40 und 21 : 7 = 3
  3. 40 + 3 = 43
Ergebnis:
43

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    238 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    238 : 7
    Lösung zeigen
    1. 238 : 7
    2. 238 = 210 + 28
    3. 210 : 7 = 30 und 28 : 7 = 4
    4. 30 + 4 = 34
    Ergebnis:
    34 Murmeln
  2. ●11
    126 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 126 : 3
    2. 126 = 120 + 6
    3. 120 : 3 = 40 und 6 : 3 = 2
    4. 40 + 2 = 42
    Ergebnis:
    42 Bücher
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 123 : 3
    Lösung zeigen
    1. 123 = 120 + 3
    2. 120 : 3 = 40 und 3 : 3 = 1
    3. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 73 − 58 = ___ − 68
Schritt für Schritt
  1. 58 wird zu 68: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 73 um 10 größer.
  3. 73 + 10 = 83
  1. 58 wird zu 68: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 73 um 10 größer.
  3. 73 + 10 = 83
Ergebnis:
83

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 62 + 83 = 52 + ___
    So fängst du an:
    62 wird zu 52: 10 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 62 wird zu 52: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 83 um 10 größer.
    3. 83 + 10 = 93
    Ergebnis:
    93
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 29 + 38 = 39 + ___
    29 + 38=39 + ?
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 39: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 38 um 10 kleiner.
    3. 38 − 10 = 28
    Ergebnis:
    28
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 5 = 7 · ___
    14 · 5=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Hanna verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Lea verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Warum ist 36 · 5 dasselbe wie 18 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 36 · 5 = 18 · 10
    3. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 389 + 497? Nenne ihn und rechne.
389 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 389 + 497 = 386 + 500
  3. 386 + 500 = 886
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 389 + 497 = 386 + 500
  3. 386 + 500 = 886
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 886

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 28 + 31 + 72? Nenne ihn und rechne.
    28 + 31 + 72zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 28 + 72 = 100
    3. 100 + 31 = 131
    Ergebnis:
    vertauschen, 131
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 35? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 35 = 30 + 5.
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 5 = 35
    3. Zusammen: 245
    Ergebnis:
    zerlegen, 245
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia erhält für 82 · 42 das Ergebnis 3544. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
  2. 3544 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 82 · 42 = 3444
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
  2. 3544 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 82 · 42 = 3444
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 3444

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Can rechnet 180 : 5 und erhält 36. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    180 : 5Ergebnis 36?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 36 · 5 = 180
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 36 · 5 = 180
    2. 180 ist genau 180: Es stimmt.
    3. 180 : 5 = 36
    Ergebnis:
    stimmt, 36
  2. ●23
    Hanna erhält für 35 · 37 das Ergebnis 1295. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 40 = 1600
    2. 1295 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 35 · 37 = 1295
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1295
  3. ★24
    Jonas rechnet 7646 − 4017 und erhält 3629. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 3629 + 4017 = 7646
    2. 7646 ist genau 7646: Es stimmt.
    3. 7646 − 4017 = 3629
    Ergebnis:
    stimmt, 3629

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 9 + 39 + 11
    93911
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 11 + 39
    2. 9 + 11 = 20
    3. 20 + 39 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 4 · 2 · 50 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    4250
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 4
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 4 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ●27
    Noah rechnet 198 + 66 als 200 + 66. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    19866
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 66 = 266.
    3. 2 wieder abziehen: 266 − 2 = 264
    Ergebnis:
    264
  4. ●28
    Milan rechnet 123 − 98 als 123 − 100 und erhält 23. Ist das schon das Ergebnis?
    123 − 98123 − 100
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 23 + 2 = 25
    Ergebnis:
    Nein, 25
  5. ●29
    Es gibt 5 Tüten mit je 13 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 13
    2. 13 = 10 + 3
    3. 5 · 10 = 50 und 5 · 3 = 15
    4. 50 + 15 = 65
    Ergebnis:
    65 Bonbons
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 26 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2064
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 20 = 80
    2. Rechter Teil: 4 · 6 = 24
    3. Zusammen: 80 + 24 = 104
    Ergebnis:
    104 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Elias rechnet 18 + 43 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    184322
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    83

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Lina rechnet 99 + 92 als 100 + 92. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    9992
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    191

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    261

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 376 : 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 90 − 20 = ___ − 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    95

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Hanna verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan erhält für 32 · 18 das Ergebnis 776. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 576

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 109
  2. 112
  3. 906
  4. 56
  5. 82
  6. 1038
  7. 513 Stühle
  8. 552
  9. 175
  10. 34 Murmeln
  11. 42 Bücher
  12. 41
  13. 93
  14. 28
  15. 10
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  17. 70
  18. 180
  19. vertauschen, 131
  20. zerlegen, 245
  21. halbieren und verdoppeln, 300
  22. stimmt, 36
  23. stimmt, 1295
  24. stimmt, 3629
  25. 59
  26. 400
  27. 264
  28. Nein, 25
  29. 65 Bonbons
  30. 104 Kästchen
  31. 83
  32. 191
  33. 261
  34. 47
  35. 95
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. falsch, richtig ist 576
  39. 12
  40. 105
  41. 41
  42. 17