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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 25 − 2 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 4 = 8
    2. 25 − 8 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●40
    Rechne: (7 + 3) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 3 = 10
    2. 10 · 5 = 50
    Ergebnis:
    50

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 4 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 9 = 36
    2. 3 + 36 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 27 und erhalte 80. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Jonas rechnet 7 + 52 + 43 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
75243
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 7 + 43 + 52
  2. 7 + 43 = 50
  3. 50 + 52 = 102
  1. Vertauschen: 7 + 43 + 52
  2. 7 + 43 = 50
  3. 50 + 52 = 102
Ergebnis:
102

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 85 + 74 + 15 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    857415
    So fängst du an:
    Vertauschen: 85 + 15 + 74
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 85 + 15 + 74
    2. 85 + 15 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 74 = 174
    Ergebnis:
    174
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 63 + 15 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    156315
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 15 + 63
    2. 15 + 15 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 63 = 93
    Ergebnis:
    93
  3. ★3
    Lea rechnet 121 + 422 + 69 + 79 + 31 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    121422697931
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 121 + 79 + 69 + 31 + 422
    2. 121 + 79 = 200 und 69 + 31 = 100
    3. 200 + 100 + 422 = 722
    Ergebnis:
    722

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 67
3867
Schritt für Schritt
  1. 38 bekommt 2 dazu, 67 gibt 2 ab.
  2. 38 + 67 = 40 + 65
  3. 40 + 65 = 105
  1. 38 bekommt 2 dazu, 67 gibt 2 ab.
  2. 38 + 67 = 40 + 65
  3. 40 + 65 = 105
Ergebnis:
105

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 86
    3986
    So fängst du an:
    39 bekommt 1 dazu, 86 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 86 gibt 1 ab.
    2. 39 + 86 = 40 + 85
    3. 40 + 85 = 125
    Ergebnis:
    125
  2. ●5
    Mia rechnet 38 + 44 als 40 + 44. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    3844
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 38 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 44 = 84.
    3. 2 wieder abziehen: 84 − 2 = 82
    Ergebnis:
    82
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 398 + 376 = 400 + ___
    398376
    Lösung zeigen
    1. 398 wird zu 400: 2 mehr.
    2. Also muss 376 um 2 kleiner werden: 376 − 2 = 374
    3. 400 + 374 = 774
    Ergebnis:
    374

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 8 Hefte mit je 28 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 8 · 28
  2. 28 = 20 + 8
  3. 8 · 20 = 160 und 8 · 8 = 64
  4. 160 + 64 = 224
  1. 8 · 28
  2. 28 = 20 + 8
  3. 8 · 20 = 160 und 8 · 8 = 64
  4. 160 + 64 = 224
Ergebnis:
224 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
    3. 240 − 4 = 236
    Ergebnis:
    236
  2. ●8
    Es gibt 9 Reihen mit je 42 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 42
    2. 42 = 40 + 2
    3. 9 · 40 = 360 und 9 · 2 = 18
    4. 360 + 18 = 378
    Ergebnis:
    378 Stühle
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 1 = 4
    3. 160 − 4 = 156
    Ergebnis:
    156

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 168 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 168 : 3?
168: 3
Schritt für Schritt
  1. 168 = 150 + 18
  2. 150 : 3 = 50 und 18 : 3 = 6
  3. 50 + 6 = 56
  1. 168 = 150 + 18
  2. 150 : 3 = 50 und 18 : 3 = 6
  3. 50 + 6 = 56
Ergebnis:
56

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    216 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    216 : 4
    Lösung zeigen
    1. 216 : 4
    2. 216 = 200 + 16
    3. 200 : 4 = 50 und 16 : 4 = 4
    4. 50 + 4 = 54
    Ergebnis:
    54 Sticker
  2. ●11
    488 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 488 : 8
    2. 488 = 480 + 8
    3. 480 : 8 = 60 und 8 : 8 = 1
    4. 60 + 1 = 61
    Ergebnis:
    61 Murmeln
  3. ★12
    Zerlege 416 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 416 : 8?
    416: 8
    Lösung zeigen
    1. 416 = 400 + 16
    2. 400 : 8 = 50 und 16 : 8 = 2
    3. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 74 + 64 = 71 + ___
74 + 64=71 + ?
Schritt für Schritt
  1. 74 wird zu 71: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 64 um 3 größer.
  3. 64 + 3 = 67
  1. 74 wird zu 71: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 64 um 3 größer.
  3. 64 + 3 = 67
Ergebnis:
67

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 10 = 3 · ___
    So fängst du an:
    6 wird halb so groß: 3.
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 80 + 35 = 77 + ___
    80 + 35=77 + ?
    Lösung zeigen
    1. 80 wird zu 77: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 35 um 3 größer.
    3. 35 + 3 = 38
    Ergebnis:
    38
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 5 = 6 · ___
    12 · 5=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
Schritt für Schritt
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Lea verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  3. ★18
    Ben verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 90

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 20 + 59 + 80? Nenne ihn und rechne.
    20 + 59 + 80zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 20 + 80 = 100
    3. 100 + 59 = 159
    Ergebnis:
    vertauschen, 159

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can erhält für 62 · 48 das Ergebnis 3976. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 60 · 50 = 3000
  2. 3976 liegt zu weit weg. Genau: 62 · 48 = 2976
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 60 · 50 = 3000
  2. 3976 liegt zu weit weg. Genau: 62 · 48 = 2976
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 2976

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 563 − 154 und erhält 419. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 419 + 154 = 573
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 419 + 154 = 573
    2. 573 ist nicht 563: Es ist falsch.
    3. 563 − 154 = 409
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 409
  2. ●23
    Noah rechnet 520 : 8 und erhält 65. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    520 : 8Ergebnis 65?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 65 · 8 = 520
    2. 520 ist genau 520: Es stimmt.
    3. 520 : 8 = 65
    Ergebnis:
    stimmt, 65
  3. ★24
    Zeynep erhält für 371 · 49 das Ergebnis 18.379. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 50 = 20.000
    2. 18.379 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 371 · 49 = 18.179
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 18.179

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 16 + 36 + 44 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    163644
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 44 + 36
    2. 16 + 44 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 36 = 96
    Ergebnis:
    96
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 9 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    952
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 9
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 68
    29768
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 68 gibt 3 ab.
    2. 297 + 68 = 300 + 65
    3. 300 + 65 = 365
    Ergebnis:
    365
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 114 − 17 = ___ − 20
    Lösung zeigen
    1. 17 wird zu 20: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 114 um 3 größer: 117.
    3. 117 − 20 = 97
    Ergebnis:
    117
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
    3. 480 − 8 = 472
    Ergebnis:
    472
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 12?
    1023
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 10 = 30
    2. Rechts: 3 · 2 = 6
    3. 3 · 12 = 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    3 · 10 und 3 · 2, zusammen 36

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Sofia rechnet 13 + 83 + 37 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    138337
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    133

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Noah rechnet 99 + 82 als 100 + 82. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    9982
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    181

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 36
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    216

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 585 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 585 : 9?
    585: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 88 + 35 = 89 + ___
    88 + 35=89 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 357 + 399? Nenne ihn und rechne.
    357 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 756

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas rechnet 546 : 7 und erhält 80. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    546 : 7Ergebnis 80?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 78

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 174
  2. 93
  3. 722
  4. 125
  5. 82
  6. 374
  7. 236
  8. 378 Stühle
  9. 156
  10. 54 Sticker
  11. 61 Murmeln
  12. 52
  13. 20
  14. 38
  15. 10
  16. 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. halbieren und verdoppeln, 300
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. vertauschen, 159
  22. falsch, richtig ist 409
  23. stimmt, 65
  24. falsch, richtig ist 18.179
  25. 96
  26. 90
  27. 365
  28. 117
  29. 472
  30. 3 · 10 und 3 · 2, zusammen 36
  31. 133
  32. 181
  33. 216
  34. 65
  35. 34
  36. 200
  37. gegensinnig verändern, 756
  38. falsch, richtig ist 78
  39. 17
  40. 50
  41. 39
  42. 53