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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
    2. 5 + 30 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●40
    Rechne: (3 + 6) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 6 = 9
    2. 9 · 3 = 27
    Ergebnis:
    27

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 5 + 24 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 40 und erhalte 78. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Hanna rechnet 36 + 63 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
36634
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 36 + 4 + 63
  2. 36 + 4 = 40
  3. 40 + 63 = 103
  1. Vertauschen: 36 + 4 + 63
  2. 36 + 4 = 40
  3. 40 + 63 = 103
Ergebnis:
103

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 9 + 73 + 11
    97311
    So fängst du an:
    Vertauschen: 9 + 11 + 73
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 11 + 73
    2. 9 + 11 = 20
    3. 20 + 73 = 93
    Ergebnis:
    93
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 33 + 83 + 7 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    33837
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 7 + 83
    2. 33 + 7 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 83 = 123
    Ergebnis:
    123
  3. ★3
    Rechne geschickt: 185 + 387 + 15
    18538715
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 185 + 15 + 387
    2. 185 + 15 = 200
    3. 200 + 387 = 587
    Ergebnis:
    587

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 78
4978
Schritt für Schritt
  1. 49 bekommt 1 dazu, 78 gibt 1 ab.
  2. 49 + 78 = 50 + 77
  3. 50 + 77 = 127
  1. 49 bekommt 1 dazu, 78 gibt 1 ab.
  2. 49 + 78 = 50 + 77
  3. 50 + 77 = 127
Ergebnis:
127

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 84
    9784
    So fängst du an:
    97 bekommt 3 dazu, 84 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 84 gibt 3 ab.
    2. 97 + 84 = 100 + 81
    3. 100 + 81 = 181
    Ergebnis:
    181
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 65
    4965
    Lösung zeigen
    1. 49 bekommt 1 dazu, 65 gibt 1 ab.
    2. 49 + 65 = 50 + 64
    3. 50 + 64 = 114
    Ergebnis:
    114
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 398 + 145
    398145
    Lösung zeigen
    1. 398 bekommt 2 dazu, 145 gibt 2 ab.
    2. 398 + 145 = 400 + 143
    3. 400 + 143 = 543
    Ergebnis:
    543

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Reihen mit je 68 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 68
  2. 68 = 60 + 8
  3. 5 · 60 = 300 und 5 · 8 = 40
  4. 300 + 40 = 340
  1. 5 · 68
  2. 68 = 60 + 8
  3. 5 · 60 = 300 und 5 · 8 = 40
  4. 300 + 40 = 340
Ergebnis:
340 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
    3. 240 − 6 = 234
    Ergebnis:
    234
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
    3. 180 − 3 = 177
    Ergebnis:
    177
  3. ★9
    Es gibt 3 Reihen mit je 95 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 95
    2. 95 = 90 + 5
    3. 3 · 90 = 270 und 3 · 5 = 15
    4. 270 + 15 = 285
    Ergebnis:
    285 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

280 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 280 : 8
  2. 280 = 240 + 40
  3. 240 : 8 = 30 und 40 : 8 = 5
  4. 30 + 5 = 35
  1. 280 : 8
  2. 280 = 240 + 40
  3. 240 : 8 = 30 und 40 : 8 = 5
  4. 30 + 5 = 35
Ergebnis:
35 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    65 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    65 : 5
    Lösung zeigen
    1. 65 : 5
    2. 65 = 50 + 15
    3. 50 : 5 = 10 und 15 : 5 = 3
    4. 10 + 3 = 13
    Ergebnis:
    13 Murmeln
  2. ●11
    477 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 477 : 9
    2. 477 = 450 + 27
    3. 450 : 9 = 50 und 27 : 9 = 3
    4. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53 Bücher
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 595 : 7
    Lösung zeigen
    1. 595 = 560 + 35
    2. 560 : 7 = 80 und 35 : 7 = 5
    3. 80 + 5 = 85
    Ergebnis:
    85

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 73 + 45 = 63 + ___
73 + 45=63 + ?
Schritt für Schritt
  1. 73 wird zu 63: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 45 um 10 größer.
  3. 45 + 10 = 55
  1. 73 wird zu 63: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 45 um 10 größer.
  3. 45 + 10 = 55
Ergebnis:
55

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 71 − 66 = ___ − 76
    So fängst du an:
    66 wird zu 76: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 66 wird zu 76: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 71 um 10 größer.
    3. 71 + 10 = 81
    Ergebnis:
    81
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 18 · 11 = 9 · ___
    18 · 11=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 12 · 12 = 6 · ___
    12 · 12=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
Schritt für Schritt
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 90

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 9 · 33? Nenne ihn und rechne.
    9 · 33zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 33 = 30 + 3.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 33 = 30 + 3.
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 3 = 27
    3. Zusammen: 297
    Ergebnis:
    zerlegen, 297
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 2947 − 2340? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 2947 − 2340 = 607
    Ergebnis:
    schriftlich, 607

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah erhält für 80 · 24 das Ergebnis 1720. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
  2. 1720 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 80 · 24 = 1920
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
  2. 1720 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 80 · 24 = 1920
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1920

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas rechnet 326 − 202 und erhält 124. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 124 + 202 = 326
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 124 + 202 = 326
    2. 326 ist genau 326: Es stimmt.
    3. 326 − 202 = 124
    Ergebnis:
    stimmt, 124
  2. ●23
    Zeynep rechnet 84 : 3 und erhält 27. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    84 : 3Ergebnis 27?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 27 · 3 = 81
    2. 81 ist nicht 84: Es ist falsch.
    3. 84 : 3 = 28
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 28
  3. ★24
    Tom erhält für 147 · 43 das Ergebnis 6521. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 100 · 40 = 4000
    2. 6521 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 147 · 43 = 6321
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 6321

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 5 + 12 + 25
    51225
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 + 25 + 12
    2. 5 + 25 = 30
    3. 30 + 12 = 42
    Ergebnis:
    42
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 2 · 19 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    2195
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 19
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 19 = 190
    Ergebnis:
    190
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 26 = 50 + ___
    4726
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
    2. Also muss 26 um 3 kleiner werden: 26 − 3 = 23
    3. 50 + 23 = 73
    Ergebnis:
    23
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 212 − 199
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 212 − 199 = 213 − 200
    3. 213 − 200 = 13
    Ergebnis:
    13
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
    3. 420 − 7 = 413
    Ergebnis:
    413
  6. ●30
    Can rechnet 7 · 13 so: erst 7 · 10, dann 3 dazu. Can erhält 73. Zeige am Bild, was fehlt.
    1037
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 3 Kästchen, nicht nur 3.
    2. Rechter Teil: 7 · 3 = 21
    3. 70 + 21 = 91
    Ergebnis:
    91

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Aylin rechnet 35 + 46 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    354615
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    96

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 37 = 100 + ___
    9937
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 44
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    220

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 216 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 216 : 9?
    216: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 69 − 39 = ___ − 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    79

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom erhält für 60 · 17 das Ergebnis 820. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1020

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 93
  2. 123
  3. 587
  4. 181
  5. 114
  6. 543
  7. 234
  8. 177
  9. 285 Stühle
  10. 13 Murmeln
  11. 53 Bücher
  12. 85
  13. 81
  14. 22
  15. 24
  16. 70
  17. 90
  18. 900
  19. zerlegen, 297
  20. halbieren und verdoppeln, 400
  21. schriftlich, 607
  22. stimmt, 124
  23. falsch, richtig ist 28
  24. falsch, richtig ist 6321
  25. 42
  26. 190
  27. 23
  28. 13
  29. 413
  30. 91
  31. 96
  32. 36
  33. 220
  34. 24
  35. 79
  36. 70
  37. halbieren und verdoppeln, 70
  38. falsch, richtig ist 1020
  39. 35
  40. 27
  41. 29
  42. 38