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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 2 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
    2. 4 + 14 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●40
    Rechne: (5 + 7) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 7 = 12
    2. 12 · 7 = 84
    Ergebnis:
    84

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 2 + 9 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 6 = 54
    2. 2 + 54 = 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 19 und erhalte 50. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Milan rechnet 25 + 89 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
25895
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 25 + 5 + 89
  2. 25 + 5 = 30
  3. 30 + 89 = 119
  1. Vertauschen: 25 + 5 + 89
  2. 25 + 5 = 30
  3. 30 + 89 = 119
Ergebnis:
119

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Can rechnet 18 + 14 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    181422
    So fängst du an:
    Vertauschen: 18 + 22 + 14
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 22 + 14
    2. 18 + 22 = 40
    3. 40 + 14 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 6 + 38 + 34 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    63834
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 34 + 38
    2. 6 + 34 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 38 = 78
    Ergebnis:
    78
  3. ★3
    Ben rechnet 114 + 452 + 186 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    114452186
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 114 + 186 + 452
    2. 114 + 186 = 300
    3. 300 + 452 = 752
    Ergebnis:
    752

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 67
19767
Schritt für Schritt
  1. 197 bekommt 3 dazu, 67 gibt 3 ab.
  2. 197 + 67 = 200 + 64
  3. 200 + 64 = 264
  1. 197 bekommt 3 dazu, 67 gibt 3 ab.
  2. 197 + 67 = 200 + 64
  3. 200 + 64 = 264
Ergebnis:
264

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 35 = 200 + ___
    19835
    So fängst du an:
    198 wird zu 200: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 35 um 2 kleiner werden: 35 − 2 = 33
    3. 200 + 33 = 233
    Ergebnis:
    33
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 26 = 100 + ___
    9726
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 26 um 3 kleiner werden: 26 − 3 = 23
    3. 100 + 23 = 123
    Ergebnis:
    23
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 997 + 164
    997164
    Lösung zeigen
    1. 997 bekommt 3 dazu, 164 gibt 3 ab.
    2. 997 + 164 = 1000 + 161
    3. 1000 + 161 = 1161
    Ergebnis:
    1161

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
Schritt für Schritt
  1. 39 = 40 − 1
  2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
  3. 320 − 8 = 312
  1. 39 = 40 − 1
  2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
  3. 320 − 8 = 312
Ergebnis:
312

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
    3. 250 − 5 = 245
    Ergebnis:
    245
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 48
    Lösung zeigen
    1. 48 = 40 + 8
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 8 = 32
    3. 160 + 32 = 192
    Ergebnis:
    192
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 198
    Lösung zeigen
    1. 198 = 200 − 2
    2. 6 · 200 = 1200 und 6 · 2 = 12
    3. 1200 − 12 = 1188
    Ergebnis:
    1188

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

621 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 621 : 9
  2. 621 = 540 + 81
  3. 540 : 9 = 60 und 81 : 9 = 9
  4. 60 + 9 = 69
  1. 621 : 9
  2. 621 = 540 + 81
  3. 540 : 9 = 60 und 81 : 9 = 9
  4. 60 + 9 = 69
Ergebnis:
69 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 88 : 4
    So fängst du an:
    88 = 80 + 8
    Lösung zeigen
    1. 88 = 80 + 8
    2. 80 : 4 = 20 und 8 : 4 = 2
    3. 20 + 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●11
    Zerlege 204 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 204 : 6?
    204: 6
    Lösung zeigen
    1. 204 = 180 + 24
    2. 180 : 6 = 30 und 24 : 6 = 4
    3. 30 + 4 = 34
    Ergebnis:
    34
  3. ★12
    Zerlege 429 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 429 : 3?
    429: 3
    Lösung zeigen
    1. 429 = 420 + 9
    2. 420 : 3 = 140 und 9 : 3 = 3
    3. 140 + 3 = 143
    Ergebnis:
    143

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 66 − 13 = ___ − 23
Schritt für Schritt
  1. 13 wird zu 23: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 66 um 10 größer.
  3. 66 + 10 = 76
  1. 13 wird zu 23: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 66 um 10 größer.
  3. 66 + 10 = 76
Ergebnis:
76

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 73 + 20 = 63 + ___
    73 + 20=63 + ?
    So fängst du an:
    73 wird zu 63: 10 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 73 wird zu 63: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 20 um 10 größer.
    3. 20 + 10 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 59 − 16 = ___ − 26
    Lösung zeigen
    1. 16 wird zu 26: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 10 größer.
    3. 59 + 10 = 69
    Ergebnis:
    69
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 72 + 33 = 70 + ___
    Lösung zeigen
    1. 72 wird zu 70: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 33 um 2 größer.
    3. 33 + 2 = 35
    Ergebnis:
    35

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Paul verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Jonas verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Warum ist 24 · 125 dasselbe wie 12 · 250? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 24 · 125 = 12 · 250
    3. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 331 + 598? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 331 + 598 = 329 + 600
  3. 329 + 600 = 929
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 331 + 598 = 329 + 600
  3. 329 + 600 = 929
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 929

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 217 + 497? Nenne ihn und rechne.
    217 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 217 + 497 = 214 + 500
    3. 214 + 500 = 714
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 714
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 3077 − 2386? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 3077 − 2386 = 691
    Ergebnis:
    schriftlich, 691

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben rechnet 270 : 9 und erhält 40. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
270 : 9Ergebnis 40?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 40 · 9 = 360
  2. 360 ist nicht 270: Es ist falsch.
  3. 270 : 9 = 30
  1. Umkehraufgabe: 40 · 9 = 360
  2. 360 ist nicht 270: Es ist falsch.
  3. 270 : 9 = 30
Ergebnis:
falsch, richtig ist 30

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mia rechnet 270 : 5 und erhält 56. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    270 : 5Ergebnis 56?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 56 · 5 = 280
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 56 · 5 = 280
    2. 280 ist nicht 270: Es ist falsch.
    3. 270 : 5 = 54
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 54
  2. ●23
    Emma erhält für 76 · 28 das Ergebnis 3128. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 30 = 2400
    2. 3128 liegt zu weit weg. Genau: 76 · 28 = 2128
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2128
  3. ★24
    Elias erhält für 380 · 15 das Ergebnis 5800. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 20 = 8000
    2. 5800 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 380 · 15 = 5700
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 5700

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 26 + 46 + 4
    26464
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 4 + 46
    2. 26 + 4 = 30
    3. 30 + 46 = 76
    Ergebnis:
    76
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Kisten. In jeder Kiste sind 12 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Kisten12 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 12
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 12 = 1200
    Ergebnis:
    1200 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 95
    9795
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 95 gibt 3 ab.
    2. 97 + 95 = 100 + 92
    3. 100 + 92 = 192
    Ergebnis:
    192
  4. ●28
    Elias rechnet 76 − 19 als 76 − 20 und erhält 56. Ist das schon das Ergebnis?
    76 − 1976 − 20
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 56 + 1 = 57
    Ergebnis:
    Nein, 57
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 20 + 9
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 9 = 36
    3. 80 + 36 = 116
    Ergebnis:
    116
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 5 · 15?
    1055
    Lösung zeigen
    1. Links: 5 · 10 = 50
    2. Rechts: 5 · 5 = 25
    3. 5 · 15 = 50 + 25 = 75
    Ergebnis:
    5 · 10 und 5 · 5, zusammen 75

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Tom rechnet 29 + 42 + 21 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    294221
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    92

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 45 = 50 + ___
    4745
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 4 Tüten mit je 38 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    152 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 414 : 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    69

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 49 − 19 = ___ − 20
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    50

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 36? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 180

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Zeynep erhält für 78 · 26 das Ergebnis 2028. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 2028

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 54
  2. 78
  3. 752
  4. 33
  5. 23
  6. 1161
  7. 245
  8. 192
  9. 1188
  10. 22
  11. 34
  12. 143
  13. 30
  14. 69
  15. 35
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. 180
  18. 3000
  19. gegensinnig verändern, 714
  20. halbieren und verdoppeln, 70
  21. schriftlich, 691
  22. falsch, richtig ist 54
  23. falsch, richtig ist 2128
  24. falsch, richtig ist 5700
  25. 76
  26. 1200 Bälle
  27. 192
  28. Nein, 57
  29. 116
  30. 5 · 10 und 5 · 5, zusammen 75
  31. 92
  32. 42
  33. 152 Bonbons
  34. 69
  35. 50
  36. 210
  37. zerlegen, 180
  38. stimmt, 2028
  39. 18
  40. 84
  41. 56
  42. 31