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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 4 + 16 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●40
    Rechne: (2 + 6) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 6 = 8
    2. 8 · 7 = 56
    Ergebnis:
    56

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 2 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 5 = 10
    2. 4 + 10 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 10 und erhalte 63. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 11 + 45 + 9 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
11459
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 11 + 9 + 45
  2. 11 + 9 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 45 = 65
  1. Vertauschen: 11 + 9 + 45
  2. 11 + 9 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 45 = 65
Ergebnis:
65

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 24 + 25 + 36 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    242536
    So fängst du an:
    Vertauschen: 24 + 36 + 25
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 36 + 25
    2. 24 + 36 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 25 = 85
    Ergebnis:
    85
  2. ●2
    Rechne geschickt: 35 + 37 + 5
    35375
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 5 + 37
    2. 35 + 5 = 40
    3. 40 + 37 = 77
    Ergebnis:
    77
  3. ★3
    Tom rechnet 171 + 737 + 24 + 129 + 76 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    1717372412976
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 171 + 129 + 24 + 76 + 737
    2. 171 + 129 = 300 und 24 + 76 = 100
    3. 300 + 100 + 737 = 1137
    Ergebnis:
    1137

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 83
4983
Schritt für Schritt
  1. 49 bekommt 1 dazu, 83 gibt 1 ab.
  2. 49 + 83 = 50 + 82
  3. 50 + 82 = 132
  1. 49 bekommt 1 dazu, 83 gibt 1 ab.
  2. 49 + 83 = 50 + 82
  3. 50 + 82 = 132
Ergebnis:
132

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 39 = 70 + ___
    6739
    So fängst du an:
    67 wird zu 70: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
    2. Also muss 39 um 3 kleiner werden: 39 − 3 = 36
    3. 70 + 36 = 106
    Ergebnis:
    36
  2. ●5
    Paul rechnet 39 + 44 als 40 + 44. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    3944
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 39 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 44 = 84.
    3. 1 wieder abziehen: 84 − 1 = 83
    Ergebnis:
    83
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 999 + 583
    999583
    Lösung zeigen
    1. 999 bekommt 1 dazu, 583 gibt 1 ab.
    2. 999 + 583 = 1000 + 582
    3. 1000 + 582 = 1582
    Ergebnis:
    1582

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
Schritt für Schritt
  1. 49 = 50 − 1
  2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
  3. 200 − 4 = 196
  1. 49 = 50 − 1
  2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
  3. 200 − 4 = 196
Ergebnis:
196

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 34
    So fängst du an:
    34 = 30 + 4
    Lösung zeigen
    1. 34 = 30 + 4
    2. 4 · 30 = 120 und 4 · 4 = 16
    3. 120 + 16 = 136
    Ergebnis:
    136
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
    3. 100 − 5 = 95
    Ergebnis:
    95
  3. ★9
    Es gibt 8 Hefte mit je 86 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 86
    2. 86 = 80 + 6
    3. 8 · 80 = 640 und 8 · 6 = 48
    4. 640 + 48 = 688
    Ergebnis:
    688 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 357 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 357 : 7?
357: 7
Schritt für Schritt
  1. 357 = 350 + 7
  2. 350 : 7 = 50 und 7 : 7 = 1
  3. 50 + 1 = 51
  1. 357 = 350 + 7
  2. 350 : 7 = 50 und 7 : 7 = 1
  3. 50 + 1 = 51
Ergebnis:
51

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 318 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 318 : 6?
    318: 6
    So fängst du an:
    318 = 300 + 18
    Lösung zeigen
    1. 318 = 300 + 18
    2. 300 : 6 = 50 und 18 : 6 = 3
    3. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●11
    308 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 308 : 7
    2. 308 = 280 + 28
    3. 280 : 7 = 40 und 28 : 7 = 4
    4. 40 + 4 = 44
    Ergebnis:
    44 Bücher
  3. ★12
    249 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 249 : 3
    2. 249 = 240 + 9
    3. 240 : 3 = 80 und 9 : 3 = 3
    4. 80 + 3 = 83
    Ergebnis:
    83 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 56 − 28 = ___ − 38
Schritt für Schritt
  1. 28 wird zu 38: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 56 um 10 größer.
  3. 56 + 10 = 66
  1. 28 wird zu 38: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 56 um 10 größer.
  3. 56 + 10 = 66
Ergebnis:
66

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 49 + 23 = 50 + ___
    49 + 23=50 + ?
    So fängst du an:
    49 wird zu 50: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 23 um 1 kleiner.
    3. 23 − 1 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 46 − 41 = ___ − 43
    Lösung zeigen
    1. 41 wird zu 43: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 46 um 2 größer.
    3. 46 + 2 = 48
    Ergebnis:
    48
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 6 · 5 = 3 · ___
    6 · 5=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Emma verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Tom verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 32 + 77 + 68? Nenne ihn und rechne.
32 + 77 + 68zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 32 + 68 = 100
  3. 100 + 77 = 177
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 32 + 68 = 100
  3. 100 + 77 = 177
Ergebnis:
vertauschen, 177

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 9 · 81? Nenne ihn und rechne.
    9 · 81zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 81 = 80 + 1.
    2. 9 · 80 = 720 und 9 · 1 = 9
    3. Zusammen: 729
    Ergebnis:
    zerlegen, 729

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina rechnet 408 − 139 und erhält 289. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 289 + 139 = 428
  2. 428 ist nicht 408: Es ist falsch.
  3. 408 − 139 = 269
  1. Umkehraufgabe: 289 + 139 = 428
  2. 428 ist nicht 408: Es ist falsch.
  3. 408 − 139 = 269
Ergebnis:
falsch, richtig ist 269

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 702 − 550 und erhält 252. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 252 + 550 = 802
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 252 + 550 = 802
    2. 802 ist nicht 702: Es ist falsch.
    3. 702 − 550 = 152
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 152
  2. ●23
    Noah rechnet 800 − 124 und erhält 696. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 696 + 124 = 820
    2. 820 ist nicht 800: Es ist falsch.
    3. 800 − 124 = 676
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 676
  3. ★24
    Sofia rechnet 2860 − 2353 und erhält 527. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 527 + 2353 = 2880
    2. 2880 ist nicht 2860: Es ist falsch.
    3. 2860 − 2353 = 507
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 507

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Hanna rechnet 37 + 19 + 63 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    371963
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 63 + 19
    2. 37 + 63 = 100
    3. 100 + 19 = 119
    Ergebnis:
    119
  2. ●26
    Rechne geschickt: 20 · 18 · 5
    20185
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 18
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 18 = 1800
    Ergebnis:
    1800
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 66
    29966
    Lösung zeigen
    1. 299 bekommt 1 dazu, 66 gibt 1 ab.
    2. 299 + 66 = 300 + 65
    3. 300 + 65 = 365
    Ergebnis:
    365
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 110 − 47
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 110 − 47 = 113 − 50
    3. 113 − 50 = 63
    Ergebnis:
    63
  5. ●29
    Es gibt 3 Reihen mit je 67 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 67
    2. 67 = 60 + 7
    3. 3 · 60 = 180 und 3 · 7 = 21
    4. 180 + 21 = 201
    Ergebnis:
    201 Stühle
  6. ●30
    Tom rechnet 6 · 27 so: erst 6 · 20, dann 7 dazu. Tom erhält 127. Zeige am Bild, was fehlt.
    2076
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 7 Kästchen, nicht nur 7.
    2. Rechter Teil: 6 · 7 = 42
    3. 120 + 42 = 162
    Ergebnis:
    162

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Lea rechnet 74 + 44 + 26 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    744426
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    144

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 34 = 300 + ___
    29734
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    133

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    270 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 4 = 3 · ___
    6 · 4=3 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben rechnet 656 − 365 und erhält 291. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 291

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 85
  2. 77
  3. 1137
  4. 36
  5. 83
  6. 1582
  7. 136
  8. 95
  9. 688 Hefte
  10. 53
  11. 44 Bücher
  12. 83 Bücher
  13. 22
  14. 48
  15. 10
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. 80
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. zerlegen, 729
  22. falsch, richtig ist 152
  23. falsch, richtig ist 676
  24. falsch, richtig ist 507
  25. 119
  26. 1800
  27. 365
  28. 63
  29. 201 Stühle
  30. 162
  31. 144
  32. 31
  33. 133
  34. 45 Bücher
  35. 8
  36. 200
  37. halbieren und verdoppeln, 200
  38. stimmt, 291
  39. 20
  40. 56
  41. 14
  42. 53