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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 6 + 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 6 + 16 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●40
    Rechne: (3 + 3) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 3 = 6
    2. 6 · 5 = 30
    Ergebnis:
    30

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 9 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 4 = 36
    2. 7 + 36 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 30 und erhalte 89. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Lina rechnet 3 + 36 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
33617
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 3 + 17 + 36
  2. 3 + 17 = 20
  3. 20 + 36 = 56
  1. Vertauschen: 3 + 17 + 36
  2. 3 + 17 = 20
  3. 20 + 36 = 56
Ergebnis:
56

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Sofia rechnet 51 + 23 + 9 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    51239
    So fängst du an:
    Vertauschen: 51 + 9 + 23
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 51 + 9 + 23
    2. 51 + 9 = 60
    3. 60 + 23 = 83
    Ergebnis:
    83
  2. ●2
    Rechne geschickt: 16 + 22 + 14
    162214
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 14 + 22
    2. 16 + 14 = 30
    3. 30 + 22 = 52
    Ergebnis:
    52
  3. ★3
    Rechne geschickt: 52 + 333 + 148
    52333148
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 52 + 148 + 333
    2. 52 + 148 = 200
    3. 200 + 333 = 533
    Ergebnis:
    533

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 77
4877
Schritt für Schritt
  1. 48 bekommt 2 dazu, 77 gibt 2 ab.
  2. 48 + 77 = 50 + 75
  3. 50 + 75 = 125
  1. 48 bekommt 2 dazu, 77 gibt 2 ab.
  2. 48 + 77 = 50 + 75
  3. 50 + 75 = 125
Ergebnis:
125

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 97
    3997
    So fängst du an:
    39 bekommt 1 dazu, 97 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 97 gibt 1 ab.
    2. 39 + 97 = 40 + 96
    3. 40 + 96 = 136
    Ergebnis:
    136
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 29
    3729
    Lösung zeigen
    1. 37 bekommt 3 dazu, 29 gibt 3 ab.
    2. 37 + 29 = 40 + 26
    3. 40 + 26 = 66
    Ergebnis:
    66
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 397 + 789
    397789
    Lösung zeigen
    1. 397 bekommt 3 dazu, 789 gibt 3 ab.
    2. 397 + 789 = 400 + 786
    3. 400 + 786 = 1186
    Ergebnis:
    1186

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
  3. 100 − 5 = 95
  1. 19 = 20 − 1
  2. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
  3. 100 − 5 = 95
Ergebnis:
95

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 62
    So fängst du an:
    62 = 60 + 2
    Lösung zeigen
    1. 62 = 60 + 2
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 2 = 18
    3. 540 + 18 = 558
    Ergebnis:
    558
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 1 = 9
    3. 360 − 9 = 351
    Ergebnis:
    351
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 7 · 128
    Lösung zeigen
    1. 128 = 100 + 20 + 8
    2. 7 · 100 = 700; 7 · 20 = 140; 7 · 8 = 56
    3. 700 + 140 + 56 = 896
    Ergebnis:
    896

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

603 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 603 : 9
  2. 603 = 540 + 63
  3. 540 : 9 = 60 und 63 : 9 = 7
  4. 60 + 7 = 67
  1. 603 : 9
  2. 603 = 540 + 63
  3. 540 : 9 = 60 und 63 : 9 = 7
  4. 60 + 7 = 67
Ergebnis:
67 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 130 : 5
    So fängst du an:
    130 = 100 + 30
    Lösung zeigen
    1. 130 = 100 + 30
    2. 100 : 5 = 20 und 30 : 5 = 6
    3. 20 + 6 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 198 : 9
    Lösung zeigen
    1. 198 = 180 + 18
    2. 180 : 9 = 20 und 18 : 9 = 2
    3. 20 + 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 938 : 7
    Lösung zeigen
    1. 938 = 910 + 28
    2. 910 : 7 = 130 und 28 : 7 = 4
    3. 130 + 4 = 134
    Ergebnis:
    134

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 14 = 4 · ___
Schritt für Schritt
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
Ergebnis:
28

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 72 − 29 = ___ − 34
    So fängst du an:
    29 wird zu 34: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 34: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 72 um 5 größer.
    3. 72 + 5 = 77
    Ergebnis:
    77
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 94 − 36 = ___ − 38
    Lösung zeigen
    1. 36 wird zu 38: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 94 um 2 größer.
    3. 94 + 2 = 96
    Ergebnis:
    96
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 7 · 40 + 7 · 4 = 7 · ___
    7 · 40 + 7 · 4=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 7.
    2. 7 mal 40 und 7 mal 4 sind zusammen 7 mal (40 + 4).
    3. 40 + 4 = 44
    Ergebnis:
    44

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
Schritt für Schritt
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Lina verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  3. ★18
    Warum ist 22 · 15 dasselbe wie 11 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 22 · 15 = 11 · 30
    3. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 9 · 53? Nenne ihn und rechne.
9 · 53zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 53 = 50 + 3.
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 3 = 27
  3. Zusammen: 477
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 53 = 50 + 3.
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 3 = 27
  3. Zusammen: 477
Ergebnis:
zerlegen, 477

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 72? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 72 = 70 + 2.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 72 = 70 + 2.
    2. 8 · 70 = 560 und 8 · 2 = 16
    3. Zusammen: 576
    Ergebnis:
    zerlegen, 576
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 128 + 497? Nenne ihn und rechne.
    128 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 128 + 497 = 125 + 500
    3. 125 + 500 = 625
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 625
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 9 · 85? Nenne ihn und rechne.
    9 · 85zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 85 = 80 + 5.
    2. 9 · 80 = 720 und 9 · 5 = 45
    3. Zusammen: 765
    Ergebnis:
    zerlegen, 765

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lea erhält für 39 · 12 das Ergebnis 1468. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 10 = 400
  2. 1468 liegt zu weit weg. Genau: 39 · 12 = 468
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 40 · 10 = 400
  2. 1468 liegt zu weit weg. Genau: 39 · 12 = 468
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 468

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom rechnet 616 : 7 und erhält 98. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    616 : 7Ergebnis 98?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 98 · 7 = 686
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 98 · 7 = 686
    2. 686 ist nicht 616: Es ist falsch.
    3. 616 : 7 = 88
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 88
  2. ●23
    Emma rechnet 777 − 278 und erhält 489. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 489 + 278 = 767
    2. 767 ist nicht 777: Es ist falsch.
    3. 777 − 278 = 499
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 499
  3. ★24
    Hanna rechnet 3557 − 3186 und erhält 471. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 471 + 3186 = 3657
    2. 3657 ist nicht 3557: Es ist falsch.
    3. 3557 − 3186 = 371
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 371

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 24 + 89 + 16 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    248916
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 16 + 89
    2. 24 + 16 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 89 = 129
    Ergebnis:
    129
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Kartons. In jedem Karton sind 8 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Kartons8 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 8
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 8 = 80
    Ergebnis:
    80 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 85
    6785
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 85 gibt 3 ab.
    2. 67 + 85 = 70 + 82
    3. 70 + 82 = 152
    Ergebnis:
    152
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 153 − 48
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 153 − 48 = 155 − 50
    3. 155 − 50 = 105
    Ergebnis:
    105
  5. ●29
    Es gibt 8 Hefte mit je 43 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 43
    2. 43 = 40 + 3
    3. 8 · 40 = 320 und 8 · 3 = 24
    4. 320 + 24 = 344
    Ergebnis:
    344 Hefte
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 21 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2017
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 20 = 140
    2. Rechter Teil: 7 · 1 = 7
    3. Zusammen: 140 + 7 = 147
    Ergebnis:
    147 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Milan rechnet 39 + 13 + 61 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    391361
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    113

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 75
    3775
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    112

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 16
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    128

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    312 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 43 + 77 = 41 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    79

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Paul rechnet 168 : 7 und erhält 23. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    168 : 7Ergebnis 23?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 24

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 83
  2. 52
  3. 533
  4. 136
  5. 66
  6. 1186
  7. 558
  8. 351
  9. 896
  10. 26
  11. 22
  12. 134
  13. 77
  14. 96
  15. 44
  16. 200
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  18. 330
  19. zerlegen, 576
  20. gegensinnig verändern, 625
  21. zerlegen, 765
  22. falsch, richtig ist 88
  23. falsch, richtig ist 499
  24. falsch, richtig ist 371
  25. 129
  26. 80 Bälle
  27. 152
  28. 105
  29. 344 Hefte
  30. 147 Kästchen
  31. 113
  32. 112
  33. 128
  34. 39 Sticker
  35. 79
  36. 80
  37. halbieren und verdoppeln, 80
  38. falsch, richtig ist 24
  39. 22
  40. 30
  41. 43
  42. 59