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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 13 − 2 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 2 = 4
    2. 13 − 4 = 9
    Ergebnis:
    9
  2. ●40
    Rechne: (2 + 6) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 6 = 8
    2. 8 · 7 = 56
    Ergebnis:
    56

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 3 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 2 = 6
    2. 12 + 6 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 31 und erhalte 42. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Ben rechnet 15 + 13 + 35 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
151335
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 15 + 35 + 13
  2. 15 + 35 = 50
  3. 50 + 13 = 63
  1. Vertauschen: 15 + 35 + 13
  2. 15 + 35 = 50
  3. 50 + 13 = 63
Ergebnis:
63

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 47 + 75 + 13
    477513
    So fängst du an:
    Vertauschen: 47 + 13 + 75
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 47 + 13 + 75
    2. 47 + 13 = 60
    3. 60 + 75 = 135
    Ergebnis:
    135
  2. ●2
    Rechne geschickt: 25 + 18 + 25
    251825
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 25 + 18
    2. 25 + 25 = 50
    3. 50 + 18 = 68
    Ergebnis:
    68
  3. ★3
    Lea rechnet 189 + 743 + 46 + 11 + 54 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    189743461154
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 189 + 11 + 46 + 54 + 743
    2. 189 + 11 = 200 und 46 + 54 = 100
    3. 200 + 100 + 743 = 1043
    Ergebnis:
    1043

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Noah rechnet 97 + 97 als 100 + 97. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
9797
Schritt für Schritt
  1. Noah hat 97 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 97 = 197.
  3. 3 wieder abziehen: 197 − 3 = 194
  1. Noah hat 97 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 97 = 197.
  3. 3 wieder abziehen: 197 − 3 = 194
Ergebnis:
194

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 62 = 200 + ___
    19962
    So fängst du an:
    199 wird zu 200: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 62 um 1 kleiner werden: 62 − 1 = 61
    3. 200 + 61 = 261
    Ergebnis:
    61
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 23 = 200 + ___
    19823
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 23 um 2 kleiner werden: 23 − 2 = 21
    3. 200 + 21 = 221
    Ergebnis:
    21
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 398 + 398 = 400 + ___
    398398
    Lösung zeigen
    1. 398 wird zu 400: 2 mehr.
    2. Also muss 398 um 2 kleiner werden: 398 − 2 = 396
    3. 400 + 396 = 796
    Ergebnis:
    396

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
  3. 80 − 4 = 76
  1. 19 = 20 − 1
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
  3. 80 − 4 = 76
Ergebnis:
76

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
    3. 280 − 7 = 273
    Ergebnis:
    273
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 47
    Lösung zeigen
    1. 47 = 40 + 7
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 7 = 28
    3. 160 + 28 = 188
    Ergebnis:
    188
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 8 · 352
    Lösung zeigen
    1. 352 = 300 + 50 + 2
    2. 8 · 300 = 2400; 8 · 50 = 400; 8 · 2 = 16
    3. 2400 + 400 + 16 = 2816
    Ergebnis:
    2816

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 201 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 201 : 3?
201: 3
Schritt für Schritt
  1. 201 = 180 + 21
  2. 180 : 3 = 60 und 21 : 3 = 7
  3. 60 + 7 = 67
  1. 201 = 180 + 21
  2. 180 : 3 = 60 und 21 : 3 = 7
  3. 60 + 7 = 67
Ergebnis:
67

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 536 : 8
    So fängst du an:
    536 = 480 + 56
    Lösung zeigen
    1. 536 = 480 + 56
    2. 480 : 8 = 60 und 56 : 8 = 7
    3. 60 + 7 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●11
    324 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 324 : 9
    2. 324 = 270 + 54
    3. 270 : 9 = 30 und 54 : 9 = 6
    4. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36 Murmeln
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 744 : 6
    Lösung zeigen
    1. 744 = 720 + 24
    2. 720 : 6 = 120 und 24 : 6 = 4
    3. 120 + 4 = 124
    Ergebnis:
    124

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 58 − 17 = ___ − 27
Schritt für Schritt
  1. 17 wird zu 27: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 58 um 10 größer.
  3. 58 + 10 = 68
  1. 17 wird zu 27: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 58 um 10 größer.
  3. 58 + 10 = 68
Ergebnis:
68

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 69 − 56 = ___ − 61
    So fängst du an:
    56 wird zu 61: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 56 wird zu 61: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 69 um 5 größer.
    3. 69 + 5 = 74
    Ergebnis:
    74
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 25 + 68 = 35 + ___
    25 + 68=35 + ?
    Lösung zeigen
    1. 25 wird zu 35: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 68 um 10 kleiner.
    3. 68 − 10 = 58
    Ergebnis:
    58
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 96 − 35 = ___ − 45
    Lösung zeigen
    1. 35 wird zu 45: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 96 um 10 größer.
    3. 96 + 10 = 106
    Ergebnis:
    106

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Sofia verdoppelt bei 22 · 15 beide Faktoren und rechnet 44 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 44 · 30 = 1320, aber 22 · 15 = 330
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 252 + 198? Nenne ihn und rechne.
252 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 252 + 198 = 250 + 200
  3. 250 + 200 = 450
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 252 + 198 = 250 + 200
  3. 250 + 200 = 450
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 450

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 381 + 299? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 381 + 299 = 380 + 300
    3. 380 + 300 = 680
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 680
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah erhält für 46 · 32 das Ergebnis 1572. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 50 · 30 = 1500
  2. 1572 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 46 · 32 = 1472
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 50 · 30 = 1500
  2. 1572 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 46 · 32 = 1472
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1472

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lea rechnet 584 − 350 und erhält 234. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 234 + 350 = 584
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 234 + 350 = 584
    2. 584 ist genau 584: Es stimmt.
    3. 584 − 350 = 234
    Ergebnis:
    stimmt, 234
  2. ●23
    Elias rechnet 380 : 4 und erhält 96. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    380 : 4Ergebnis 96?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 96 · 4 = 384
    2. 384 ist nicht 380: Es ist falsch.
    3. 380 : 4 = 95
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 95
  3. ★24
    Jonas rechnet 6751 − 2997 und erhält 3754. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 3754 + 2997 = 6751
    2. 6751 ist genau 6751: Es stimmt.
    3. 6751 − 2997 = 3754
    Ergebnis:
    stimmt, 3754

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ben rechnet 54 + 53 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    54536
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 54 + 6 + 53
    2. 54 + 6 = 60
    3. 60 + 53 = 113
    Ergebnis:
    113
  2. ●26
    Rechne geschickt: 25 · 16 · 4
    25164
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 16
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 16 = 1600
    Ergebnis:
    1600
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 85 = 200 + ___
    19785
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Also muss 85 um 3 kleiner werden: 85 − 3 = 82
    3. 200 + 82 = 282
    Ergebnis:
    82
  4. ●28
    Jonas rechnet 176 − 99 als 176 − 100 und erhält 76. Ist das schon das Ergebnis?
    176 − 99176 − 100
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 76 + 1 = 77
    Ergebnis:
    Nein, 77
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 53
    Lösung zeigen
    1. 53 = 50 + 3
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 3 = 24
    3. 400 + 24 = 424
    Ergebnis:
    424
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 28 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2085
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 20 = 100
    2. Rechter Teil: 5 · 8 = 40
    3. Zusammen: 100 + 40 = 140
    Ergebnis:
    140 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Zeynep rechnet 66 + 58 + 34 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    665834
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    158

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 36 = 100 + ___
    9736
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 280 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 280 : 8?
    280: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 21 + 22 = 19 + ___
    21 + 22=19 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 261 + 198? Nenne ihn und rechne.
    261 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 459

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Zeynep rechnet 580 − 328 und erhält 252. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 252

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 135
  2. 68
  3. 1043
  4. 61
  5. 21
  6. 396
  7. 273
  8. 188
  9. 2816
  10. 67
  11. 36 Murmeln
  12. 124
  13. 74
  14. 58
  15. 106
  16. 200
  17. 80
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 330
  19. gegensinnig verändern, 680
  20. halbieren und verdoppeln, 70
  21. halbieren und verdoppeln, 70
  22. stimmt, 234
  23. falsch, richtig ist 95
  24. stimmt, 3754
  25. 113
  26. 1600
  27. 82
  28. Nein, 77
  29. 424
  30. 140 Kästchen
  31. 158
  32. 33
  33. 76
  34. 35
  35. 24
  36. 400
  37. gegensinnig verändern, 459
  38. stimmt, 252
  39. 9
  40. 56
  41. 18
  42. 11