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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 8 + 32 = 40
    Ergebnis:
    40
  2. ●40
    Rechne: (4 + 9) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 9 = 13
    2. 13 · 7 = 91
    Ergebnis:
    91

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 9 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 3 = 27
    2. 4 + 27 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 33 und erhalte 89. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 57 + 86 + 3
57863
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 57 + 3 + 86
  2. 57 + 3 = 60
  3. 60 + 86 = 146
  1. Vertauschen: 57 + 3 + 86
  2. 57 + 3 = 60
  3. 60 + 86 = 146
Ergebnis:
146

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 19 + 84 + 31
    198431
    So fängst du an:
    Vertauschen: 19 + 31 + 84
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 31 + 84
    2. 19 + 31 = 50
    3. 50 + 84 = 134
    Ergebnis:
    134
  2. ●2
    Rechne geschickt: 21 + 58 + 29
    215829
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 29 + 58
    2. 21 + 29 = 50
    3. 50 + 58 = 108
    Ergebnis:
    108
  3. ★3
    Rechne geschickt: 643 + 612 + 33 + 357 + 67
    6436123335767
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 643 + 357 + 33 + 67 + 612
    2. 643 + 357 = 1000 und 33 + 67 = 100
    3. 1000 + 100 + 612 = 1712
    Ergebnis:
    1712

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 45
9845
Schritt für Schritt
  1. 98 bekommt 2 dazu, 45 gibt 2 ab.
  2. 98 + 45 = 100 + 43
  3. 100 + 43 = 143
  1. 98 bekommt 2 dazu, 45 gibt 2 ab.
  2. 98 + 45 = 100 + 43
  3. 100 + 43 = 143
Ergebnis:
143

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 65 = 200 + ___
    19865
    So fängst du an:
    198 wird zu 200: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 65 um 2 kleiner werden: 65 − 2 = 63
    3. 200 + 63 = 263
    Ergebnis:
    63
  2. ●5
    Milan rechnet 299 + 36 als 300 + 36. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    29936
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 299 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 36 = 336.
    3. 1 wieder abziehen: 336 − 1 = 335
    Ergebnis:
    335
  3. ★6
    Hanna rechnet 398 + 445 als 400 + 445. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    398445
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 398 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 400 + 445 = 845.
    3. 2 wieder abziehen: 845 − 2 = 843
    Ergebnis:
    843

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
  3. 180 − 9 = 171
  1. 19 = 20 − 1
  2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
  3. 180 − 9 = 171
Ergebnis:
171

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 42
    So fängst du an:
    42 = 40 + 2
    Lösung zeigen
    1. 42 = 40 + 2
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 2 = 16
    3. 320 + 16 = 336
    Ergebnis:
    336
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 40 + 9
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 9 = 72
    3. 320 + 72 = 392
    Ergebnis:
    392
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
    3. 180 − 3 = 177
    Ergebnis:
    177

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

552 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 552 : 8
  2. 552 = 480 + 72
  3. 480 : 8 = 60 und 72 : 8 = 9
  4. 60 + 9 = 69
  1. 552 : 8
  2. 552 = 480 + 72
  3. 480 : 8 = 60 und 72 : 8 = 9
  4. 60 + 9 = 69
Ergebnis:
69 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 152 : 8
    So fängst du an:
    152 = 80 + 72
    Lösung zeigen
    1. 152 = 80 + 72
    2. 80 : 8 = 10 und 72 : 8 = 9
    3. 10 + 9 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●11
    495 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 495 : 9
    2. 495 = 450 + 45
    3. 450 : 9 = 50 und 45 : 9 = 5
    4. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55 Bücher
  3. ★12
    231 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 231 : 3
    2. 231 = 210 + 21
    3. 210 : 3 = 70 und 21 : 3 = 7
    4. 70 + 7 = 77
    Ergebnis:
    77 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 32 + 73 = 30 + ___
32 + 73=30 + ?
Schritt für Schritt
  1. 32 wird zu 30: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 73 um 2 größer.
  3. 73 + 2 = 75
  1. 32 wird zu 30: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 73 um 2 größer.
  3. 73 + 2 = 75
Ergebnis:
75

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 82 + 37 = 80 + ___
    82 + 37=80 + ?
    So fängst du an:
    82 wird zu 80: 2 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 82 wird zu 80: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 37 um 2 größer.
    3. 37 + 2 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 26 + 68 = 29 + ___
    26 + 68=29 + ?
    Lösung zeigen
    1. 26 wird zu 29: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 68 um 3 kleiner.
    3. 68 − 3 = 65
    Ergebnis:
    65
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 10 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Ben verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Mia verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 22 · 15
    Lösung zeigen
    1. 22 · 15 = 11 · 30
    2. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 385 + 598? Nenne ihn und rechne.
385 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 385 + 598 = 383 + 600
  3. 383 + 600 = 983
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 385 + 598 = 383 + 600
  3. 383 + 600 = 983
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 983

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 220 + 598? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 220 + 598 = 218 + 600
    3. 218 + 600 = 818
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 818
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 2355 − 1599? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 2355 − 1599 = 756
    Ergebnis:
    schriftlich, 756

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia rechnet 463 − 353 und erhält 120. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 120 + 353 = 473
  2. 473 ist nicht 463: Es ist falsch.
  3. 463 − 353 = 110
  1. Umkehraufgabe: 120 + 353 = 473
  2. 473 ist nicht 463: Es ist falsch.
  3. 463 − 353 = 110
Ergebnis:
falsch, richtig ist 110

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias erhält für 27 · 43 das Ergebnis 1161. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 30 · 40 = 1200
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 40 = 1200
    2. 1161 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 27 · 43 = 1161
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1161
  2. ●23
    Sofia rechnet 405 : 9 und erhält 46. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    405 : 9Ergebnis 46?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 46 · 9 = 414
    2. 414 ist nicht 405: Es ist falsch.
    3. 405 : 9 = 45
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 45
  3. ★24
    Mia rechnet 3857 − 371 und erhält 3486. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 3486 + 371 = 3857
    2. 3857 ist genau 3857: Es stimmt.
    3. 3857 − 371 = 3486
    Ergebnis:
    stimmt, 3486

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 68 + 25 + 32 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    682532
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 68 + 32 + 25
    2. 68 + 32 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 25 = 125
    Ergebnis:
    125
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 20 · 11 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    20115
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 11
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 11 = 1100
    Ergebnis:
    1100
  3. ●27
    Aylin rechnet 47 + 57 als 50 + 57. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    4757
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 57 = 107.
    3. 3 wieder abziehen: 107 − 3 = 104
    Ergebnis:
    104
  4. ●28
    Lina rechnet 181 − 47 als 181 − 50 und erhält 131. Ist das schon das Ergebnis?
    181 − 47181 − 50
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 131 + 3 = 134
    Ergebnis:
    Nein, 134
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 46
    Lösung zeigen
    1. 46 = 40 + 6
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 6 = 30
    3. 200 + 30 = 230
    Ergebnis:
    230
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 24 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2044
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 20 = 80
    2. Rechter Teil: 4 · 4 = 16
    3. Zusammen: 80 + 16 = 96
    Ergebnis:
    96 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Can rechnet 59 + 74 + 41 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    597441
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    174

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 68
    6768
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    135

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 4 Reihen mit je 52 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    208 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 295 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 10 = 4 · ___
    8 · 10=4 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 19 + 79 + 81? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 179

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin rechnet 322 : 7 und erhält 48. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    322 : 7Ergebnis 48?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 46

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 134
  2. 108
  3. 1712
  4. 63
  5. 335
  6. 843
  7. 336
  8. 392
  9. 177
  10. 19
  11. 55 Bücher
  12. 77 Murmeln
  13. 39
  14. 65
  15. 20
  16. 80
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  18. 330
  19. gegensinnig verändern, 818
  20. halbieren und verdoppeln, 400
  21. schriftlich, 756
  22. stimmt, 1161
  23. falsch, richtig ist 45
  24. stimmt, 3486
  25. 125
  26. 1100
  27. 104
  28. Nein, 134
  29. 230
  30. 96 Kästchen
  31. 174
  32. 135
  33. 208 Stühle
  34. 59
  35. 20
  36. 70
  37. vertauschen, 179
  38. falsch, richtig ist 46
  39. 40
  40. 91
  41. 31
  42. 56