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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 54 − 5 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 3 = 15
    2. 54 − 15 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●40
    Rechne: (6 + 8) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 8 = 14
    2. 14 · 6 = 84
    Ergebnis:
    84

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 5 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 3 = 15
    2. 4 + 15 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 38 und erhalte 70. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 11 + 21 + 39
112139
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 11 + 39 + 21
  2. 11 + 39 = 50
  3. 50 + 21 = 71
  1. Vertauschen: 11 + 39 + 21
  2. 11 + 39 = 50
  3. 50 + 21 = 71
Ergebnis:
71

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 18 + 87 + 82 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    188782
    So fängst du an:
    Vertauschen: 18 + 82 + 87
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 82 + 87
    2. 18 + 82 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 87 = 187
    Ergebnis:
    187
  2. ●2
    Rechne geschickt: 28 + 47 + 12
    284712
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 28 + 12 + 47
    2. 28 + 12 = 40
    3. 40 + 47 = 87
    Ergebnis:
    87
  3. ★3
    Zeynep rechnet 236 + 243 + 88 + 64 + 12 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    236243886412
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 236 + 64 + 88 + 12 + 243
    2. 236 + 64 = 300 und 88 + 12 = 100
    3. 300 + 100 + 243 = 643
    Ergebnis:
    643

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 25 = 200 + ___
19825
Schritt für Schritt
  1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
  2. Also muss 25 um 2 kleiner werden: 25 − 2 = 23
  3. 200 + 23 = 223
  1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
  2. Also muss 25 um 2 kleiner werden: 25 − 2 = 23
  3. 200 + 23 = 223
Ergebnis:
23

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 77 = 200 + ___
    19777
    So fängst du an:
    197 wird zu 200: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Also muss 77 um 3 kleiner werden: 77 − 3 = 74
    3. 200 + 74 = 274
    Ergebnis:
    74
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 26
    29826
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 26 gibt 2 ab.
    2. 298 + 26 = 300 + 24
    3. 300 + 24 = 324
    Ergebnis:
    324
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 998 + 179 = 1000 + ___
    998179
    Lösung zeigen
    1. 998 wird zu 1000: 2 mehr.
    2. Also muss 179 um 2 kleiner werden: 179 − 2 = 177
    3. 1000 + 177 = 1177
    Ergebnis:
    177

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Reihen mit je 51 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 51
  2. 51 = 50 + 1
  3. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
  4. 250 + 5 = 255
  1. 5 · 51
  2. 51 = 50 + 1
  3. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
  4. 250 + 5 = 255
Ergebnis:
255 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 5 Reihen mit je 69 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    5 · 69
    Lösung zeigen
    1. 5 · 69
    2. 69 = 60 + 9
    3. 5 · 60 = 300 und 5 · 9 = 45
    4. 300 + 45 = 345
    Ergebnis:
    345 Stühle
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
    3. 60 − 3 = 57
    Ergebnis:
    57
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 7 · 244
    Lösung zeigen
    1. 244 = 200 + 40 + 4
    2. 7 · 200 = 1400; 7 · 40 = 280; 7 · 4 = 28
    3. 1400 + 280 + 28 = 1708
    Ergebnis:
    1708

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 180 : 5
Schritt für Schritt
  1. 180 = 150 + 30
  2. 150 : 5 = 30 und 30 : 5 = 6
  3. 30 + 6 = 36
  1. 180 = 150 + 30
  2. 150 : 5 = 30 und 30 : 5 = 6
  3. 30 + 6 = 36
Ergebnis:
36

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 301 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 301 : 7?
    301: 7
    So fängst du an:
    301 = 280 + 21
    Lösung zeigen
    1. 301 = 280 + 21
    2. 280 : 7 = 40 und 21 : 7 = 3
    3. 40 + 3 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●11
    205 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 205 : 5
    2. 205 = 200 + 5
    3. 200 : 5 = 40 und 5 : 5 = 1
    4. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41 Murmeln
  3. ★12
    972 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 972 : 6
    2. 972 = 960 + 12
    3. 960 : 6 = 160 und 12 : 6 = 2
    4. 160 + 2 = 162
    Ergebnis:
    162 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 + 59 = 11 + ___
Schritt für Schritt
  1. 12 wird zu 11: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 59 um 1 größer.
  3. 59 + 1 = 60
  1. 12 wird zu 11: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 59 um 1 größer.
  3. 59 + 1 = 60
Ergebnis:
60

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 54 − 46 = ___ − 48
    So fängst du an:
    46 wird zu 48: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 46 wird zu 48: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 2 größer.
    3. 54 + 2 = 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 79 − 50 = ___ − 52
    Lösung zeigen
    1. 50 wird zu 52: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 79 um 2 größer.
    3. 79 + 2 = 81
    Ergebnis:
    81
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 69 + 83 = 71 + ___
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 71: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 83 um 2 kleiner.
    3. 83 − 2 = 81
    Ergebnis:
    81

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Lea verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Emma verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 45
    Lösung zeigen
    1. 18 · 45 = 9 · 90
    2. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 197 + 598? Nenne ihn und rechne.
197 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 197 + 598 = 195 + 600
  3. 195 + 600 = 795
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 197 + 598 = 195 + 600
  3. 195 + 600 = 795
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 795

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7712 − 7038? Nenne ihn und rechne.
    7712 − 7038zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 7712 − 7038 = 674
    Ergebnis:
    schriftlich, 674

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin rechnet 672 : 8 und erhält 84. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
672 : 8Ergebnis 84?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 84 · 8 = 672
  2. 672 ist genau 672: Es stimmt.
  3. 672 : 8 = 84
  1. Umkehraufgabe: 84 · 8 = 672
  2. 672 ist genau 672: Es stimmt.
  3. 672 : 8 = 84
Ergebnis:
stimmt, 84

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 445 : 5 und erhält 88. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    445 : 5Ergebnis 88?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 88 · 5 = 440
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 88 · 5 = 440
    2. 440 ist nicht 445: Es ist falsch.
    3. 445 : 5 = 89
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 89
  2. ●23
    Zeynep erhält für 88 · 34 das Ergebnis 3192. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 90 · 30 = 2700
    2. 3192 liegt zu weit weg. Genau: 88 · 34 = 2992
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2992
  3. ★24
    Elias rechnet 6268 − 3137 und erhält 3131. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 3131 + 3137 = 6268
    2. 6268 ist genau 6268: Es stimmt.
    3. 6268 − 3137 = 3131
    Ergebnis:
    stimmt, 3131

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 27 + 71 + 23 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    277123
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 23 + 71
    2. 27 + 23 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 71 = 121
    Ergebnis:
    121
  2. ●26
    Rechne geschickt: 2 · 9 · 5
    295
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 9
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ●27
    Elias rechnet 98 + 53 als 100 + 53. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    9853
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 53 = 153.
    3. 2 wieder abziehen: 153 − 2 = 151
    Ergebnis:
    151
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 160 − 27
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 160 − 27 = 163 − 30
    3. 163 − 30 = 133
    Ergebnis:
    133
  5. ●29
    Es gibt 3 Hefte mit je 67 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 67
    2. 67 = 60 + 7
    3. 3 · 60 = 180 und 3 · 7 = 21
    4. 180 + 21 = 201
    Ergebnis:
    201 Hefte
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 18 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1083
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 10 = 30
    2. Rechter Teil: 3 · 8 = 24
    3. Zusammen: 30 + 24 = 54
    Ergebnis:
    54 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Paul rechnet 56 + 71 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    56714
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    131

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 96 = 200 + ___
    19896
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    94

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    117

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 335 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 335 : 5?
    335: 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    67

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 74 + 47 = 73 + ___
    74 + 47=73 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    48

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 240 + 598? Nenne ihn und rechne.
    240 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 838

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can rechnet 837 − 289 und erhält 548. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 548

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 187
  2. 87
  3. 643
  4. 74
  5. 324
  6. 177
  7. 345 Stühle
  8. 57
  9. 1708
  10. 43
  11. 41 Murmeln
  12. 162 Bücher
  13. 56
  14. 81
  15. 81
  16. 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  18. 810
  19. halbieren und verdoppeln, 80
  20. halbieren und verdoppeln, 70
  21. schriftlich, 674
  22. falsch, richtig ist 89
  23. falsch, richtig ist 2992
  24. stimmt, 3131
  25. 121
  26. 90
  27. 151
  28. 133
  29. 201 Hefte
  30. 54 Kästchen
  31. 131
  32. 94
  33. 117
  34. 67
  35. 48
  36. 80
  37. gegensinnig verändern, 838
  38. stimmt, 548
  39. 39
  40. 84
  41. 19
  42. 32