Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 46 − 4 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 9 = 36
    2. 46 − 36 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●40
    Rechne: (5 + 5) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 5 = 10
    2. 10 · 7 = 70
    Ergebnis:
    70

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 4 + 24 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 12 und erhalte 25. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Noah rechnet 17 + 37 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
17373
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 17 + 3 + 37
  2. 17 + 3 = 20
  3. 20 + 37 = 57
  1. Vertauschen: 17 + 3 + 37
  2. 17 + 3 = 20
  3. 20 + 37 = 57
Ergebnis:
57

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Paul rechnet 24 + 62 + 36 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    246236
    So fängst du an:
    Vertauschen: 24 + 36 + 62
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 36 + 62
    2. 24 + 36 = 60
    3. 60 + 62 = 122
    Ergebnis:
    122
  2. ●2
    Hanna rechnet 7 + 51 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    75113
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 13 + 51
    2. 7 + 13 = 20
    3. 20 + 51 = 71
    Ergebnis:
    71
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 599 + 315 + 64 + 401 + 36 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    5993156440136
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 599 + 401 + 64 + 36 + 315
    2. 599 + 401 = 1000 und 64 + 36 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 315 = 1415
    Ergebnis:
    1415

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 29
19729
Schritt für Schritt
  1. 197 bekommt 3 dazu, 29 gibt 3 ab.
  2. 197 + 29 = 200 + 26
  3. 200 + 26 = 226
  1. 197 bekommt 3 dazu, 29 gibt 3 ab.
  2. 197 + 29 = 200 + 26
  3. 200 + 26 = 226
Ergebnis:
226

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 88 = 70 + ___
    6988
    So fängst du an:
    69 wird zu 70: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
    2. Also muss 88 um 1 kleiner werden: 88 − 1 = 87
    3. 70 + 87 = 157
    Ergebnis:
    87
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 64 = 40 + ___
    3864
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Also muss 64 um 2 kleiner werden: 64 − 2 = 62
    3. 40 + 62 = 102
    Ergebnis:
    62
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 397 + 258
    397258
    Lösung zeigen
    1. 397 bekommt 3 dazu, 258 gibt 3 ab.
    2. 397 + 258 = 400 + 255
    3. 400 + 255 = 655
    Ergebnis:
    655

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 7 Tüten mit je 68 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 7 · 68
  2. 68 = 60 + 8
  3. 7 · 60 = 420 und 7 · 8 = 56
  4. 420 + 56 = 476
  1. 7 · 68
  2. 68 = 60 + 8
  3. 7 · 60 = 420 und 7 · 8 = 56
  4. 420 + 56 = 476
Ergebnis:
476 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 29
    So fängst du an:
    29 = 30 − 1
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
    3. 270 − 9 = 261
    Ergebnis:
    261
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 48
    Lösung zeigen
    1. 48 = 40 + 8
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 8 = 72
    3. 360 + 72 = 432
    Ergebnis:
    432
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 6 · 213
    Lösung zeigen
    1. 213 = 200 + 10 + 3
    2. 6 · 200 = 1200; 6 · 10 = 60; 6 · 3 = 18
    3. 1200 + 60 + 18 = 1278
    Ergebnis:
    1278

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 164 : 4
Schritt für Schritt
  1. 164 = 160 + 4
  2. 160 : 4 = 40 und 4 : 4 = 1
  3. 40 + 1 = 41
  1. 164 = 160 + 4
  2. 160 : 4 = 40 und 4 : 4 = 1
  3. 40 + 1 = 41
Ergebnis:
41

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 215 : 5
    So fängst du an:
    215 = 200 + 15
    Lösung zeigen
    1. 215 = 200 + 15
    2. 200 : 5 = 40 und 15 : 5 = 3
    3. 40 + 3 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●11
    Zerlege 288 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 288 : 9?
    288: 9
    Lösung zeigen
    1. 288 = 270 + 18
    2. 270 : 9 = 30 und 18 : 9 = 2
    3. 30 + 2 = 32
    Ergebnis:
    32
  3. ★12
    Zerlege 447 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 447 : 3?
    447: 3
    Lösung zeigen
    1. 447 = 420 + 27
    2. 420 : 3 = 140 und 27 : 3 = 9
    3. 140 + 9 = 149
    Ergebnis:
    149

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 76 − 56 = ___ − 66
Schritt für Schritt
  1. 56 wird zu 66: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 76 um 10 größer.
  3. 76 + 10 = 86
  1. 56 wird zu 66: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 76 um 10 größer.
  3. 76 + 10 = 86
Ergebnis:
86

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 8 = 8 · ___
    16 · 8=8 · ?
    So fängst du an:
    16 wird halb so groß: 8.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 + 75 = 10 + ___
    12 + 75=10 + ?
    Lösung zeigen
    1. 12 wird zu 10: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 75 um 2 größer.
    3. 75 + 2 = 77
    Ergebnis:
    77
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 26 + 64 = 27 + ___
    Lösung zeigen
    1. 26 wird zu 27: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 64 um 1 kleiner.
    3. 64 − 1 = 63
    Ergebnis:
    63

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ben verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  2. ●17
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Warum ist 22 · 15 dasselbe wie 11 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 22 · 15 = 11 · 30
    3. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 24? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 24 = 20 + 4.
  2. 8 · 20 = 160 und 8 · 4 = 32
  3. Zusammen: 192
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 24 = 20 + 4.
  2. 8 · 20 = 160 und 8 · 4 = 32
  3. Zusammen: 192
Ergebnis:
zerlegen, 192

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 4 · 27? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 27 = 20 + 7.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 27 = 20 + 7.
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 7 = 28
    3. Zusammen: 108
    Ergebnis:
    zerlegen, 108
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 264 + 399? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 264 + 399 = 263 + 400
    3. 263 + 400 = 663
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 663
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8161 − 4169? Nenne ihn und rechne.
    8161 − 4169zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 8161 − 4169 = 3992
    Ergebnis:
    schriftlich, 3992

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can erhält für 39 · 12 das Ergebnis 268. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 10 = 400
  2. 268 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 39 · 12 = 468
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 40 · 10 = 400
  2. 268 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 39 · 12 = 468
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 468

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 775 − 350 und erhält 425. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 425 + 350 = 775
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 425 + 350 = 775
    2. 775 ist genau 775: Es stimmt.
    3. 775 − 350 = 425
    Ergebnis:
    stimmt, 425
  2. ●23
    Jonas erhält für 54 · 17 das Ergebnis 1018. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
    2. 1018 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 54 · 17 = 918
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 918
  3. ★24
    Aylin rechnet 9974 − 5852 und erhält 4222. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 4222 + 5852 = 10.074
    2. 10.074 ist nicht 9974: Es ist falsch.
    3. 9974 − 5852 = 4122
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 4122

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Noah rechnet 35 + 48 + 65 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    354865
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 65 + 48
    2. 35 + 65 = 100
    3. 100 + 48 = 148
    Ergebnis:
    148
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Kisten. In jeder Kiste sind 4 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Kisten4 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 4
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 4 = 400
    Ergebnis:
    400 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 87
    3887
    Lösung zeigen
    1. 38 bekommt 2 dazu, 87 gibt 2 ab.
    2. 38 + 87 = 40 + 85
    3. 40 + 85 = 125
    Ergebnis:
    125
  4. ●28
    Zeynep rechnet 87 − 17 als 87 − 20 und erhält 67. Ist das schon das Ergebnis?
    87 − 1787 − 20
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 67 + 3 = 70
    Ergebnis:
    Nein, 70
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 65
    Lösung zeigen
    1. 65 = 60 + 5
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 5 = 40
    3. 480 + 40 = 520
    Ergebnis:
    520
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 25?
    2053
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 20 = 60
    2. Rechts: 3 · 5 = 15
    3. 3 · 25 = 60 + 15 = 75
    Ergebnis:
    3 · 20 und 3 · 5, zusammen 75

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 21 + 64 + 19
    216419
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    104

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 23
    6923
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    92

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 53
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    371

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 36 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 36 : 3?
    36: 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 36 + 17 = 39 + ___
    36 + 17=39 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Lea verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 136 + 198? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 334

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Paul rechnet 395 : 5 und erhält 89. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    395 : 5Ergebnis 89?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 79

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 122
  2. 71
  3. 1415
  4. 87
  5. 62
  6. 655
  7. 261
  8. 432
  9. 1278
  10. 43
  11. 32
  12. 149
  13. 16
  14. 77
  15. 63
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  17. 180
  18. 330
  19. zerlegen, 108
  20. gegensinnig verändern, 663
  21. schriftlich, 3992
  22. stimmt, 425
  23. falsch, richtig ist 918
  24. falsch, richtig ist 4122
  25. 148
  26. 400 Bälle
  27. 125
  28. Nein, 70
  29. 520
  30. 3 · 20 und 3 · 5, zusammen 75
  31. 104
  32. 92
  33. 371
  34. 12
  35. 14
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. gegensinnig verändern, 334
  38. falsch, richtig ist 79
  39. 10
  40. 70
  41. 28
  42. 13