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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 7 + 3 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 7 = 21
    2. 7 + 21 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●40
    Rechne: (3 + 6) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 6 = 9
    2. 9 · 6 = 54
    Ergebnis:
    54

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 5 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 2 = 10
    2. 11 + 10 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 36 und erhalte 83. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Noah rechnet 46 + 77 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
46774
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 46 + 4 + 77
  2. 46 + 4 = 50
  3. 50 + 77 = 127
  1. Vertauschen: 46 + 4 + 77
  2. 46 + 4 = 50
  3. 50 + 77 = 127
Ergebnis:
127

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 64 + 34 + 36 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    643436
    So fängst du an:
    Vertauschen: 64 + 36 + 34
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 64 + 36 + 34
    2. 64 + 36 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 34 = 134
    Ergebnis:
    134
  2. ●2
    Rechne geschickt: 35 + 14 + 15
    351415
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 15 + 14
    2. 35 + 15 = 50
    3. 50 + 14 = 64
    Ergebnis:
    64
  3. ★3
    Rechne geschickt: 336 + 702 + 664
    336702664
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 336 + 664 + 702
    2. 336 + 664 = 1000
    3. 1000 + 702 = 1702
    Ergebnis:
    1702

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 24
9824
Schritt für Schritt
  1. 98 bekommt 2 dazu, 24 gibt 2 ab.
  2. 98 + 24 = 100 + 22
  3. 100 + 22 = 122
  1. 98 bekommt 2 dazu, 24 gibt 2 ab.
  2. 98 + 24 = 100 + 22
  3. 100 + 22 = 122
Ergebnis:
122

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Can rechnet 98 + 36 als 100 + 36. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    9836
    So fängst du an:
    Can hat 98 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Can hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 36 = 136.
    3. 2 wieder abziehen: 136 − 2 = 134
    Ergebnis:
    134
  2. ●5
    Noah rechnet 297 + 25 als 300 + 25. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    29725
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 297 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 25 = 325.
    3. 3 wieder abziehen: 325 − 3 = 322
    Ergebnis:
    322
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 497 + 475
    497475
    Lösung zeigen
    1. 497 bekommt 3 dazu, 475 gibt 3 ab.
    2. 497 + 475 = 500 + 472
    3. 500 + 472 = 972
    Ergebnis:
    972

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 25
Schritt für Schritt
  1. 25 = 20 + 5
  2. 6 · 20 = 120 und 6 · 5 = 30
  3. 120 + 30 = 150
  1. 25 = 20 + 5
  2. 6 · 20 = 120 und 6 · 5 = 30
  3. 120 + 30 = 150
Ergebnis:
150

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 4 Hefte mit je 61 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    4 · 61
    Lösung zeigen
    1. 4 · 61
    2. 61 = 60 + 1
    3. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
    4. 240 + 4 = 244
    Ergebnis:
    244 Hefte
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
    3. 300 − 5 = 295
    Ergebnis:
    295
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 55
    Lösung zeigen
    1. 55 = 50 + 5
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 5 = 25
    3. 250 + 25 = 275
    Ergebnis:
    275

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

145 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 145 : 5
  2. 145 = 100 + 45
  3. 100 : 5 = 20 und 45 : 5 = 9
  4. 20 + 9 = 29
  1. 145 : 5
  2. 145 = 100 + 45
  3. 100 : 5 = 20 und 45 : 5 = 9
  4. 20 + 9 = 29
Ergebnis:
29 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 224 : 7
    So fängst du an:
    224 = 210 + 14
    Lösung zeigen
    1. 224 = 210 + 14
    2. 210 : 7 = 30 und 14 : 7 = 2
    3. 30 + 2 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 56 : 4
    Lösung zeigen
    1. 56 = 40 + 16
    2. 40 : 4 = 10 und 16 : 4 = 4
    3. 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 273 : 7
    Lösung zeigen
    1. 273 = 210 + 63
    2. 210 : 7 = 30 und 63 : 7 = 9
    3. 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 81 − 53 = ___ − 54
Schritt für Schritt
  1. 53 wird zu 54: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 81 um 1 größer.
  3. 81 + 1 = 82
  1. 53 wird zu 54: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 81 um 1 größer.
  3. 81 + 1 = 82
Ergebnis:
82

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 74 − 64 = ___ − 65
    So fängst du an:
    64 wird zu 65: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 64 wird zu 65: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 74 um 1 größer.
    3. 74 + 1 = 75
    Ergebnis:
    75
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 35 + 53 = 37 + ___
    Lösung zeigen
    1. 35 wird zu 37: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 53 um 2 kleiner.
    3. 53 − 2 = 51
    Ergebnis:
    51
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 61 − 13 = ___ − 18
    Lösung zeigen
    1. 13 wird zu 18: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 61 um 5 größer.
    3. 61 + 5 = 66
    Ergebnis:
    66

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
Schritt für Schritt
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    So fängst du an:
    16 · 5 = 8 · 10
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Hanna verdoppelt bei 32 · 25 beide Faktoren und rechnet 64 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 64 · 50 = 3200, aber 32 · 25 = 800
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 4 · 54? Nenne ihn und rechne.
4 · 54zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 54 = 50 + 4.
  2. 4 · 50 = 200 und 4 · 4 = 16
  3. Zusammen: 216
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 54 = 50 + 4.
  2. 4 · 50 = 200 und 4 · 4 = 16
  3. Zusammen: 216
Ergebnis:
zerlegen, 216

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 6 · 77? Nenne ihn und rechne.
    6 · 77zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 77 = 70 + 7.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 77 = 70 + 7.
    2. 6 · 70 = 420 und 6 · 7 = 42
    3. Zusammen: 462
    Ergebnis:
    zerlegen, 462
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 237 + 399? Nenne ihn und rechne.
    237 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 237 + 399 = 236 + 400
    3. 236 + 400 = 636
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 636

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin erhält für 50 · 39 das Ergebnis 1950. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 50 · 40 = 2000
  2. 1950 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 50 · 39 = 1950
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 50 · 40 = 2000
  2. 1950 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 50 · 39 = 1950
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 1950

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah erhält für 85 · 19 das Ergebnis 1515. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 90 · 20 = 1800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 90 · 20 = 1800
    2. 1515 liegt zu weit weg. Genau: 85 · 19 = 1615
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1615
  2. ●23
    Aylin erhält für 26 · 14 das Ergebnis 564. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 10 = 300
    2. 564 liegt zu weit weg. Genau: 26 · 14 = 364
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 364
  3. ★24
    Aylin rechnet 3503 − 2189 und erhält 1324. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 1324 + 2189 = 3513
    2. 3513 ist nicht 3503: Es ist falsch.
    3. 3503 − 2189 = 1314
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1314

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 93 + 45 + 7 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    93457
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 93 + 7 + 45
    2. 93 + 7 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 45 = 145
    Ergebnis:
    145
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 6 · 25 · 4 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    6254
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 6
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 6 = 600
    Ergebnis:
    600
  3. ●27
    Elias rechnet 69 + 27 als 70 + 27. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    6927
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 27 = 97.
    3. 1 wieder abziehen: 97 − 1 = 96
    Ergebnis:
    96
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 183 − 39 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 183 um 1 größer: 184.
    3. 184 − 40 = 144
    Ergebnis:
    184
  5. ●29
    Es gibt 5 Tüten mit je 65 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 65
    2. 65 = 60 + 5
    3. 5 · 60 = 300 und 5 · 5 = 25
    4. 300 + 25 = 325
    Ergebnis:
    325 Bonbons
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 27 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2074
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 20 = 80
    2. Rechter Teil: 4 · 7 = 28
    3. Zusammen: 80 + 28 = 108
    Ergebnis:
    108 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 47 + 16 + 53
    471653
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    116

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 97 = 40 + ___
    3797
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    94

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Tüten mit je 42 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 119 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 119 : 7?
    119: 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 57 − 22 = ___ − 27
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    62

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Hanna verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina rechnet 560 − 152 und erhält 408. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 408

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 134
  2. 64
  3. 1702
  4. 134
  5. 322
  6. 972
  7. 244 Hefte
  8. 295
  9. 275
  10. 32
  11. 14
  12. 39
  13. 75
  14. 51
  15. 66
  16. 80
  17. 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 800
  19. zerlegen, 462
  20. halbieren und verdoppeln, 400
  21. gegensinnig verändern, 636
  22. falsch, richtig ist 1615
  23. falsch, richtig ist 364
  24. falsch, richtig ist 1314
  25. 145
  26. 600
  27. 96
  28. 184
  29. 325 Bonbons
  30. 108 Kästchen
  31. 116
  32. 94
  33. 210 Bonbons
  34. 17
  35. 62
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  37. halbieren und verdoppeln, 80
  38. stimmt, 408
  39. 28
  40. 54
  41. 21
  42. 47