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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 39 − 3 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 7 = 21
    2. 39 − 21 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●40
    Rechne: (7 + 6) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 6 = 13
    2. 13 · 9 = 117
    Ergebnis:
    117

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 6 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 5 = 30
    2. 6 + 30 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 4 und erhalte 22. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 5 + 19 + 45 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
51945
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 5 + 45 + 19
  2. 5 + 45 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 19 = 69
  1. Vertauschen: 5 + 45 + 19
  2. 5 + 45 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 19 = 69
Ergebnis:
69

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Noah rechnet 84 + 51 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    845116
    So fängst du an:
    Vertauschen: 84 + 16 + 51
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 84 + 16 + 51
    2. 84 + 16 = 100
    3. 100 + 51 = 151
    Ergebnis:
    151
  2. ●2
    Ben rechnet 33 + 48 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    334817
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 17 + 48
    2. 33 + 17 = 50
    3. 50 + 48 = 98
    Ergebnis:
    98
  3. ★3
    Rechne geschickt: 18 + 669 + 24 + 82 + 76
    18669248276
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 82 + 24 + 76 + 669
    2. 18 + 82 = 100 und 24 + 76 = 100
    3. 100 + 100 + 669 = 869
    Ergebnis:
    869

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 67
3967
Schritt für Schritt
  1. 39 bekommt 1 dazu, 67 gibt 1 ab.
  2. 39 + 67 = 40 + 66
  3. 40 + 66 = 106
  1. 39 bekommt 1 dazu, 67 gibt 1 ab.
  2. 39 + 67 = 40 + 66
  3. 40 + 66 = 106
Ergebnis:
106

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Sofia rechnet 39 + 29 als 40 + 29. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    3929
    So fängst du an:
    Sofia hat 39 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 39 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 29 = 69.
    3. 1 wieder abziehen: 69 − 1 = 68
    Ergebnis:
    68
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 65
    29865
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 65 gibt 2 ab.
    2. 298 + 65 = 300 + 63
    3. 300 + 63 = 363
    Ergebnis:
    363
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 998 + 684 = 1000 + ___
    998684
    Lösung zeigen
    1. 998 wird zu 1000: 2 mehr.
    2. Also muss 684 um 2 kleiner werden: 684 − 2 = 682
    3. 1000 + 682 = 1682
    Ergebnis:
    682

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
  3. 180 − 3 = 177
  1. 59 = 60 − 1
  2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
  3. 180 − 3 = 177
Ergebnis:
177

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
    3. 320 − 8 = 312
    Ergebnis:
    312
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 56
    Lösung zeigen
    1. 56 = 50 + 6
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 6 = 24
    3. 200 + 24 = 224
    Ergebnis:
    224
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 13
    Lösung zeigen
    1. 13 = 10 + 3
    2. 4 · 10 = 40 und 4 · 3 = 12
    3. 40 + 12 = 52
    Ergebnis:
    52

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

84 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 84 : 4
  2. 84 = 80 + 4
  3. 80 : 4 = 20 und 4 : 4 = 1
  4. 20 + 1 = 21
  1. 84 : 4
  2. 84 = 80 + 4
  3. 80 : 4 = 20 und 4 : 4 = 1
  4. 20 + 1 = 21
Ergebnis:
21 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 424 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 424 : 8?
    424: 8
    So fängst du an:
    424 = 400 + 24
    Lösung zeigen
    1. 424 = 400 + 24
    2. 400 : 8 = 50 und 24 : 8 = 3
    3. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●11
    205 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 205 : 5
    2. 205 = 200 + 5
    3. 200 : 5 = 40 und 5 : 5 = 1
    4. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41 Bücher
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 1024 : 8
    Lösung zeigen
    1. 1024 = 960 + 64
    2. 960 : 8 = 120 und 64 : 8 = 8
    3. 120 + 8 = 128
    Ergebnis:
    128

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 37 + 21 = 39 + ___
Schritt für Schritt
  1. 37 wird zu 39: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 21 um 2 kleiner.
  3. 21 − 2 = 19
  1. 37 wird zu 39: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 21 um 2 kleiner.
  3. 21 − 2 = 19
Ergebnis:
19

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 7 = 2 · ___
    4 · 7=2 · ?
    So fängst du an:
    4 wird halb so groß: 2.
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 34 + 30 = 32 + ___
    Lösung zeigen
    1. 34 wird zu 32: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 30 um 2 größer.
    3. 30 + 2 = 32
    Ergebnis:
    32
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 40 − 14 = ___ − 15
    Lösung zeigen
    1. 14 wird zu 15: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 40 um 1 größer.
    3. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Can verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★18
    Warum ist 22 · 15 dasselbe wie 11 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 22 · 15 = 11 · 30
    3. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 70

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 149 + 598? Nenne ihn und rechne.
    149 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 149 + 598 = 147 + 600
    3. 147 + 600 = 747
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 747
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Sofia erhält für 76 · 24 das Ergebnis 1824. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
  2. 1824 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 76 · 24 = 1824
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
  2. 1824 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 76 · 24 = 1824
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 1824

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep erhält für 84 · 23 das Ergebnis 1732. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 80 · 20 = 1600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
    2. 1732 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 84 · 23 = 1932
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1932
  2. ●23
    Hanna erhält für 48 · 16 das Ergebnis 1768. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
    2. 1768 liegt zu weit weg. Genau: 48 · 16 = 768
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 768
  3. ★24
    Jonas erhält für 348 · 21 das Ergebnis 8308. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 20 = 6000
    2. 8308 liegt zu weit weg. Genau: 348 · 21 = 7308
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 7308

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 38 + 47 + 22
    384722
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 38 + 22 + 47
    2. 38 + 22 = 60
    3. 60 + 47 = 107
    Ergebnis:
    107
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 50 · 14 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    50142
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 14
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 14 = 1400
    Ergebnis:
    1400
  3. ●27
    Paul rechnet 68 + 56 als 70 + 56. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    6856
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 68 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 56 = 126.
    3. 2 wieder abziehen: 126 − 2 = 124
    Ergebnis:
    124
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 160 − 38
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 160 − 38 = 162 − 40
    3. 162 − 40 = 122
    Ergebnis:
    122
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 27
    Lösung zeigen
    1. 27 = 20 + 7
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 7 = 35
    3. 100 + 35 = 135
    Ergebnis:
    135
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 13?
    1033
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 10 = 30
    2. Rechts: 3 · 3 = 9
    3. 3 · 13 = 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    3 · 10 und 3 · 3, zusammen 39

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 27 + 57 + 73
    275773
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    157

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Aylin rechnet 299 + 42 als 300 + 42. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    29942
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    341

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 67
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    469

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    296 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 27 + 71 = 29 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    69

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 18 + 22 + 82? Nenne ihn und rechne.
    18 + 22 + 82zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 122

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 336 : 8 und erhält 43. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    336 : 8Ergebnis 43?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 42

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 151
  2. 98
  3. 869
  4. 68
  5. 363
  6. 682
  7. 312
  8. 224
  9. 52
  10. 53
  11. 41 Bücher
  12. 128
  13. 14
  14. 32
  15. 41
  16. 90
  17. 200
  18. 330
  19. gegensinnig verändern, 747
  20. halbieren und verdoppeln, 300
  21. halbieren und verdoppeln, 400
  22. falsch, richtig ist 1932
  23. falsch, richtig ist 768
  24. falsch, richtig ist 7308
  25. 107
  26. 1400
  27. 124
  28. 122
  29. 135
  30. 3 · 10 und 3 · 3, zusammen 39
  31. 157
  32. 341
  33. 469
  34. 37 Murmeln
  35. 69
  36. 70
  37. vertauschen, 122
  38. falsch, richtig ist 42
  39. 18
  40. 117
  41. 36
  42. 18