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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 55 − 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 55 − 24 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●40
    Rechne: (9 + 8) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 8 = 17
    2. 17 · 6 = 102
    Ergebnis:
    102

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 8 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 5 = 40
    2. 10 + 40 = 50
    Ergebnis:
    50
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 31 und erhalte 74. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 93 + 39 + 7 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
93397
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 93 + 7 + 39
  2. 93 + 7 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 39 = 139
  1. Vertauschen: 93 + 7 + 39
  2. 93 + 7 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 39 = 139
Ergebnis:
139

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lina rechnet 8 + 71 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    87122
    So fängst du an:
    Vertauschen: 8 + 22 + 71
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 22 + 71
    2. 8 + 22 = 30
    3. 30 + 71 = 101
    Ergebnis:
    101
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 6 + 87 + 44 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    68744
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 44 + 87
    2. 6 + 44 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 87 = 137
    Ergebnis:
    137
  3. ★3
    Sofia rechnet 186 + 171 + 69 + 114 + 31 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    1861716911431
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 186 + 114 + 69 + 31 + 171
    2. 186 + 114 = 300 und 69 + 31 = 100
    3. 300 + 100 + 171 = 571
    Ergebnis:
    571

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Hanna rechnet 298 + 87 als 300 + 87. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
29887
Schritt für Schritt
  1. Hanna hat 298 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 87 = 387.
  3. 2 wieder abziehen: 387 − 2 = 385
  1. Hanna hat 298 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 87 = 387.
  3. 2 wieder abziehen: 387 − 2 = 385
Ergebnis:
385

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 55
    19755
    So fängst du an:
    197 bekommt 3 dazu, 55 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 197 bekommt 3 dazu, 55 gibt 3 ab.
    2. 197 + 55 = 200 + 52
    3. 200 + 52 = 252
    Ergebnis:
    252
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 38
    3738
    Lösung zeigen
    1. 37 bekommt 3 dazu, 38 gibt 3 ab.
    2. 37 + 38 = 40 + 35
    3. 40 + 35 = 75
    Ergebnis:
    75
  3. ★6
    Lina rechnet 697 + 375 als 700 + 375. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    697375
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 697 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 700 + 375 = 1075.
    3. 3 wieder abziehen: 1075 − 3 = 1072
    Ergebnis:
    1072

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
  3. 360 − 6 = 354
  1. 59 = 60 − 1
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
  3. 360 − 6 = 354
Ergebnis:
354

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Hefte mit je 45 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 45
    Lösung zeigen
    1. 6 · 45
    2. 45 = 40 + 5
    3. 6 · 40 = 240 und 6 · 5 = 30
    4. 240 + 30 = 270
    Ergebnis:
    270 Hefte
  2. ●8
    Es gibt 9 Reihen mit je 49 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 49
    2. 49 = 40 + 9
    3. 9 · 40 = 360 und 9 · 9 = 81
    4. 360 + 81 = 441
    Ergebnis:
    441 Stühle
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 3 · 308
    Lösung zeigen
    1. 308 = 300 + 8
    2. 3 · 300 = 900; 3 · 8 = 24
    3. 900 + 24 = 924
    Ergebnis:
    924

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 129 : 3
Schritt für Schritt
  1. 129 = 120 + 9
  2. 120 : 3 = 40 und 9 : 3 = 3
  3. 40 + 3 = 43
  1. 129 = 120 + 9
  2. 120 : 3 = 40 und 9 : 3 = 3
  3. 40 + 3 = 43
Ergebnis:
43

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 335 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 335 : 5?
    335: 5
    So fängst du an:
    335 = 300 + 35
    Lösung zeigen
    1. 335 = 300 + 35
    2. 300 : 5 = 60 und 35 : 5 = 7
    3. 60 + 7 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 385 : 7
    Lösung zeigen
    1. 385 = 350 + 35
    2. 350 : 7 = 50 und 35 : 7 = 5
    3. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55
  3. ★12
    1176 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1176 : 6
    2. 1176 = 1140 + 36
    3. 1140 : 6 = 190 und 36 : 6 = 6
    4. 190 + 6 = 196
    Ergebnis:
    196 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 53 + 37 = 50 + ___
53 + 37=50 + ?
Schritt für Schritt
  1. 53 wird zu 50: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 37 um 3 größer.
  3. 37 + 3 = 40
  1. 53 wird zu 50: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 37 um 3 größer.
  3. 37 + 3 = 40
Ergebnis:
40

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 60 + 75 = 59 + ___
    60 + 75=59 + ?
    So fängst du an:
    60 wird zu 59: 1 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 60 wird zu 59: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 75 um 1 größer.
    3. 75 + 1 = 76
    Ergebnis:
    76
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 4 · 5 = 2 · ___
    4 · 5=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 8 = 4 · ___
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Paul verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  2. ●17
    Hanna verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  3. ★18
    Jonas verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 35? Nenne ihn und rechne.
    4 · 35zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 35 = 30 + 5.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 35 = 30 + 5.
    2. 4 · 30 = 120 und 4 · 5 = 20
    3. Zusammen: 140
    Ergebnis:
    zerlegen, 140
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 161 + 198? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 161 + 198 = 159 + 200
    3. 159 + 200 = 359
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 359
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 349 + 299? Nenne ihn und rechne.
    349 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 349 + 299 = 348 + 300
    3. 348 + 300 = 648
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 648

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Milan rechnet 862 − 406 und erhält 556. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 556 + 406 = 962
  2. 962 ist nicht 862: Es ist falsch.
  3. 862 − 406 = 456
  1. Umkehraufgabe: 556 + 406 = 962
  2. 962 ist nicht 862: Es ist falsch.
  3. 862 − 406 = 456
Ergebnis:
falsch, richtig ist 456

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 614 − 346 und erhält 268. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 268 + 346 = 614
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 268 + 346 = 614
    2. 614 ist genau 614: Es stimmt.
    3. 614 − 346 = 268
    Ergebnis:
    stimmt, 268
  2. ●23
    Mia erhält für 31 · 49 das Ergebnis 1319. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 50 = 1500
    2. 1319 liegt zu weit weg. Genau: 31 · 49 = 1519
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1519
  3. ★24
    Lea rechnet 1938 : 6 und erhält 323. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1938 : 6Ergebnis 323?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 323 · 6 = 1938
    2. 1938 ist genau 1938: Es stimmt.
    3. 1938 : 6 = 323
    Ergebnis:
    stimmt, 323

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 8 + 21 + 32 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    82132
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 32 + 21
    2. 8 + 32 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 21 = 61
    Ergebnis:
    61
  2. ●26
    Rechne geschickt: 17 · 2 · 5
    1725
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 17
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 17 = 170
    Ergebnis:
    170
  3. ●27
    Paul rechnet 298 + 49 als 300 + 49. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    29849
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 49 = 349.
    3. 2 wieder abziehen: 349 − 2 = 347
    Ergebnis:
    347
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 88 − 18 = ___ − 20
    Lösung zeigen
    1. 18 wird zu 20: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 88 um 2 größer: 90.
    3. 90 − 20 = 70
    Ergebnis:
    90
  5. ●29
    Es gibt 5 Reihen mit je 37 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 37
    2. 37 = 30 + 7
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 7 = 35
    4. 150 + 35 = 185
    Ergebnis:
    185 Stühle
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 21?
    2017
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 1 = 7
    3. 7 · 21 = 140 + 7 = 147
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 1, zusammen 147

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 18 + 39 + 12
    183912
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    69

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Lea rechnet 198 + 77 als 200 + 77. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    19877
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    275

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 27
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    81

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    207 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 6 · 7 = 3 · ___
    6 · 7=3 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 45 + 65 + 55? Nenne ihn und rechne.
    45 + 65 + 55zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 165

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan rechnet 633 − 238 und erhält 395. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 395

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 101
  2. 137
  3. 571
  4. 252
  5. 75
  6. 1072
  7. 270 Hefte
  8. 441 Stühle
  9. 924
  10. 67
  11. 55
  12. 196 Sticker
  13. 76
  14. 10
  15. 16
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. zerlegen, 140
  20. gegensinnig verändern, 359
  21. gegensinnig verändern, 648
  22. stimmt, 268
  23. falsch, richtig ist 1519
  24. stimmt, 323
  25. 61
  26. 170
  27. 347
  28. 90
  29. 185 Stühle
  30. 7 · 20 und 7 · 1, zusammen 147
  31. 69
  32. 275
  33. 81
  34. 23 Sticker
  35. 14
  36. 70
  37. vertauschen, 165
  38. stimmt, 395
  39. 31
  40. 102
  41. 50
  42. 43