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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 5 + 35 = 40
    Ergebnis:
    40
  2. ●40
    Rechne: (2 + 7) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 7 = 9
    2. 9 · 3 = 27
    Ergebnis:
    27

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 3 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 3 = 9
    2. 5 + 9 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 32 und erhalte 54. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 14 + 34 + 6 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
14346
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 14 + 6 + 34
  2. 14 + 6 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 34 = 54
  1. Vertauschen: 14 + 6 + 34
  2. 14 + 6 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 34 = 54
Ergebnis:
54

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 7 + 45 + 53
    74553
    So fängst du an:
    Vertauschen: 7 + 53 + 45
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 53 + 45
    2. 7 + 53 = 60
    3. 60 + 45 = 105
    Ergebnis:
    105
  2. ●2
    Rechne geschickt: 14 + 19 + 26
    141926
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 26 + 19
    2. 14 + 26 = 40
    3. 40 + 19 = 59
    Ergebnis:
    59
  3. ★3
    Tom rechnet 257 + 208 + 73 + 43 + 27 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    257208734327
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 257 + 43 + 73 + 27 + 208
    2. 257 + 43 = 300 und 73 + 27 = 100
    3. 300 + 100 + 208 = 608
    Ergebnis:
    608

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Lina rechnet 67 + 28 als 70 + 28. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
6728
Schritt für Schritt
  1. Lina hat 67 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 28 = 98.
  3. 3 wieder abziehen: 98 − 3 = 95
  1. Lina hat 67 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 28 = 98.
  3. 3 wieder abziehen: 98 − 3 = 95
Ergebnis:
95

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Elias rechnet 197 + 96 als 200 + 96. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    19796
    So fängst du an:
    Elias hat 197 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 96 = 296.
    3. 3 wieder abziehen: 296 − 3 = 293
    Ergebnis:
    293
  2. ●5
    Milan rechnet 199 + 62 als 200 + 62. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    19962
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 62 = 262.
    3. 1 wieder abziehen: 262 − 1 = 261
    Ergebnis:
    261
  3. ★6
    Lina rechnet 999 + 592 als 1000 + 592. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    999592
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 999 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 1000 + 592 = 1592.
    3. 1 wieder abziehen: 1592 − 1 = 1591
    Ergebnis:
    1591

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 9 Hefte mit je 56 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 9 · 56
  2. 56 = 50 + 6
  3. 9 · 50 = 450 und 9 · 6 = 54
  4. 450 + 54 = 504
  1. 9 · 56
  2. 56 = 50 + 6
  3. 9 · 50 = 450 und 9 · 6 = 54
  4. 450 + 54 = 504
Ergebnis:
504 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 22
    So fängst du an:
    22 = 20 + 2
    Lösung zeigen
    1. 22 = 20 + 2
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 2 = 16
    3. 160 + 16 = 176
    Ergebnis:
    176
  2. ●8
    Es gibt 7 Hefte mit je 46 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 46
    2. 46 = 40 + 6
    3. 7 · 40 = 280 und 7 · 6 = 42
    4. 280 + 42 = 322
    Ergebnis:
    322 Hefte
  3. ★9
    Es gibt 3 Hefte mit je 78 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 78
    2. 78 = 70 + 8
    3. 3 · 70 = 210 und 3 · 8 = 24
    4. 210 + 24 = 234
    Ergebnis:
    234 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 98 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 98 : 7?
98: 7
Schritt für Schritt
  1. 98 = 70 + 28
  2. 70 : 7 = 10 und 28 : 7 = 4
  3. 10 + 4 = 14
  1. 98 = 70 + 28
  2. 70 : 7 = 10 und 28 : 7 = 4
  3. 10 + 4 = 14
Ergebnis:
14

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 424 : 8
    So fängst du an:
    424 = 400 + 24
    Lösung zeigen
    1. 424 = 400 + 24
    2. 400 : 8 = 50 und 24 : 8 = 3
    3. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●11
    Zerlege 352 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 352 : 8?
    352: 8
    Lösung zeigen
    1. 352 = 320 + 32
    2. 320 : 8 = 40 und 32 : 8 = 4
    3. 40 + 4 = 44
    Ergebnis:
    44
  3. ★12
    906 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 906 : 6
    2. 906 = 900 + 6
    3. 900 : 6 = 150 und 6 : 6 = 1
    4. 150 + 1 = 151
    Ergebnis:
    151 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 62 − 43 = ___ − 44
Schritt für Schritt
  1. 43 wird zu 44: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 62 um 1 größer.
  3. 62 + 1 = 63
  1. 43 wird zu 44: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 62 um 1 größer.
  3. 62 + 1 = 63
Ergebnis:
63

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 58 − 51 = ___ − 53
    So fängst du an:
    51 wird zu 53: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 51 wird zu 53: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 58 um 2 größer.
    3. 58 + 2 = 60
    Ergebnis:
    60
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 82 − 12 = ___ − 13
    Lösung zeigen
    1. 12 wird zu 13: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 82 um 1 größer.
    3. 82 + 1 = 83
    Ergebnis:
    83
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 29 + 41 = 39 + ___
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 39: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 41 um 10 kleiner.
    3. 41 − 10 = 31
    Ergebnis:
    31

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Tom verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 247 + 198? Nenne ihn und rechne.
247 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 247 + 198 = 245 + 200
  3. 245 + 200 = 445
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 247 + 198 = 245 + 200
  3. 245 + 200 = 445
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 445

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 68? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 68 = 60 + 8.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 68 = 60 + 8.
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 8 = 40
    3. Zusammen: 340
    Ergebnis:
    zerlegen, 340
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 50? Nenne ihn und rechne.
    9 · 50zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 50 = 50 + 0.
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 0 = 0
    3. Zusammen: 450
    Ergebnis:
    zerlegen, 450
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 47 + 73 + 53? Nenne ihn und rechne.
    47 + 73 + 53zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 47 + 53 = 100
    3. 100 + 73 = 173
    Ergebnis:
    vertauschen, 173

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul erhält für 63 · 48 das Ergebnis 2824. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 60 · 50 = 3000
  2. 2824 liegt zu weit weg. Genau: 63 · 48 = 3024
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 60 · 50 = 3000
  2. 2824 liegt zu weit weg. Genau: 63 · 48 = 3024
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 3024

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mia rechnet 320 : 5 und erhält 74. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    320 : 5Ergebnis 74?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 74 · 5 = 370
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 74 · 5 = 370
    2. 370 ist nicht 320: Es ist falsch.
    3. 320 : 5 = 64
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 64
  2. ●23
    Zeynep rechnet 126 : 3 und erhält 52. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    126 : 3Ergebnis 52?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 52 · 3 = 156
    2. 156 ist nicht 126: Es ist falsch.
    3. 126 : 3 = 42
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 42
  3. ★24
    Milan rechnet 5847 − 814 und erhält 5043. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 5043 + 814 = 5857
    2. 5857 ist nicht 5847: Es ist falsch.
    3. 5847 − 814 = 5033
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 5033

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Paul rechnet 6 + 49 + 34 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    64934
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 34 + 49
    2. 6 + 34 = 40
    3. 40 + 49 = 89
    Ergebnis:
    89
  2. ●26
    Rechne geschickt: 20 · 8 · 5
    2085
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 8
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 8 = 800
    Ergebnis:
    800
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 36
    3736
    Lösung zeigen
    1. 37 bekommt 3 dazu, 36 gibt 3 ab.
    2. 37 + 36 = 40 + 33
    3. 40 + 33 = 73
    Ergebnis:
    73
  4. ●28
    Tom rechnet 217 − 199 als 217 − 200 und erhält 17. Ist das schon das Ergebnis?
    217 − 199217 − 200
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 17 + 1 = 18
    Ergebnis:
    Nein, 18
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 45
    Lösung zeigen
    1. 45 = 40 + 5
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 5 = 25
    3. 200 + 25 = 225
    Ergebnis:
    225
  6. ●30
    Tom rechnet 7 · 26 so: erst 7 · 20, dann 6 dazu. Tom erhält 146. Zeige am Bild, was fehlt.
    2067
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 6 Kästchen, nicht nur 6.
    2. Rechter Teil: 7 · 6 = 42
    3. 140 + 42 = 182
    Ergebnis:
    182

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Zeynep rechnet 41 + 45 + 19 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    414519
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    105

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ben rechnet 199 + 23 als 200 + 23. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    19923
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    222

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    343

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 168 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 168 : 3?
    168: 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 56 − 34 = ___ − 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    61

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Emma verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 222 + 299? Nenne ihn und rechne.
    222 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 521

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin erhält für 62 · 35 das Ergebnis 2070. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2170

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 105
  2. 59
  3. 608
  4. 293
  5. 261
  6. 1591
  7. 176
  8. 322 Hefte
  9. 234 Hefte
  10. 53
  11. 44
  12. 151 Sticker
  13. 60
  14. 83
  15. 31
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  17. 90
  18. 400
  19. zerlegen, 340
  20. zerlegen, 450
  21. vertauschen, 173
  22. falsch, richtig ist 64
  23. falsch, richtig ist 42
  24. falsch, richtig ist 5033
  25. 89
  26. 800
  27. 73
  28. Nein, 18
  29. 225
  30. 182
  31. 105
  32. 222
  33. 343
  34. 56
  35. 61
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. gegensinnig verändern, 521
  38. falsch, richtig ist 2170
  39. 40
  40. 27
  41. 14
  42. 22