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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 22 − 5 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 3 = 15
    2. 22 − 15 = 7
    Ergebnis:
    7
  2. ●40
    Rechne: (8 + 2) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 2 = 10
    2. 10 · 8 = 80
    Ergebnis:
    80

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 7 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 9 = 63
    2. 7 + 63 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 34. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 22 + 49 + 18 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
224918
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 22 + 18 + 49
  2. 22 + 18 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 49 = 89
  1. Vertauschen: 22 + 18 + 49
  2. 22 + 18 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 49 = 89
Ergebnis:
89

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 9 + 78 + 21
    97821
    So fängst du an:
    Vertauschen: 9 + 21 + 78
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 21 + 78
    2. 9 + 21 = 30
    3. 30 + 78 = 108
    Ergebnis:
    108
  2. ●2
    Milan rechnet 31 + 77 + 19 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    317719
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 31 + 19 + 77
    2. 31 + 19 = 50
    3. 50 + 77 = 127
    Ergebnis:
    127
  3. ★3
    Can rechnet 617 + 758 + 383 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    617758383
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 617 + 383 + 758
    2. 617 + 383 = 1000
    3. 1000 + 758 = 1758
    Ergebnis:
    1758

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Jonas rechnet 97 + 94 als 100 + 94. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
9794
Schritt für Schritt
  1. Jonas hat 97 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 94 = 194.
  3. 3 wieder abziehen: 194 − 3 = 191
  1. Jonas hat 97 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 94 = 194.
  3. 3 wieder abziehen: 194 − 3 = 191
Ergebnis:
191

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 59
    29759
    So fängst du an:
    297 bekommt 3 dazu, 59 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 59 gibt 3 ab.
    2. 297 + 59 = 300 + 56
    3. 300 + 56 = 356
    Ergebnis:
    356
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 29
    19729
    Lösung zeigen
    1. 197 bekommt 3 dazu, 29 gibt 3 ab.
    2. 197 + 29 = 200 + 26
    3. 200 + 26 = 226
    Ergebnis:
    226
  3. ★6
    Milan rechnet 496 + 316 als 500 + 316. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    496316
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 496 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 500 + 316 = 816.
    3. 4 wieder abziehen: 816 − 4 = 812
    Ergebnis:
    812

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 38
Schritt für Schritt
  1. 38 = 30 + 8
  2. 8 · 30 = 240 und 8 · 8 = 64
  3. 240 + 64 = 304
  1. 38 = 30 + 8
  2. 8 · 30 = 240 und 8 · 8 = 64
  3. 240 + 64 = 304
Ergebnis:
304

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 17
    So fängst du an:
    17 = 10 + 7
    Lösung zeigen
    1. 17 = 10 + 7
    2. 6 · 10 = 60 und 6 · 7 = 42
    3. 60 + 42 = 102
    Ergebnis:
    102
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
    3. 140 − 7 = 133
    Ergebnis:
    133
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 86
    Lösung zeigen
    1. 86 = 80 + 6
    2. 8 · 80 = 640 und 8 · 6 = 48
    3. 640 + 48 = 688
    Ergebnis:
    688

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

256 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 256 : 4
  2. 256 = 240 + 16
  3. 240 : 4 = 60 und 16 : 4 = 4
  4. 60 + 4 = 64
  1. 256 : 4
  2. 256 = 240 + 16
  3. 240 : 4 = 60 und 16 : 4 = 4
  4. 60 + 4 = 64
Ergebnis:
64 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    258 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    258 : 6
    Lösung zeigen
    1. 258 : 6
    2. 258 = 240 + 18
    3. 240 : 6 = 40 und 18 : 6 = 3
    4. 40 + 3 = 43
    Ergebnis:
    43 Murmeln
  2. ●11
    Zerlege 228 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 228 : 6?
    228: 6
    Lösung zeigen
    1. 228 = 180 + 48
    2. 180 : 6 = 30 und 48 : 6 = 8
    3. 30 + 8 = 38
    Ergebnis:
    38
  3. ★12
    Zerlege 369 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 369 : 9?
    369: 9
    Lösung zeigen
    1. 369 = 360 + 9
    2. 360 : 9 = 40 und 9 : 9 = 1
    3. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 8 = 3 · ___
6 · 8=3 · ?
Schritt für Schritt
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
Ergebnis:
16

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 75 + 62 = 77 + ___
    75 + 62=77 + ?
    So fängst du an:
    75 wird zu 77: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 75 wird zu 77: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 62 um 2 kleiner.
    3. 62 − 2 = 60
    Ergebnis:
    60
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 12 · 11 = 6 · ___
    12 · 11=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 44 + 6 · 3 = 6 · ___
    6 · 44 + 6 · 3=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
    2. 6 mal 44 und 6 mal 3 sind zusammen 6 mal (44 + 3).
    3. 44 + 3 = 47
    Ergebnis:
    47

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Lea verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Ben verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  3. ★18
    Paul verdoppelt bei 24 · 125 beide Faktoren und rechnet 48 · 250. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 48 · 250 = 12.000, aber 24 · 125 = 3000
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 25 + 79 + 75? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 25 + 75 = 100
  3. 100 + 79 = 179
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 25 + 75 = 100
  3. 100 + 79 = 179
Ergebnis:
vertauschen, 179

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 356 + 399? Nenne ihn und rechne.
    356 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 356 + 399 = 355 + 400
    3. 355 + 400 = 755
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 755
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 34 + 74 + 66? Nenne ihn und rechne.
    34 + 74 + 66zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 34 + 66 = 100
    3. 100 + 74 = 174
    Ergebnis:
    vertauschen, 174

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Sofia rechnet 472 − 290 und erhält 192. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 192 + 290 = 482
  2. 482 ist nicht 472: Es ist falsch.
  3. 472 − 290 = 182
  1. Umkehraufgabe: 192 + 290 = 482
  2. 482 ist nicht 472: Es ist falsch.
  3. 472 − 290 = 182
Ergebnis:
falsch, richtig ist 182

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 777 − 549 und erhält 218. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 218 + 549 = 767
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 218 + 549 = 767
    2. 767 ist nicht 777: Es ist falsch.
    3. 777 − 549 = 228
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 228
  2. ●23
    Can erhält für 80 · 44 das Ergebnis 3720. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
    2. 3720 liegt zu weit weg. Genau: 80 · 44 = 3520
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3520
  3. ★24
    Jonas rechnet 1495 : 5 und erhält 309. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1495 : 5Ergebnis 309?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 309 · 5 = 1545
    2. 1545 ist nicht 1495: Es ist falsch.
    3. 1495 : 5 = 299
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 299

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 23 + 69 + 7 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    23697
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 7 + 69
    2. 23 + 7 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 69 = 99
    Ergebnis:
    99
  2. ●26
    Rechne geschickt: 17 · 25 · 4
    17254
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 17
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 17 = 1700
    Ergebnis:
    1700
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 57
    29857
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 57 gibt 2 ab.
    2. 298 + 57 = 300 + 55
    3. 300 + 55 = 355
    Ergebnis:
    355
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 109 − 27
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 109 − 27 = 112 − 30
    3. 112 − 30 = 82
    Ergebnis:
    82
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
    3. 480 − 8 = 472
    Ergebnis:
    472
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 19?
    1094
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 10 = 40
    2. Rechts: 4 · 9 = 36
    3. 4 · 19 = 40 + 36 = 76
    Ergebnis:
    4 · 10 und 4 · 9, zusammen 76

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Emma rechnet 6 + 61 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    66114
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    81

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 94
    19994
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    293

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    392

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    483 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    69 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 23 + 67 = 22 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    68

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Hanna verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina rechnet 475 : 5 und erhält 97. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    475 : 5Ergebnis 97?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 95

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 108
  2. 127
  3. 1758
  4. 356
  5. 226
  6. 812
  7. 102
  8. 133
  9. 688
  10. 43 Murmeln
  11. 38
  12. 41
  13. 60
  14. 22
  15. 47
  16. 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 3000
  19. halbieren und verdoppeln, 400
  20. gegensinnig verändern, 755
  21. vertauschen, 174
  22. falsch, richtig ist 228
  23. falsch, richtig ist 3520
  24. falsch, richtig ist 299
  25. 99
  26. 1700
  27. 355
  28. 82
  29. 472
  30. 4 · 10 und 4 · 9, zusammen 76
  31. 81
  32. 293
  33. 392
  34. 69 Sticker
  35. 68
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  37. halbieren und verdoppeln, 70
  38. falsch, richtig ist 95
  39. 7
  40. 80
  41. 70
  42. 31