Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 26 − 5 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 2 = 10
    2. 26 − 10 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●40
    Rechne: (7 + 2) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 2 = 9
    2. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 5 + 32 = 37
    Ergebnis:
    37
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 18 und erhalte 59. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Emma rechnet 11 + 77 + 9 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
11779
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 11 + 9 + 77
  2. 11 + 9 = 20
  3. 20 + 77 = 97
  1. Vertauschen: 11 + 9 + 77
  2. 11 + 9 = 20
  3. 20 + 77 = 97
Ergebnis:
97

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 6 + 17 + 24 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    61724
    So fängst du an:
    Vertauschen: 6 + 24 + 17
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 24 + 17
    2. 6 + 24 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 17 = 47
    Ergebnis:
    47
  2. ●2
    Rechne geschickt: 4 + 68 + 26
    46826
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 26 + 68
    2. 4 + 26 = 30
    3. 30 + 68 = 98
    Ergebnis:
    98
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 501 + 156 + 19 + 499 + 81 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    5011561949981
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 501 + 499 + 19 + 81 + 156
    2. 501 + 499 = 1000 und 19 + 81 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 156 = 1256
    Ergebnis:
    1256

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 62 = 300 + ___
29962
Schritt für Schritt
  1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
  2. Also muss 62 um 1 kleiner werden: 62 − 1 = 61
  3. 300 + 61 = 361
  1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
  2. Also muss 62 um 1 kleiner werden: 62 − 1 = 61
  3. 300 + 61 = 361
Ergebnis:
61

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 38 = 40 + ___
    3938
    So fängst du an:
    39 wird zu 40: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Also muss 38 um 1 kleiner werden: 38 − 1 = 37
    3. 40 + 37 = 77
    Ergebnis:
    37
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 47 = 100 + ___
    9947
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 47 um 1 kleiner werden: 47 − 1 = 46
    3. 100 + 46 = 146
    Ergebnis:
    46
  3. ★6
    Sofia rechnet 999 + 377 als 1000 + 377. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    999377
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 999 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 1000 + 377 = 1377.
    3. 1 wieder abziehen: 1377 − 1 = 1376
    Ergebnis:
    1376

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 44
Schritt für Schritt
  1. 44 = 40 + 4
  2. 7 · 40 = 280 und 7 · 4 = 28
  3. 280 + 28 = 308
  1. 44 = 40 + 4
  2. 7 · 40 = 280 und 7 · 4 = 28
  3. 280 + 28 = 308
Ergebnis:
308

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
    3. 320 − 8 = 312
    Ergebnis:
    312
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 58
    Lösung zeigen
    1. 58 = 50 + 8
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 8 = 40
    3. 250 + 40 = 290
    Ergebnis:
    290
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 6 · 394
    Lösung zeigen
    1. 394 = 300 + 90 + 4
    2. 6 · 300 = 1800; 6 · 90 = 540; 6 · 4 = 24
    3. 1800 + 540 + 24 = 2364
    Ergebnis:
    2364

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

258 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 258 : 6
  2. 258 = 240 + 18
  3. 240 : 6 = 40 und 18 : 6 = 3
  4. 40 + 3 = 43
  1. 258 : 6
  2. 258 = 240 + 18
  3. 240 : 6 = 40 und 18 : 6 = 3
  4. 40 + 3 = 43
Ergebnis:
43 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 352 : 8
    So fängst du an:
    352 = 320 + 32
    Lösung zeigen
    1. 352 = 320 + 32
    2. 320 : 8 = 40 und 32 : 8 = 4
    3. 40 + 4 = 44
    Ergebnis:
    44
  2. ●11
    315 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 315 : 5
    2. 315 = 300 + 15
    3. 300 : 5 = 60 und 15 : 5 = 3
    4. 60 + 3 = 63
    Ergebnis:
    63 Bücher
  3. ★12
    1323 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1323 : 7
    2. 1323 = 1260 + 63
    3. 1260 : 7 = 180 und 63 : 7 = 9
    4. 180 + 9 = 189
    Ergebnis:
    189 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 56 − 45 = ___ − 46
Schritt für Schritt
  1. 45 wird zu 46: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 56 um 1 größer.
  3. 56 + 1 = 57
  1. 45 wird zu 46: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 56 um 1 größer.
  3. 56 + 1 = 57
Ergebnis:
57

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 80 − 44 = ___ − 46
    So fängst du an:
    44 wird zu 46: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 44 wird zu 46: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 80 um 2 größer.
    3. 80 + 2 = 82
    Ergebnis:
    82
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 98 − 77 = ___ − 82
    Lösung zeigen
    1. 77 wird zu 82: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 98 um 5 größer.
    3. 98 + 5 = 103
    Ergebnis:
    103
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 16 · 8 = 8 · ___
    16 · 8=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Elias verdoppelt bei 22 · 15 beide Faktoren und rechnet 44 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 44 · 30 = 1320, aber 22 · 15 = 330
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 300

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 278 + 497? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 278 + 497 = 275 + 500
    3. 275 + 500 = 775
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 775
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 50? Nenne ihn und rechne.
    4 · 50zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 50 = 50 + 0.
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 0 = 0
    3. Zusammen: 200
    Ergebnis:
    zerlegen, 200

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Zeynep erhält für 58 · 48 das Ergebnis 2984. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 60 · 50 = 3000
  2. 2984 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 58 · 48 = 2784
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 60 · 50 = 3000
  2. 2984 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 58 · 48 = 2784
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 2784

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Aylin rechnet 913 − 162 und erhält 851. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 851 + 162 = 1013
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 851 + 162 = 1013
    2. 1013 ist nicht 913: Es ist falsch.
    3. 913 − 162 = 751
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 751
  2. ●23
    Can erhält für 64 · 13 das Ergebnis 832. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 10 = 600
    2. 832 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 64 · 13 = 832
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 832
  3. ★24
    Elias rechnet 1740 : 4 und erhält 435. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1740 : 4Ergebnis 435?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 435 · 4 = 1740
    2. 1740 ist genau 1740: Es stimmt.
    3. 1740 : 4 = 435
    Ergebnis:
    stimmt, 435

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 9 + 86 + 51 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    98651
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 51 + 86
    2. 9 + 51 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 86 = 146
    Ergebnis:
    146
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 8 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    852
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 8
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 8 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 46 = 200 + ___
    19746
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Also muss 46 um 3 kleiner werden: 46 − 3 = 43
    3. 200 + 43 = 243
    Ergebnis:
    43
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 190 − 48
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 190 − 48 = 192 − 50
    3. 192 − 50 = 142
    Ergebnis:
    142
  5. ●29
    Es gibt 5 Tüten mit je 25 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 25
    2. 25 = 20 + 5
    3. 5 · 20 = 100 und 5 · 5 = 25
    4. 100 + 25 = 125
    Ergebnis:
    125 Bonbons
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 27 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2073
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 20 = 60
    2. Rechter Teil: 3 · 7 = 21
    3. Zusammen: 60 + 21 = 81
    Ergebnis:
    81 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Mia rechnet 93 + 81 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    93817
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    181

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 32 = 200 + ___
    19932
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 26
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    208

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    234 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 16 · 9 = 8 · ___
    16 · 9=8 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Paul verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 47? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 282

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna rechnet 412 − 222 und erhält 290. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 190

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 47
  2. 98
  3. 1256
  4. 37
  5. 46
  6. 1376
  7. 312
  8. 290
  9. 2364
  10. 44
  11. 63 Bücher
  12. 189 Sticker
  13. 82
  14. 103
  15. 16
  16. 200
  17. 180
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 330
  19. gegensinnig verändern, 775
  20. halbieren und verdoppeln, 200
  21. zerlegen, 200
  22. falsch, richtig ist 751
  23. stimmt, 832
  24. stimmt, 435
  25. 146
  26. 80
  27. 43
  28. 142
  29. 125 Bonbons
  30. 81 Kästchen
  31. 181
  32. 31
  33. 208
  34. 26 Bücher
  35. 18
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  37. zerlegen, 282
  38. falsch, richtig ist 190
  39. 16
  40. 18
  41. 37
  42. 41