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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 3 + 16 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (3 + 5) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 5 = 8
    2. 8 · 4 = 32
    Ergebnis:
    32

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 8 + 24 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 25 und erhalte 77. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 33 + 33 + 67
333367
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 33 + 67 + 33
  2. 33 + 67 = 100
  3. 100 + 33 = 133
  1. Vertauschen: 33 + 67 + 33
  2. 33 + 67 = 100
  3. 100 + 33 = 133
Ergebnis:
133

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 14 + 84 + 86 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    148486
    So fängst du an:
    Vertauschen: 14 + 86 + 84
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 86 + 84
    2. 14 + 86 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 84 = 184
    Ergebnis:
    184
  2. ●2
    Rechne geschickt: 14 + 55 + 6
    14556
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 6 + 55
    2. 14 + 6 = 20
    3. 20 + 55 = 75
    Ergebnis:
    75
  3. ★3
    Rechne geschickt: 185 + 239 + 53 + 115 + 47
    1852395311547
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 185 + 115 + 53 + 47 + 239
    2. 185 + 115 = 300 und 53 + 47 = 100
    3. 300 + 100 + 239 = 639
    Ergebnis:
    639

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 65
29865
Schritt für Schritt
  1. 298 bekommt 2 dazu, 65 gibt 2 ab.
  2. 298 + 65 = 300 + 63
  3. 300 + 63 = 363
  1. 298 bekommt 2 dazu, 65 gibt 2 ab.
  2. 298 + 65 = 300 + 63
  3. 300 + 63 = 363
Ergebnis:
363

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 55 = 100 + ___
    9755
    So fängst du an:
    97 wird zu 100: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 55 um 3 kleiner werden: 55 − 3 = 52
    3. 100 + 52 = 152
    Ergebnis:
    52
  2. ●5
    Mia rechnet 68 + 77 als 70 + 77. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    6877
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 68 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 77 = 147.
    3. 2 wieder abziehen: 147 − 2 = 145
    Ergebnis:
    145
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 997 + 819 = 1000 + ___
    997819
    Lösung zeigen
    1. 997 wird zu 1000: 3 mehr.
    2. Also muss 819 um 3 kleiner werden: 819 − 3 = 816
    3. 1000 + 816 = 1816
    Ergebnis:
    816

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 16
Schritt für Schritt
  1. 16 = 10 + 6
  2. 8 · 10 = 80 und 8 · 6 = 48
  3. 80 + 48 = 128
  1. 16 = 10 + 6
  2. 8 · 10 = 80 und 8 · 6 = 48
  3. 80 + 48 = 128
Ergebnis:
128

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
    3. 400 − 8 = 392
    Ergebnis:
    392
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 57
    Lösung zeigen
    1. 57 = 50 + 7
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 7 = 63
    3. 450 + 63 = 513
    Ergebnis:
    513
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 93
    Lösung zeigen
    1. 93 = 90 + 3
    2. 5 · 90 = 450 und 5 · 3 = 15
    3. 450 + 15 = 465
    Ergebnis:
    465

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

392 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 392 : 8
  2. 392 = 320 + 72
  3. 320 : 8 = 40 und 72 : 8 = 9
  4. 40 + 9 = 49
  1. 392 : 8
  2. 392 = 320 + 72
  3. 320 : 8 = 40 und 72 : 8 = 9
  4. 40 + 9 = 49
Ergebnis:
49 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 318 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 318 : 6?
    318: 6
    So fängst du an:
    318 = 300 + 18
    Lösung zeigen
    1. 318 = 300 + 18
    2. 300 : 6 = 50 und 18 : 6 = 3
    3. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●11
    124 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 124 : 4
    2. 124 = 120 + 4
    3. 120 : 4 = 30 und 4 : 4 = 1
    4. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31 Murmeln
  3. ★12
    Zerlege 846 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 846 : 6?
    846: 6
    Lösung zeigen
    1. 846 = 840 + 6
    2. 840 : 6 = 140 und 6 : 6 = 1
    3. 140 + 1 = 141
    Ergebnis:
    141

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 3 = 9 · ___
Schritt für Schritt
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
  3. 3 · 2 = 6
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
  3. 3 · 2 = 6
Ergebnis:
6

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 64 + 49 = 54 + ___
    64 + 49=54 + ?
    So fängst du an:
    64 wird zu 54: 10 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 64 wird zu 54: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 49 um 10 größer.
    3. 49 + 10 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 61 − 27 = ___ − 29
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 29: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 61 um 2 größer.
    3. 61 + 2 = 63
    Ergebnis:
    63
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 64 + 49 = 62 + ___
    64 + 49=62 + ?
    Lösung zeigen
    1. 64 wird zu 62: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 49 um 2 größer.
    3. 49 + 2 = 51
    Ergebnis:
    51

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Hanna verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 51? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 51 = 50 + 1.
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
  3. Zusammen: 306
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 51 = 50 + 1.
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
  3. Zusammen: 306
Ergebnis:
zerlegen, 306

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 213 + 598? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 213 + 598 = 211 + 600
    3. 211 + 600 = 811
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 811
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 45 + 39 + 55? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 45 + 55 = 100
    3. 100 + 39 = 139
    Ergebnis:
    vertauschen, 139
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 47 + 77 + 53? Nenne ihn und rechne.
    47 + 77 + 53zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 47 + 53 = 100
    3. 100 + 77 = 177
    Ergebnis:
    vertauschen, 177

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia rechnet 421 − 223 und erhält 198. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 198 + 223 = 421
  2. 421 ist genau 421: Es stimmt.
  3. 421 − 223 = 198
  1. Umkehraufgabe: 198 + 223 = 421
  2. 421 ist genau 421: Es stimmt.
  3. 421 − 223 = 198
Ergebnis:
stimmt, 198

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 654 − 435 und erhält 239. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 239 + 435 = 674
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 239 + 435 = 674
    2. 674 ist nicht 654: Es ist falsch.
    3. 654 − 435 = 219
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 219
  2. ●23
    Lina rechnet 150 : 3 und erhält 51. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    150 : 3Ergebnis 51?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 51 · 3 = 153
    2. 153 ist nicht 150: Es ist falsch.
    3. 150 : 3 = 50
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 50
  3. ★24
    Elias rechnet 2768 : 8 und erhält 347. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    2768 : 8Ergebnis 347?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 347 · 8 = 2776
    2. 2776 ist nicht 2768: Es ist falsch.
    3. 2768 : 8 = 346
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 346

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 25 + 22 + 5
    25225
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 5 + 22
    2. 25 + 5 = 30
    3. 30 + 22 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●26
    Rechne geschickt: 2 · 7 · 5
    275
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 7
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 7 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ●27
    Paul rechnet 199 + 56 als 200 + 56. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    19956
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 56 = 256.
    3. 1 wieder abziehen: 256 − 1 = 255
    Ergebnis:
    255
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 113 − 98
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 113 − 98 = 115 − 100
    3. 115 − 100 = 15
    Ergebnis:
    15
  5. ●29
    Es gibt 9 Tüten mit je 41 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 41
    2. 41 = 40 + 1
    3. 9 · 40 = 360 und 9 · 1 = 9
    4. 360 + 9 = 369
    Ergebnis:
    369 Bonbons
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 24?
    2046
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 20 = 120
    2. Rechts: 6 · 4 = 24
    3. 6 · 24 = 120 + 24 = 144
    Ergebnis:
    6 · 20 und 6 · 4, zusammen 144

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 61 + 5 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    15615
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    81

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 79 = 50 + ___
    4979
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    78

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    177

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    536 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    67 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 99 − 22 = ___ − 24
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    101

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 232 + 198? Nenne ihn und rechne.
    232 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 430

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom erhält für 47 · 15 das Ergebnis 705. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 705

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 184
  2. 75
  3. 639
  4. 52
  5. 145
  6. 816
  7. 392
  8. 513
  9. 465
  10. 53
  11. 31 Murmeln
  12. 141
  13. 59
  14. 63
  15. 51
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  17. 200
  18. 400
  19. gegensinnig verändern, 811
  20. vertauschen, 139
  21. vertauschen, 177
  22. falsch, richtig ist 219
  23. falsch, richtig ist 50
  24. falsch, richtig ist 346
  25. 52
  26. 70
  27. 255
  28. 15
  29. 369 Bonbons
  30. 6 · 20 und 6 · 4, zusammen 144
  31. 81
  32. 78
  33. 177
  34. 67 Murmeln
  35. 101
  36. 180
  37. gegensinnig verändern, 430
  38. stimmt, 705
  39. 19
  40. 32
  41. 32
  42. 52