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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 9 + 16 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●40
    Rechne: (8 + 9) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 9 = 17
    2. 17 · 7 = 119
    Ergebnis:
    119

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 2 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
    2. 6 + 14 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 22 und erhalte 40. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 24 + 65 + 26 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
246526
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 24 + 26 + 65
  2. 24 + 26 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 65 = 115
  1. Vertauschen: 24 + 26 + 65
  2. 24 + 26 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 65 = 115
Ergebnis:
115

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Sofia rechnet 33 + 22 + 67 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    332267
    So fängst du an:
    Vertauschen: 33 + 67 + 22
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 67 + 22
    2. 33 + 67 = 100
    3. 100 + 22 = 122
    Ergebnis:
    122
  2. ●2
    Tom rechnet 35 + 34 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    35345
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 5 + 34
    2. 35 + 5 = 40
    3. 40 + 34 = 74
    Ergebnis:
    74
  3. ★3
    Tom rechnet 101 + 762 + 71 + 99 + 29 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    101762719929
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 101 + 99 + 71 + 29 + 762
    2. 101 + 99 = 200 und 71 + 29 = 100
    3. 200 + 100 + 762 = 1062
    Ergebnis:
    1062

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 65
29865
Schritt für Schritt
  1. 298 bekommt 2 dazu, 65 gibt 2 ab.
  2. 298 + 65 = 300 + 63
  3. 300 + 63 = 363
  1. 298 bekommt 2 dazu, 65 gibt 2 ab.
  2. 298 + 65 = 300 + 63
  3. 300 + 63 = 363
Ergebnis:
363

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Tom rechnet 298 + 84 als 300 + 84. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    29884
    So fängst du an:
    Tom hat 298 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 84 = 384.
    3. 2 wieder abziehen: 384 − 2 = 382
    Ergebnis:
    382
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 78 = 100 + ___
    9778
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 78 um 3 kleiner werden: 78 − 3 = 75
    3. 100 + 75 = 175
    Ergebnis:
    75
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 498 + 969
    498969
    Lösung zeigen
    1. 498 bekommt 2 dazu, 969 gibt 2 ab.
    2. 498 + 969 = 500 + 967
    3. 500 + 967 = 1467
    Ergebnis:
    1467

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 8 Reihen mit je 24 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 8 · 24
  2. 24 = 20 + 4
  3. 8 · 20 = 160 und 8 · 4 = 32
  4. 160 + 32 = 192
  1. 8 · 24
  2. 24 = 20 + 4
  3. 8 · 20 = 160 und 8 · 4 = 32
  4. 160 + 32 = 192
Ergebnis:
192 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 19
    So fängst du an:
    19 = 10 + 9
    Lösung zeigen
    1. 19 = 10 + 9
    2. 8 · 10 = 80 und 8 · 9 = 72
    3. 80 + 72 = 152
    Ergebnis:
    152
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 38
    Lösung zeigen
    1. 38 = 30 + 8
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 8 = 48
    3. 180 + 48 = 228
    Ergebnis:
    228
  3. ★9
    Es gibt 4 Hefte mit je 56 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 56
    2. 56 = 50 + 6
    3. 4 · 50 = 200 und 4 · 6 = 24
    4. 200 + 24 = 224
    Ergebnis:
    224 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

132 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 132 : 6
  2. 132 = 120 + 12
  3. 120 : 6 = 20 und 12 : 6 = 2
  4. 20 + 2 = 22
  1. 132 : 6
  2. 132 = 120 + 12
  3. 120 : 6 = 20 und 12 : 6 = 2
  4. 20 + 2 = 22
Ergebnis:
22 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    330 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    330 : 6
    Lösung zeigen
    1. 330 : 6
    2. 330 = 300 + 30
    3. 300 : 6 = 50 und 30 : 6 = 5
    4. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55 Murmeln
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 264 : 8
    Lösung zeigen
    1. 264 = 240 + 24
    2. 240 : 8 = 30 und 24 : 8 = 3
    3. 30 + 3 = 33
    Ergebnis:
    33
  3. ★12
    785 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 785 : 5
    2. 785 = 750 + 35
    3. 750 : 5 = 150 und 35 : 5 = 7
    4. 150 + 7 = 157
    Ergebnis:
    157 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 77 − 40 = ___ − 41
Schritt für Schritt
  1. 40 wird zu 41: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 77 um 1 größer.
  3. 77 + 1 = 78
  1. 40 wird zu 41: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 77 um 1 größer.
  3. 77 + 1 = 78
Ergebnis:
78

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 78 − 14 = ___ − 24
    So fängst du an:
    14 wird zu 24: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 14 wird zu 24: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 78 um 10 größer.
    3. 78 + 10 = 88
    Ergebnis:
    88
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 4 · 9 = 2 · ___
    4 · 9=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 54 + 59 = 52 + ___
    Lösung zeigen
    1. 54 wird zu 52: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 59 um 2 größer.
    3. 59 + 2 = 61
    Ergebnis:
    61

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Aylin verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Noah verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 326 + 598? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 326 + 598 = 324 + 600
    3. 324 + 600 = 924
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 924
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 230 + 497? Nenne ihn und rechne.
    230 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 230 + 497 = 227 + 500
    3. 227 + 500 = 727
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 727
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 338 + 198? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 338 + 198 = 336 + 200
    3. 336 + 200 = 536
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 536

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben erhält für 32 · 12 das Ergebnis 184. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 30 · 10 = 300
  2. 184 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 32 · 12 = 384
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 30 · 10 = 300
  2. 184 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 32 · 12 = 384
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 384

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Aylin erhält für 89 · 44 das Ergebnis 3916. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 90 · 40 = 3600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 90 · 40 = 3600
    2. 3916 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 89 · 44 = 3916
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 3916
  2. ●23
    Ben rechnet 619 − 450 und erhält 269. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 269 + 450 = 719
    2. 719 ist nicht 619: Es ist falsch.
    3. 619 − 450 = 169
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 169
  3. ★24
    Zeynep rechnet 2892 − 325 und erhält 2667. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 2667 + 325 = 2992
    2. 2992 ist nicht 2892: Es ist falsch.
    3. 2892 − 325 = 2567
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2567

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 7 + 79 + 13
    77913
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 13 + 79
    2. 7 + 13 = 20
    3. 20 + 79 = 99
    Ergebnis:
    99
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Kisten. In jeder Kiste sind 13 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Kisten13 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 13
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 13 = 130
    Ergebnis:
    130 Bälle
  3. ●27
    Hanna rechnet 38 + 95 als 40 + 95. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    3895
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 38 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 95 = 135.
    3. 2 wieder abziehen: 135 − 2 = 133
    Ergebnis:
    133
  4. ●28
    Mia rechnet 77 − 37 als 77 − 40 und erhält 37. Ist das schon das Ergebnis?
    77 − 3777 − 40
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 37 + 3 = 40
    Ergebnis:
    Nein, 40
  5. ●29
    Es gibt 8 Reihen mit je 58 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 58
    2. 58 = 50 + 8
    3. 8 · 50 = 400 und 8 · 8 = 64
    4. 400 + 64 = 464
    Ergebnis:
    464 Stühle
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 21?
    2016
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 20 = 120
    2. Rechts: 6 · 1 = 6
    3. 6 · 21 = 120 + 6 = 126
    Ergebnis:
    6 · 20 und 6 · 1, zusammen 126

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 54 + 34 + 6 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    54346
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    94

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 38
    4738
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    85

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 6 Reihen mit je 62 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    372 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 105 : 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 54 − 32 = ___ − 42
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    64

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Noah verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben rechnet 956 − 304 und erhält 752. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 652

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 122
  2. 74
  3. 1062
  4. 382
  5. 75
  6. 1467
  7. 152
  8. 228
  9. 224 Hefte
  10. 55 Murmeln
  11. 33
  12. 157 Sticker
  13. 88
  14. 18
  15. 61
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  17. 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 490
  19. gegensinnig verändern, 924
  20. gegensinnig verändern, 727
  21. gegensinnig verändern, 536
  22. stimmt, 3916
  23. falsch, richtig ist 169
  24. falsch, richtig ist 2567
  25. 99
  26. 130 Bälle
  27. 133
  28. Nein, 40
  29. 464 Stühle
  30. 6 · 20 und 6 · 1, zusammen 126
  31. 94
  32. 85
  33. 372 Stühle
  34. 35
  35. 64
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. halbieren und verdoppeln, 80
  38. falsch, richtig ist 652
  39. 25
  40. 119
  41. 20
  42. 18