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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 34 − 4 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 2 = 8
    2. 34 − 8 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●40
    Rechne: (4 + 2) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 2 = 6
    2. 6 · 9 = 54
    Ergebnis:
    54

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 9 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 4 = 36
    2. 8 + 36 = 44
    Ergebnis:
    44
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 15 und erhalte 51. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 55 + 67 + 5 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
55675
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 55 + 5 + 67
  2. 55 + 5 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 67 = 127
  1. Vertauschen: 55 + 5 + 67
  2. 55 + 5 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 67 = 127
Ergebnis:
127

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Elias rechnet 17 + 72 + 33 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    177233
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 33 + 72
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 33 + 72
    2. 17 + 33 = 50
    3. 50 + 72 = 122
    Ergebnis:
    122
  2. ●2
    Rechne geschickt: 34 + 21 + 16
    342116
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 16 + 21
    2. 34 + 16 = 50
    3. 50 + 21 = 71
    Ergebnis:
    71
  3. ★3
    Rechne geschickt: 163 + 525 + 34 + 37 + 66
    163525343766
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 163 + 37 + 34 + 66 + 525
    2. 163 + 37 = 200 und 34 + 66 = 100
    3. 200 + 100 + 525 = 825
    Ergebnis:
    825

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 78
9878
Schritt für Schritt
  1. 98 bekommt 2 dazu, 78 gibt 2 ab.
  2. 98 + 78 = 100 + 76
  3. 100 + 76 = 176
  1. 98 bekommt 2 dazu, 78 gibt 2 ab.
  2. 98 + 78 = 100 + 76
  3. 100 + 76 = 176
Ergebnis:
176

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 54 = 100 + ___
    9954
    So fängst du an:
    99 wird zu 100: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 54 um 1 kleiner werden: 54 − 1 = 53
    3. 100 + 53 = 153
    Ergebnis:
    53
  2. ●5
    Tom rechnet 198 + 89 als 200 + 89. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    19889
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 89 = 289.
    3. 2 wieder abziehen: 289 − 2 = 287
    Ergebnis:
    287
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1999 + 335 = 2000 + ___
    1999335
    Lösung zeigen
    1. 1999 wird zu 2000: 1 mehr.
    2. Also muss 335 um 1 kleiner werden: 335 − 1 = 334
    3. 2000 + 334 = 2334
    Ergebnis:
    334

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 16
Schritt für Schritt
  1. 16 = 10 + 6
  2. 3 · 10 = 30 und 3 · 6 = 18
  3. 30 + 18 = 48
  1. 16 = 10 + 6
  2. 3 · 10 = 30 und 3 · 6 = 18
  3. 30 + 18 = 48
Ergebnis:
48

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Tüten mit je 46 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 46
    Lösung zeigen
    1. 6 · 46
    2. 46 = 40 + 6
    3. 6 · 40 = 240 und 6 · 6 = 36
    4. 240 + 36 = 276
    Ergebnis:
    276 Bonbons
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
    3. 60 − 3 = 57
    Ergebnis:
    57
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 77
    Lösung zeigen
    1. 77 = 70 + 7
    2. 4 · 70 = 280 und 4 · 7 = 28
    3. 280 + 28 = 308
    Ergebnis:
    308

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 427 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 427 : 7?
427: 7
Schritt für Schritt
  1. 427 = 420 + 7
  2. 420 : 7 = 60 und 7 : 7 = 1
  3. 60 + 1 = 61
  1. 427 = 420 + 7
  2. 420 : 7 = 60 und 7 : 7 = 1
  3. 60 + 1 = 61
Ergebnis:
61

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    448 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    448 : 7
    Lösung zeigen
    1. 448 : 7
    2. 448 = 420 + 28
    3. 420 : 7 = 60 und 28 : 7 = 4
    4. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64 Bücher
  2. ●11
    Zerlege 144 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 144 : 4?
    144: 4
    Lösung zeigen
    1. 144 = 120 + 24
    2. 120 : 4 = 30 und 24 : 4 = 6
    3. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36
  3. ★12
    576 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 576 : 4
    2. 576 = 560 + 16
    3. 560 : 4 = 140 und 16 : 4 = 4
    4. 140 + 4 = 144
    Ergebnis:
    144 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 9 = 8 · ___
16 · 9=8 · ?
Schritt für Schritt
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
Ergebnis:
18

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 6 · 12 = 3 · ___
    6 · 12=3 · ?
    So fängst du an:
    6 wird halb so groß: 3.
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 3 = 4 · ___
    8 · 3=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
    3. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 76 + 68 = 79 + ___
    76 + 68=79 + ?
    Lösung zeigen
    1. 76 wird zu 79: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 68 um 3 kleiner.
    3. 68 − 3 = 65
    Ergebnis:
    65

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Tom verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Warum ist 36 · 5 dasselbe wie 18 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 36 · 5 = 18 · 10
    3. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 70

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 18 + 67 + 82? Nenne ihn und rechne.
    18 + 67 + 82zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 18 + 82 = 100
    3. 100 + 67 = 167
    Ergebnis:
    vertauschen, 167
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 28 + 26 + 72? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 28 + 72 = 100
    3. 100 + 26 = 126
    Ergebnis:
    vertauschen, 126
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 298 + 497? Nenne ihn und rechne.
    298 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 298 + 497 = 295 + 500
    3. 295 + 500 = 795
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 795

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom erhält für 26 · 14 das Ergebnis 264. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 30 · 10 = 300
  2. 264 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 26 · 14 = 364
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 30 · 10 = 300
  2. 264 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 26 · 14 = 364
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 364

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Aylin rechnet 224 : 8 und erhält 28. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    224 : 8Ergebnis 28?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 28 · 8 = 224
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 28 · 8 = 224
    2. 224 ist genau 224: Es stimmt.
    3. 224 : 8 = 28
    Ergebnis:
    stimmt, 28
  2. ●23
    Emma rechnet 552 : 6 und erhält 93. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    552 : 6Ergebnis 93?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 93 · 6 = 558
    2. 558 ist nicht 552: Es ist falsch.
    3. 552 : 6 = 92
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 92
  3. ★24
    Lea rechnet 4623 − 3092 und erhält 1541. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 1541 + 3092 = 4633
    2. 4633 ist nicht 4623: Es ist falsch.
    3. 4623 − 3092 = 1531
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1531

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 45 + 84 + 15
    458415
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 45 + 15 + 84
    2. 45 + 15 = 60
    3. 60 + 84 = 144
    Ergebnis:
    144
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 13 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    1352
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 13
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 13 = 130
    Ergebnis:
    130
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 58 = 50 + ___
    4758
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
    2. Also muss 58 um 3 kleiner werden: 58 − 3 = 55
    3. 50 + 55 = 105
    Ergebnis:
    55
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 220 − 199 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 220 um 1 größer: 221.
    3. 221 − 200 = 21
    Ergebnis:
    221
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 14
    Lösung zeigen
    1. 14 = 10 + 4
    2. 6 · 10 = 60 und 6 · 4 = 24
    3. 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    84
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 23?
    2037
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 3 = 21
    3. 7 · 23 = 140 + 21 = 161
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 3, zusammen 161

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Mia rechnet 47 + 69 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    476913
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    129

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Sofia rechnet 199 + 87 als 200 + 87. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    19987
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    286

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    232

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    120 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 8 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin rechnet 264 : 4 und erhält 66. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    264 : 4Ergebnis 66?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 66

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 122
  2. 71
  3. 825
  4. 53
  5. 287
  6. 334
  7. 276 Bonbons
  8. 57
  9. 308
  10. 64 Bücher
  11. 36
  12. 144 Bücher
  13. 24
  14. 6
  15. 65
  16. 200
  17. 180
  18. 180
  19. vertauschen, 167
  20. vertauschen, 126
  21. gegensinnig verändern, 795
  22. stimmt, 28
  23. falsch, richtig ist 92
  24. falsch, richtig ist 1531
  25. 144
  26. 130
  27. 55
  28. 221
  29. 84
  30. 7 · 20 und 7 · 3, zusammen 161
  31. 129
  32. 286
  33. 232
  34. 15 Sticker
  35. 16
  36. 210
  37. halbieren und verdoppeln, 70
  38. stimmt, 66
  39. 26
  40. 54
  41. 44
  42. 36