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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 9 + 40 = 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●40
    Rechne: (7 + 5) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 5 = 12
    2. 12 · 7 = 84
    Ergebnis:
    84

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 7 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 8 = 56
    2. 6 + 56 = 62
    Ergebnis:
    62
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 24 und erhalte 52. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 9 + 67 + 11 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
96711
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 9 + 11 + 67
  2. 9 + 11 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 67 = 87
  1. Vertauschen: 9 + 11 + 67
  2. 9 + 11 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 67 = 87
Ergebnis:
87

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Paul rechnet 19 + 52 + 31 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    195231
    So fängst du an:
    Vertauschen: 19 + 31 + 52
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 31 + 52
    2. 19 + 31 = 50
    3. 50 + 52 = 102
    Ergebnis:
    102
  2. ●2
    Rechne geschickt: 6 + 63 + 14
    66314
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 14 + 63
    2. 6 + 14 = 20
    3. 20 + 63 = 83
    Ergebnis:
    83
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 175 + 629 + 125 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    175629125
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 175 + 125 + 629
    2. 175 + 125 = 300
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 629 = 929
    Ergebnis:
    929

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 28
3728
Schritt für Schritt
  1. 37 bekommt 3 dazu, 28 gibt 3 ab.
  2. 37 + 28 = 40 + 25
  3. 40 + 25 = 65
  1. 37 bekommt 3 dazu, 28 gibt 3 ab.
  2. 37 + 28 = 40 + 25
  3. 40 + 25 = 65
Ergebnis:
65

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Aylin rechnet 69 + 92 als 70 + 92. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    6992
    So fängst du an:
    Aylin hat 69 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 92 = 162.
    3. 1 wieder abziehen: 162 − 1 = 161
    Ergebnis:
    161
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 75
    19975
    Lösung zeigen
    1. 199 bekommt 1 dazu, 75 gibt 1 ab.
    2. 199 + 75 = 200 + 74
    3. 200 + 74 = 274
    Ergebnis:
    274
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 399 + 609
    399609
    Lösung zeigen
    1. 399 bekommt 1 dazu, 609 gibt 1 ab.
    2. 399 + 609 = 400 + 608
    3. 400 + 608 = 1008
    Ergebnis:
    1008

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
  3. 420 − 7 = 413
  1. 59 = 60 − 1
  2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
  3. 420 − 7 = 413
Ergebnis:
413

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Tüten mit je 18 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 18
    Lösung zeigen
    1. 6 · 18
    2. 18 = 10 + 8
    3. 6 · 10 = 60 und 6 · 8 = 48
    4. 60 + 48 = 108
    Ergebnis:
    108 Bonbons
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 10 + 9
    2. 4 · 10 = 40 und 4 · 9 = 36
    3. 40 + 36 = 76
    Ergebnis:
    76
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
    3. 160 − 8 = 152
    Ergebnis:
    152

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

576 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 576 : 9
  2. 576 = 540 + 36
  3. 540 : 9 = 60 und 36 : 9 = 4
  4. 60 + 4 = 64
  1. 576 : 9
  2. 576 = 540 + 36
  3. 540 : 9 = 60 und 36 : 9 = 4
  4. 60 + 4 = 64
Ergebnis:
64 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 117 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 117 : 3?
    117: 3
    So fängst du an:
    117 = 90 + 27
    Lösung zeigen
    1. 117 = 90 + 27
    2. 90 : 3 = 30 und 27 : 3 = 9
    3. 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●11
    Zerlege 45 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 45 : 3?
    45: 3
    Lösung zeigen
    1. 45 = 30 + 15
    2. 30 : 3 = 10 und 15 : 3 = 5
    3. 10 + 5 = 15
    Ergebnis:
    15
  3. ★12
    Zerlege 784 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 784 : 4?
    784: 4
    Lösung zeigen
    1. 784 = 760 + 24
    2. 760 : 4 = 190 und 24 : 4 = 6
    3. 190 + 6 = 196
    Ergebnis:
    196

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 48 + 61 = 51 + ___
Schritt für Schritt
  1. 48 wird zu 51: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 61 um 3 kleiner.
  3. 61 − 3 = 58
  1. 48 wird zu 51: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 61 um 3 kleiner.
  3. 61 − 3 = 58
Ergebnis:
58

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 34 + 62 = 24 + ___
    34 + 62=24 + ?
    So fängst du an:
    34 wird zu 24: 10 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 34 wird zu 24: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 62 um 10 größer.
    3. 62 + 10 = 72
    Ergebnis:
    72
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 27 + 38 = 30 + ___
    27 + 38=30 + ?
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 30: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 38 um 3 kleiner.
    3. 38 − 3 = 35
    Ergebnis:
    35
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 8 = 3 · ___
    6 · 8=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Sofia verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  3. ★18
    Warum ist 36 · 5 dasselbe wie 18 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 36 · 5 = 18 · 10
    3. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 300

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 199 + 299? Nenne ihn und rechne.
    199 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 199 + 299 = 198 + 300
    3. 198 + 300 = 498
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 498
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom erhält für 77 · 12 das Ergebnis 1124. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 10 = 800
  2. 1124 liegt zu weit weg. Genau: 77 · 12 = 924
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 80 · 10 = 800
  2. 1124 liegt zu weit weg. Genau: 77 · 12 = 924
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 924

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia rechnet 449 − 325 und erhält 224. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 224 + 325 = 549
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 224 + 325 = 549
    2. 549 ist nicht 449: Es ist falsch.
    3. 449 − 325 = 124
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 124
  2. ●23
    Emma erhält für 68 · 43 das Ergebnis 2824. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 40 = 2800
    2. 2824 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 68 · 43 = 2924
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2924
  3. ★24
    Aylin erhält für 254 · 21 das Ergebnis 5534. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 20 = 6000
    2. 5534 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 254 · 21 = 5334
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 5334

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 33 + 65 + 17 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    336517
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 17 + 65
    2. 33 + 17 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 65 = 115
    Ergebnis:
    115
  2. ●26
    Rechne geschickt: 15 · 4 · 25
    15425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 15
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 15 = 1500
    Ergebnis:
    1500
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 79 = 300 + ___
    29879
    Lösung zeigen
    1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
    2. Also muss 79 um 2 kleiner werden: 79 − 2 = 77
    3. 300 + 77 = 377
    Ergebnis:
    77
  4. ●28
    Noah rechnet 222 − 198 als 222 − 200 und erhält 22. Ist das schon das Ergebnis?
    222 − 198222 − 200
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 22 + 2 = 24
    Ergebnis:
    Nein, 24
  5. ●29
    Es gibt 6 Tüten mit je 41 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 41
    2. 41 = 40 + 1
    3. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
    4. 240 + 6 = 246
    Ergebnis:
    246 Bonbons
  6. ●30
    Emma rechnet 7 · 21 so: erst 7 · 20, dann 1 dazu. Emma erhält 141. Zeige am Bild, was fehlt.
    2017
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 1 Kästchen, nicht nur 1.
    2. Rechter Teil: 7 · 1 = 7
    3. 140 + 7 = 147
    Ergebnis:
    147

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 17 + 31 + 23 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    173123
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    71

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 68 = 50 + ___
    4868
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 4 Hefte mit je 67 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    268 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 275 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 7 = 9 · ___
    18 · 7=9 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom erhält für 40 · 13 das Ergebnis 520. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 520

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 102
  2. 83
  3. 929
  4. 161
  5. 274
  6. 1008
  7. 108 Bonbons
  8. 76
  9. 152
  10. 39
  11. 15
  12. 196
  13. 72
  14. 35
  15. 16
  16. 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  18. 180
  19. halbieren und verdoppeln, 400
  20. gegensinnig verändern, 498
  21. halbieren und verdoppeln, 200
  22. falsch, richtig ist 124
  23. falsch, richtig ist 2924
  24. falsch, richtig ist 5334
  25. 115
  26. 1500
  27. 77
  28. Nein, 24
  29. 246 Bonbons
  30. 147
  31. 71
  32. 66
  33. 268 Hefte
  34. 55
  35. 14
  36. 90
  37. halbieren und verdoppeln, 70
  38. stimmt, 520
  39. 49
  40. 84
  41. 62
  42. 28