Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 21 − 2 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 2 = 4
    2. 21 − 4 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●40
    Rechne: (6 + 2) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 2 = 8
    2. 8 · 5 = 40
    Ergebnis:
    40

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 6 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 8 = 48
    2. 7 + 48 = 55
    Ergebnis:
    55
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 31 und erhalte 78. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 7 + 39 + 53 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
73953
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 7 + 53 + 39
  2. 7 + 53 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 39 = 99
  1. Vertauschen: 7 + 53 + 39
  2. 7 + 53 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 39 = 99
Ergebnis:
99

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 71 + 73 + 29 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    717329
    So fängst du an:
    Vertauschen: 71 + 29 + 73
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 71 + 29 + 73
    2. 71 + 29 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 73 = 173
    Ergebnis:
    173
  2. ●2
    Elias rechnet 19 + 72 + 11 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    197211
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 11 + 72
    2. 19 + 11 = 30
    3. 30 + 72 = 102
    Ergebnis:
    102
  3. ★3
    Rechne geschickt: 95 + 524 + 5
    955245
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 95 + 5 + 524
    2. 95 + 5 = 100
    3. 100 + 524 = 624
    Ergebnis:
    624

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Noah rechnet 297 + 78 als 300 + 78. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
29778
Schritt für Schritt
  1. Noah hat 297 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 78 = 378.
  3. 3 wieder abziehen: 378 − 3 = 375
  1. Noah hat 297 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 78 = 378.
  3. 3 wieder abziehen: 378 − 3 = 375
Ergebnis:
375

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 84
    6784
    So fängst du an:
    67 bekommt 3 dazu, 84 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 84 gibt 3 ab.
    2. 67 + 84 = 70 + 81
    3. 70 + 81 = 151
    Ergebnis:
    151
  2. ●5
    Noah rechnet 199 + 97 als 200 + 97. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    19997
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 97 = 297.
    3. 1 wieder abziehen: 297 − 1 = 296
    Ergebnis:
    296
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 399 + 386 = 400 + ___
    399386
    Lösung zeigen
    1. 399 wird zu 400: 1 mehr.
    2. Also muss 386 um 1 kleiner werden: 386 − 1 = 385
    3. 400 + 385 = 785
    Ergebnis:
    385

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
Schritt für Schritt
  1. 39 = 40 − 1
  2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
  3. 320 − 8 = 312
  1. 39 = 40 − 1
  2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
  3. 320 − 8 = 312
Ergebnis:
312

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Tüten mit je 35 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 35
    Lösung zeigen
    1. 8 · 35
    2. 35 = 30 + 5
    3. 8 · 30 = 240 und 8 · 5 = 40
    4. 240 + 40 = 280
    Ergebnis:
    280 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 7 Reihen mit je 46 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 46
    2. 46 = 40 + 6
    3. 7 · 40 = 280 und 7 · 6 = 42
    4. 280 + 42 = 322
    Ergebnis:
    322 Stühle
  3. ★9
    Es gibt 6 Hefte mit je 44 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 44
    2. 44 = 40 + 4
    3. 6 · 40 = 240 und 6 · 4 = 24
    4. 240 + 24 = 264
    Ergebnis:
    264 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

84 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 84 : 3
  2. 84 = 60 + 24
  3. 60 : 3 = 20 und 24 : 3 = 8
  4. 20 + 8 = 28
  1. 84 : 3
  2. 84 = 60 + 24
  3. 60 : 3 = 20 und 24 : 3 = 8
  4. 20 + 8 = 28
Ergebnis:
28 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 256 : 4
    So fängst du an:
    256 = 240 + 16
    Lösung zeigen
    1. 256 = 240 + 16
    2. 240 : 4 = 60 und 16 : 4 = 4
    3. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64
  2. ●11
    80 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 80 : 5
    2. 80 = 50 + 30
    3. 50 : 5 = 10 und 30 : 5 = 6
    4. 10 + 6 = 16
    Ergebnis:
    16 Murmeln
  3. ★12
    Zerlege 513 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 513 : 9?
    513: 9
    Lösung zeigen
    1. 513 = 450 + 63
    2. 450 : 9 = 50 und 63 : 9 = 7
    3. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 14 · 10 = 7 · ___
14 · 10=7 · ?
Schritt für Schritt
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 46 + 75 = 56 + ___
    46 + 75=56 + ?
    So fängst du an:
    46 wird zu 56: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 46 wird zu 56: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 75 um 10 kleiner.
    3. 75 − 10 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 12 · 5 = 6 · ___
    12 · 5=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 5 · 22 + 5 · 7 = 5 · ___
    5 · 22 + 5 · 7=5 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 5.
    2. 5 mal 22 und 5 mal 7 sind zusammen 5 mal (22 + 7).
    3. 22 + 7 = 29
    Ergebnis:
    29

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
Schritt für Schritt
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Elias verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Elias verdoppelt bei 24 · 125 beide Faktoren und rechnet 48 · 250. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 48 · 250 = 12.000, aber 24 · 125 = 3000
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 13 + 53 + 87? Nenne ihn. Rechne danach.
13 + 53 + 87zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 13 + 87 = 100
  3. 100 + 53 = 153
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 13 + 87 = 100
  3. 100 + 53 = 153
Ergebnis:
vertauschen, 153

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 21 + 42 + 79? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 21 + 79 = 100
    3. 100 + 42 = 142
    Ergebnis:
    vertauschen, 142
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 154 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    154 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 154 + 598 = 152 + 600
    3. 152 + 600 = 752
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 752

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina rechnet 553 − 178 und erhält 375. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 375 + 178 = 553
  2. 553 ist genau 553: Es stimmt.
  3. 553 − 178 = 375
  1. Umkehraufgabe: 375 + 178 = 553
  2. 553 ist genau 553: Es stimmt.
  3. 553 − 178 = 375
Ergebnis:
stimmt, 375

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas rechnet 372 : 6 und erhält 61. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    372 : 6Ergebnis 61?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 61 · 6 = 366
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 61 · 6 = 366
    2. 366 ist nicht 372: Es ist falsch.
    3. 372 : 6 = 62
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 62
  2. ●23
    Sofia rechnet 720 − 282 und erhält 428. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 428 + 282 = 710
    2. 710 ist nicht 720: Es ist falsch.
    3. 720 − 282 = 438
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 438
  3. ★24
    Sofia rechnet 4536 : 9 und erhält 504. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    4536 : 9Ergebnis 504?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 504 · 9 = 4536
    2. 4536 ist genau 4536: Es stimmt.
    3. 4536 : 9 = 504
    Ergebnis:
    stimmt, 504

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Noah rechnet 16 + 81 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    16814
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 4 + 81
    2. 16 + 4 = 20
    3. 20 + 81 = 101
    Ergebnis:
    101
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Kartons. In jedem Karton sind 3 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Kartons3 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 3
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 3 = 300
    Ergebnis:
    300 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 56 = 50 + ___
    4956
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Also muss 56 um 1 kleiner werden: 56 − 1 = 55
    3. 50 + 55 = 105
    Ergebnis:
    55
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 151 − 27
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 151 − 27 = 154 − 30
    3. 154 − 30 = 124
    Ergebnis:
    124
  5. ●29
    Es gibt 9 Tüten mit je 58 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 58
    2. 58 = 50 + 8
    3. 9 · 50 = 450 und 9 · 8 = 72
    4. 450 + 72 = 522
    Ergebnis:
    522 Bonbons
  6. ●30
    Noah rechnet 7 · 21 so: erst 7 · 20, dann 1 dazu. Noah erhält 141. Zeige am Bild, was fehlt.
    2017
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 1 Kästchen, nicht nur 1.
    2. Rechter Teil: 7 · 1 = 7
    3. 140 + 7 = 147
    Ergebnis:
    147

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 13 + 65 + 17
    136517
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    95

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Jonas rechnet 68 + 37 als 70 + 37. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    6837
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    105

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    472

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 160 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 51 − 24 = ___ − 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Hanna verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 28 + 72 + 72? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 172

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben erhält für 65 · 46 das Ergebnis 2890. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2990

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 173
  2. 102
  3. 624
  4. 151
  5. 296
  6. 385
  7. 280 Bonbons
  8. 322 Stühle
  9. 264 Hefte
  10. 64
  11. 16 Murmeln
  12. 57
  13. 65
  14. 10
  15. 29
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. 70
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 3000
  19. halbieren und verdoppeln, 70
  20. vertauschen, 142
  21. gegensinnig verändern, 752
  22. falsch, richtig ist 62
  23. falsch, richtig ist 438
  24. stimmt, 504
  25. 101
  26. 300 Bälle
  27. 55
  28. 124
  29. 522 Bonbons
  30. 147
  31. 95
  32. 105
  33. 472
  34. 32
  35. 52
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  37. vertauschen, 172
  38. falsch, richtig ist 2990
  39. 17
  40. 40
  41. 55
  42. 47