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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 31 − 5 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 3 = 15
    2. 31 − 15 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●40
    Rechne: (3 + 5) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 5 = 8
    2. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 8 + 20 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 17 und erhalte 38. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 29 + 75 + 21 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
297521
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 29 + 21 + 75
  2. 29 + 21 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 75 = 125
  1. Vertauschen: 29 + 21 + 75
  2. 29 + 21 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 75 = 125
Ergebnis:
125

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 17 + 65 + 33
    176533
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 33 + 65
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 33 + 65
    2. 17 + 33 = 50
    3. 50 + 65 = 115
    Ergebnis:
    115
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 51 + 78 + 49 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    517849
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 51 + 49 + 78
    2. 51 + 49 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 78 = 178
    Ergebnis:
    178
  3. ★3
    Rechne geschickt: 189 + 152 + 11
    18915211
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 189 + 11 + 152
    2. 189 + 11 = 200
    3. 200 + 152 = 352
    Ergebnis:
    352

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 29 = 300 + ___
29829
Schritt für Schritt
  1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
  2. Also muss 29 um 2 kleiner werden: 29 − 2 = 27
  3. 300 + 27 = 327
  1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
  2. Also muss 29 um 2 kleiner werden: 29 − 2 = 27
  3. 300 + 27 = 327
Ergebnis:
27

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 55 = 50 + ___
    4855
    So fängst du an:
    48 wird zu 50: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Also muss 55 um 2 kleiner werden: 55 − 2 = 53
    3. 50 + 53 = 103
    Ergebnis:
    53
  2. ●5
    Tom rechnet 197 + 26 als 200 + 26. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    19726
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 26 = 226.
    3. 3 wieder abziehen: 226 − 3 = 223
    Ergebnis:
    223
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 499 + 407 = 500 + ___
    499407
    Lösung zeigen
    1. 499 wird zu 500: 1 mehr.
    2. Also muss 407 um 1 kleiner werden: 407 − 1 = 406
    3. 500 + 406 = 906
    Ergebnis:
    406

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 4 Reihen mit je 57 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 4 · 57
  2. 57 = 50 + 7
  3. 4 · 50 = 200 und 4 · 7 = 28
  4. 200 + 28 = 228
  1. 4 · 57
  2. 57 = 50 + 7
  3. 4 · 50 = 200 und 4 · 7 = 28
  4. 200 + 28 = 228
Ergebnis:
228 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 5 Tüten mit je 45 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    5 · 45
    Lösung zeigen
    1. 5 · 45
    2. 45 = 40 + 5
    3. 5 · 40 = 200 und 5 · 5 = 25
    4. 200 + 25 = 225
    Ergebnis:
    225 Bonbons
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 66
    Lösung zeigen
    1. 66 = 60 + 6
    2. 6 · 60 = 360 und 6 · 6 = 36
    3. 360 + 36 = 396
    Ergebnis:
    396
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 5 · 391
    Lösung zeigen
    1. 391 = 300 + 90 + 1
    2. 5 · 300 = 1500; 5 · 90 = 450; 5 · 1 = 5
    3. 1500 + 450 + 5 = 1955
    Ergebnis:
    1955

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 126 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 126 : 6?
126: 6
Schritt für Schritt
  1. 126 = 120 + 6
  2. 120 : 6 = 20 und 6 : 6 = 1
  3. 20 + 1 = 21
  1. 126 = 120 + 6
  2. 120 : 6 = 20 und 6 : 6 = 1
  3. 20 + 1 = 21
Ergebnis:
21

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    96 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    96 : 4
    Lösung zeigen
    1. 96 : 4
    2. 96 = 80 + 16
    3. 80 : 4 = 20 und 16 : 4 = 4
    4. 20 + 4 = 24
    Ergebnis:
    24 Murmeln
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 90 : 6
    Lösung zeigen
    1. 90 = 60 + 30
    2. 60 : 6 = 10 und 30 : 6 = 5
    3. 10 + 5 = 15
    Ergebnis:
    15
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 822 : 6
    Lösung zeigen
    1. 822 = 780 + 42
    2. 780 : 6 = 130 und 42 : 6 = 7
    3. 130 + 7 = 137
    Ergebnis:
    137

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 51 − 14 = ___ − 16
Schritt für Schritt
  1. 14 wird zu 16: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 51 um 2 größer.
  3. 51 + 2 = 53
  1. 14 wird zu 16: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 51 um 2 größer.
  3. 51 + 2 = 53
Ergebnis:
53

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 6 · 4 = 3 · ___
    6 · 4=3 · ?
    So fängst du an:
    6 wird halb so groß: 3.
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
    3. 4 · 2 = 8
    Ergebnis:
    8
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 58 + 35 = 59 + ___
    58 + 35=59 + ?
    Lösung zeigen
    1. 58 wird zu 59: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 35 um 1 kleiner.
    3. 35 − 1 = 34
    Ergebnis:
    34
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 59 − 48 = ___ − 53
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 53: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 5 größer.
    3. 59 + 5 = 64
    Ergebnis:
    64

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Jonas verdoppelt bei 32 · 25 beide Faktoren und rechnet 64 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 64 · 50 = 3200, aber 32 · 25 = 800
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 51? Nenne ihn. Rechne danach.
9 · 51zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 51 = 50 + 1.
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 1 = 9
  3. Zusammen: 459
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 51 = 50 + 1.
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 1 = 9
  3. Zusammen: 459
Ergebnis:
zerlegen, 459

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 146 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    146 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 146 + 497 = 143 + 500
    3. 143 + 500 = 643
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 643
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 44 + 31 + 56? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 44 + 56 = 100
    3. 100 + 31 = 131
    Ergebnis:
    vertauschen, 131
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Elias rechnet 646 − 233 und erhält 403. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 403 + 233 = 636
  2. 636 ist nicht 646: Es ist falsch.
  3. 646 − 233 = 413
  1. Umkehraufgabe: 403 + 233 = 636
  2. 636 ist nicht 646: Es ist falsch.
  3. 646 − 233 = 413
Ergebnis:
falsch, richtig ist 413

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma rechnet 784 − 654 und erhält 140. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 140 + 654 = 794
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 140 + 654 = 794
    2. 794 ist nicht 784: Es ist falsch.
    3. 784 − 654 = 130
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 130
  2. ●23
    Hanna erhält für 84 · 49 das Ergebnis 4116. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 50 = 4000
    2. 4116 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 84 · 49 = 4116
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 4116
  3. ★24
    Paul rechnet 3875 − 812 und erhält 3053. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 3053 + 812 = 3865
    2. 3865 ist nicht 3875: Es ist falsch.
    3. 3875 − 812 = 3063
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3063

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 52 + 87 + 48
    528748
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 52 + 48 + 87
    2. 52 + 48 = 100
    3. 100 + 87 = 187
    Ergebnis:
    187
  2. ●26
    In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Packungen. In jeder Packung sind 17 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    50 Regale2 Packungen17 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 50 · 2 · 17
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 17 = 1700
    Ergebnis:
    1700 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 35
    3935
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    1. 39 bekommt 1 dazu, 35 gibt 1 ab.
    2. 39 + 35 = 40 + 34
    3. 40 + 34 = 74
    Ergebnis:
    74
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 148 − 19 = ___ − 20
    Lösung zeigen
    1. 19 wird zu 20: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 148 um 1 größer: 149.
    3. 149 − 20 = 129
    Ergebnis:
    149
  5. ●29
    Es gibt 5 Hefte mit je 23 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 23
    2. 23 = 20 + 3
    3. 5 · 20 = 100 und 5 · 3 = 15
    4. 100 + 15 = 115
    Ergebnis:
    115 Hefte
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 12 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1026
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 10 = 60
    2. Rechter Teil: 6 · 2 = 12
    3. Zusammen: 60 + 12 = 72
    Ergebnis:
    72 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 13 + 23 + 87 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    132387
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    123

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Zeynep rechnet 97 + 45 als 100 + 45. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    9745
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    142

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 9 Tüten mit je 24 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    216 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    413 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 66 − 49 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    67

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Sofia verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 371 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 969

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom erhält für 74 · 18 das Ergebnis 1232. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1332

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 115
  2. 178
  3. 352
  4. 53
  5. 223
  6. 406
  7. 225 Bonbons
  8. 396
  9. 1955
  10. 24 Murmeln
  11. 15
  12. 137
  13. 8
  14. 34
  15. 64
  16. 70
  17. 210
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 800
  19. gegensinnig verändern, 643
  20. vertauschen, 131
  21. halbieren und verdoppeln, 200
  22. falsch, richtig ist 130
  23. stimmt, 4116
  24. falsch, richtig ist 3063
  25. 187
  26. 1700 Bälle
  27. 74
  28. 149
  29. 115 Hefte
  30. 72 Kästchen
  31. 123
  32. 142
  33. 216 Bonbons
  34. 59 Sticker
  35. 67
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  37. gegensinnig verändern, 969
  38. falsch, richtig ist 1332
  39. 16
  40. 16
  41. 28
  42. 21