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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 58 − 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 58 − 24 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●40
    Rechne: (7 + 4) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 4 = 11
    2. 11 · 9 = 99
    Ergebnis:
    99

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 4 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 7 = 28
    2. 9 + 28 = 37
    Ergebnis:
    37
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 24 und erhalte 38. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 5 + 29 + 35 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
52935
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 5 + 35 + 29
  2. 5 + 35 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 29 = 69
  1. Vertauschen: 5 + 35 + 29
  2. 5 + 35 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 29 = 69
Ergebnis:
69

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 48 + 28 + 12
    482812
    So fängst du an:
    Vertauschen: 48 + 12 + 28
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 48 + 12 + 28
    2. 48 + 12 = 60
    3. 60 + 28 = 88
    Ergebnis:
    88
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 8 + 38 + 22 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    83822
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 22 + 38
    2. 8 + 22 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 38 = 68
    Ergebnis:
    68
  3. ★3
    Rechne geschickt: 246 + 525 + 79 + 754 + 21
    2465257975421
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 246 + 754 + 79 + 21 + 525
    2. 246 + 754 = 1000 und 79 + 21 = 100
    3. 1000 + 100 + 525 = 1625
    Ergebnis:
    1625

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 89
3889
Schritt für Schritt
  1. 38 bekommt 2 dazu, 89 gibt 2 ab.
  2. 38 + 89 = 40 + 87
  3. 40 + 87 = 127
  1. 38 bekommt 2 dazu, 89 gibt 2 ab.
  2. 38 + 89 = 40 + 87
  3. 40 + 87 = 127
Ergebnis:
127

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeynep rechnet 37 + 95 als 40 + 95. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    3795
    So fängst du an:
    Zeynep hat 37 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 95 = 135.
    3. 3 wieder abziehen: 135 − 3 = 132
    Ergebnis:
    132
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 76
    9776
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 76 gibt 3 ab.
    2. 97 + 76 = 100 + 73
    3. 100 + 73 = 173
    Ergebnis:
    173
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 696 + 276 = 700 + ___
    696276
    Lösung zeigen
    1. 696 wird zu 700: 4 mehr.
    2. Also muss 276 um 4 kleiner werden: 276 − 4 = 272
    3. 700 + 272 = 972
    Ergebnis:
    272

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 49
Schritt für Schritt
  1. 49 = 50 − 1
  2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
  3. 150 − 3 = 147
  1. 49 = 50 − 1
  2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
  3. 150 − 3 = 147
Ergebnis:
147

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 18
    So fängst du an:
    18 = 10 + 8
    Lösung zeigen
    1. 18 = 10 + 8
    2. 3 · 10 = 30 und 3 · 8 = 24
    3. 30 + 24 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
    3. 240 − 4 = 236
    Ergebnis:
    236
  3. ★9
    Es gibt 6 Hefte mit je 19 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 19
    2. 19 = 10 + 9
    3. 6 · 10 = 60 und 6 · 9 = 54
    4. 60 + 54 = 114
    Ergebnis:
    114 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

114 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 114 : 6
  2. 114 = 60 + 54
  3. 60 : 6 = 10 und 54 : 6 = 9
  4. 10 + 9 = 19
  1. 114 : 6
  2. 114 = 60 + 54
  3. 60 : 6 = 10 und 54 : 6 = 9
  4. 10 + 9 = 19
Ergebnis:
19 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 504 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 504 : 9?
    504: 9
    So fängst du an:
    504 = 450 + 54
    Lösung zeigen
    1. 504 = 450 + 54
    2. 450 : 9 = 50 und 54 : 9 = 6
    3. 50 + 6 = 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●11
    Zerlege 114 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 114 : 6?
    114: 6
    Lösung zeigen
    1. 114 = 60 + 54
    2. 60 : 6 = 10 und 54 : 6 = 9
    3. 10 + 9 = 19
    Ergebnis:
    19
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 288 : 4
    Lösung zeigen
    1. 288 = 280 + 8
    2. 280 : 4 = 70 und 8 : 4 = 2
    3. 70 + 2 = 72
    Ergebnis:
    72

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 13 = 6 · ___
12 · 13=6 · ?
Schritt für Schritt
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
Ergebnis:
26

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 4 · 13 = 2 · ___
    4 · 13=2 · ?
    So fängst du an:
    4 wird halb so groß: 2.
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 81 + 81 = 79 + ___
    81 + 81=79 + ?
    Lösung zeigen
    1. 81 wird zu 79: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 81 um 2 größer.
    3. 81 + 2 = 83
    Ergebnis:
    83
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 66 − 42 = ___ − 44
    Lösung zeigen
    1. 42 wird zu 44: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 66 um 2 größer.
    3. 66 + 2 = 68
    Ergebnis:
    68

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Aylin verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Lina verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Warum ist 32 · 25 dasselbe wie 16 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 32 · 25 = 16 · 50
    3. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 72? Nenne ihn. Rechne danach.
7 · 72zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 72 = 70 + 2.
  2. 7 · 70 = 490 und 7 · 2 = 14
  3. Zusammen: 504
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 72 = 70 + 2.
  2. 7 · 70 = 490 und 7 · 2 = 14
  3. Zusammen: 504
Ergebnis:
zerlegen, 504

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 276 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    276 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 276 + 598 = 274 + 600
    3. 274 + 600 = 874
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 874
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 141 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    141 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 141 + 299 = 140 + 300
    3. 140 + 300 = 440
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 440
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 2397 − 1619? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 2397 − 1619 = 778
    Ergebnis:
    schriftlich, 778

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Sofia rechnet 800 − 411 und erhält 409. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 409 + 411 = 820
  2. 820 ist nicht 800: Es ist falsch.
  3. 800 − 411 = 389
  1. Umkehraufgabe: 409 + 411 = 820
  2. 820 ist nicht 800: Es ist falsch.
  3. 800 − 411 = 389
Ergebnis:
falsch, richtig ist 389

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 892 − 355 und erhält 537. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 537 + 355 = 892
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 537 + 355 = 892
    2. 892 ist genau 892: Es stimmt.
    3. 892 − 355 = 537
    Ergebnis:
    stimmt, 537
  2. ●23
    Hanna rechnet 280 : 5 und erhält 57. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    280 : 5Ergebnis 57?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 57 · 5 = 285
    2. 285 ist nicht 280: Es ist falsch.
    3. 280 : 5 = 56
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 56
  3. ★24
    Hanna erhält für 207 · 18 das Ergebnis 3526. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 20 = 4000
    2. 3526 liegt zu weit weg. Genau: 207 · 18 = 3726
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3726

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 5 + 21 + 35 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    52135
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 + 35 + 21
    2. 5 + 35 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 21 = 61
    Ergebnis:
    61
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 8 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    852
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 8
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 8 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ●27
    Lina rechnet 67 + 56 als 70 + 56. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    6756
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 67 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 56 = 126.
    3. 3 wieder abziehen: 126 − 3 = 123
    Ergebnis:
    123
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 93 − 38 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 93 um 2 größer: 95.
    3. 95 − 40 = 55
    Ergebnis:
    95
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
    3. 300 − 6 = 294
    Ergebnis:
    294
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 27 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2075
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 20 = 100
    2. Rechter Teil: 5 · 7 = 35
    3. Zusammen: 100 + 35 = 135
    Ergebnis:
    135 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Ben rechnet 18 + 33 + 82 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    183382
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    133

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Hanna rechnet 67 + 35 als 70 + 35. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    6735
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    102

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 44
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    176

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 198 : 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 71 + 58 = 69 + ___
    71 + 58=69 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom rechnet 904 − 760 und erhält 164. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 144

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 88
  2. 68
  3. 1625
  4. 132
  5. 173
  6. 272
  7. 54
  8. 236
  9. 114 Hefte
  10. 56
  11. 19
  12. 72
  13. 26
  14. 83
  15. 68
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. 800
  19. gegensinnig verändern, 874
  20. gegensinnig verändern, 440
  21. schriftlich, 778
  22. stimmt, 537
  23. falsch, richtig ist 56
  24. falsch, richtig ist 3726
  25. 61
  26. 80
  27. 123
  28. 95
  29. 294
  30. 135 Kästchen
  31. 133
  32. 102
  33. 176
  34. 33
  35. 60
  36. 90
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. falsch, richtig ist 144
  39. 34
  40. 99
  41. 37
  42. 14