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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 5 + 35 = 40
    Ergebnis:
    40
  2. ●40
    Rechne: (2 + 3) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 3 = 5
    2. 5 · 4 = 20
    Ergebnis:
    20

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 8 + 35 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 27 und erhalte 83. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 11 + 64 + 19
116419
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 11 + 19 + 64
  2. 11 + 19 = 30
  3. 30 + 64 = 94
  1. Vertauschen: 11 + 19 + 64
  2. 11 + 19 = 30
  3. 30 + 64 = 94
Ergebnis:
94

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 41 + 45 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    154145
    So fängst du an:
    Vertauschen: 15 + 45 + 41
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 45 + 41
    2. 15 + 45 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 41 = 101
    Ergebnis:
    101
  2. ●2
    Rechne geschickt: 37 + 89 + 13
    378913
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 13 + 89
    2. 37 + 13 = 50
    3. 50 + 89 = 139
    Ergebnis:
    139
  3. ★3
    Rechne geschickt: 55 + 191 + 45
    5519145
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 55 + 45 + 191
    2. 55 + 45 = 100
    3. 100 + 191 = 291
    Ergebnis:
    291

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 29
6829
Schritt für Schritt
  1. 68 bekommt 2 dazu, 29 gibt 2 ab.
  2. 68 + 29 = 70 + 27
  3. 70 + 27 = 97
  1. 68 bekommt 2 dazu, 29 gibt 2 ab.
  2. 68 + 29 = 70 + 27
  3. 70 + 27 = 97
Ergebnis:
97

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 74 = 40 + ___
    3874
    So fängst du an:
    38 wird zu 40: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Also muss 74 um 2 kleiner werden: 74 − 2 = 72
    3. 40 + 72 = 112
    Ergebnis:
    72
  2. ●5
    Mia rechnet 97 + 48 als 100 + 48. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    9748
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 48 = 148.
    3. 3 wieder abziehen: 148 − 3 = 145
    Ergebnis:
    145
  3. ★6
    Lina rechnet 699 + 643 als 700 + 643. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    699643
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 699 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 700 + 643 = 1343.
    3. 1 wieder abziehen: 1343 − 1 = 1342
    Ergebnis:
    1342

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 39
Schritt für Schritt
  1. 39 = 40 − 1
  2. 9 · 40 = 360 und 9 · 1 = 9
  3. 360 − 9 = 351
  1. 39 = 40 − 1
  2. 9 · 40 = 360 und 9 · 1 = 9
  3. 360 − 9 = 351
Ergebnis:
351

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 7 Tüten mit je 34 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    7 · 34
    Lösung zeigen
    1. 7 · 34
    2. 34 = 30 + 4
    3. 7 · 30 = 210 und 7 · 4 = 28
    4. 210 + 28 = 238
    Ergebnis:
    238 Bonbons
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
    3. 60 − 3 = 57
    Ergebnis:
    57
  3. ★9
    Es gibt 8 Hefte mit je 27 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 27
    2. 27 = 20 + 7
    3. 8 · 20 = 160 und 8 · 7 = 56
    4. 160 + 56 = 216
    Ergebnis:
    216 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 342 : 6
Schritt für Schritt
  1. 342 = 300 + 42
  2. 300 : 6 = 50 und 42 : 6 = 7
  3. 50 + 7 = 57
  1. 342 = 300 + 42
  2. 300 : 6 = 50 und 42 : 6 = 7
  3. 50 + 7 = 57
Ergebnis:
57

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 171 : 3
    So fängst du an:
    171 = 150 + 21
    Lösung zeigen
    1. 171 = 150 + 21
    2. 150 : 3 = 50 und 21 : 3 = 7
    3. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 165 : 5
    Lösung zeigen
    1. 165 = 150 + 15
    2. 150 : 5 = 30 und 15 : 5 = 3
    3. 30 + 3 = 33
    Ergebnis:
    33
  3. ★12
    1078 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1078 : 7
    2. 1078 = 1050 + 28
    3. 1050 : 7 = 150 und 28 : 7 = 4
    4. 150 + 4 = 154
    Ergebnis:
    154 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 50 − 19 = ___ − 20
Schritt für Schritt
  1. 19 wird zu 20: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 50 um 1 größer.
  3. 50 + 1 = 51
  1. 19 wird zu 20: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 50 um 1 größer.
  3. 50 + 1 = 51
Ergebnis:
51

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 86 + 83 = 96 + ___
    86 + 83=96 + ?
    So fängst du an:
    86 wird zu 96: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 86 wird zu 96: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 83 um 10 kleiner.
    3. 83 − 10 = 73
    Ergebnis:
    73
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 85 − 60 = ___ − 61
    Lösung zeigen
    1. 60 wird zu 61: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 85 um 1 größer.
    3. 85 + 1 = 86
    Ergebnis:
    86
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 18 · 14 = 9 · ___
    18 · 14=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
Schritt für Schritt
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    So fängst du an:
    16 · 5 = 8 · 10
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Aylin verdoppelt bei 36 · 5 beide Faktoren und rechnet 72 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 72 · 10 = 720, aber 36 · 5 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 284 + 198? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 284 + 198 = 282 + 200
  3. 282 + 200 = 482
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 284 + 198 = 282 + 200
  3. 282 + 200 = 482
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 482

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 17 + 29 + 83? Nenne ihn und rechne.
    17 + 29 + 83zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 17 + 83 = 100
    3. 100 + 29 = 129
    Ergebnis:
    vertauschen, 129
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can rechnet 189 : 7 und erhält 27. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
189 : 7Ergebnis 27?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 27 · 7 = 189
  2. 189 ist genau 189: Es stimmt.
  3. 189 : 7 = 27
  1. Umkehraufgabe: 27 · 7 = 189
  2. 189 ist genau 189: Es stimmt.
  3. 189 : 7 = 27
Ergebnis:
stimmt, 27

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 682 − 435 und erhält 237. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 237 + 435 = 672
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 237 + 435 = 672
    2. 672 ist nicht 682: Es ist falsch.
    3. 682 − 435 = 247
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 247
  2. ●23
    Jonas erhält für 35 · 21 das Ergebnis 535. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 20 = 800
    2. 535 liegt zu weit weg. Genau: 35 · 21 = 735
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 735
  3. ★24
    Mia rechnet 3210 : 6 und erhält 534. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    3210 : 6Ergebnis 534?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 534 · 6 = 3204
    2. 3204 ist nicht 3210: Es ist falsch.
    3. 3210 : 6 = 535
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 535

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 63 + 58 + 37 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    635837
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 63 + 37 + 58
    2. 63 + 37 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 58 = 158
    Ergebnis:
    158
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 50 · 12 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    50122
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 12
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 12 = 1200
    Ergebnis:
    1200
  3. ●27
    Lina rechnet 97 + 57 als 100 + 57. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    9757
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 57 = 157.
    3. 3 wieder abziehen: 157 − 3 = 154
    Ergebnis:
    154
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 139 − 97 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 139 um 3 größer: 142.
    3. 142 − 100 = 42
    Ergebnis:
    142
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 62
    Lösung zeigen
    1. 62 = 60 + 2
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 2 = 8
    3. 240 + 8 = 248
    Ergebnis:
    248
  6. ●30
    Paul rechnet 3 · 21 so: erst 3 · 20, dann 1 dazu. Paul erhält 61. Zeige am Bild, was fehlt.
    2013
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 1 Kästchen, nicht nur 1.
    2. Rechter Teil: 3 · 1 = 3
    3. 60 + 3 = 63
    Ergebnis:
    63

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 53 + 68 + 7
    53687
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    128

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Tom rechnet 298 + 35 als 300 + 35. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    29835
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    333

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 3 Tüten mit je 19 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    125 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 7 = 3 · ___
    6 · 7=3 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Noah verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 368 + 198? Nenne ihn und rechne.
    368 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 566

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna erhält für 69 · 20 das Ergebnis 1280. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1380

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 101
  2. 139
  3. 291
  4. 72
  5. 145
  6. 1342
  7. 238 Bonbons
  8. 57
  9. 216 Hefte
  10. 57
  11. 33
  12. 154 Murmeln
  13. 73
  14. 86
  15. 28
  16. 80
  17. 70
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  19. vertauschen, 129
  20. halbieren und verdoppeln, 70
  21. halbieren und verdoppeln, 70
  22. falsch, richtig ist 247
  23. falsch, richtig ist 735
  24. falsch, richtig ist 535
  25. 158
  26. 1200
  27. 154
  28. 142
  29. 248
  30. 63
  31. 128
  32. 333
  33. 57 Bonbons
  34. 25 Bücher
  35. 14
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. gegensinnig verändern, 566
  38. falsch, richtig ist 1380
  39. 40
  40. 20
  41. 43
  42. 56