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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 2 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 9 = 18
    2. 8 + 18 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●40
    Rechne: (8 + 3) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 3 = 11
    2. 11 · 8 = 88
    Ergebnis:
    88

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 9 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 2 = 18
    2. 8 + 18 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 14 und erhalte 72. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Paul rechnet 13 + 53 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
13537
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 13 + 7 + 53
  2. 13 + 7 = 20
  3. 20 + 53 = 73
  1. Vertauschen: 13 + 7 + 53
  2. 13 + 7 = 20
  3. 20 + 53 = 73
Ergebnis:
73

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 36 + 46 + 14 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    364614
    So fängst du an:
    Vertauschen: 36 + 14 + 46
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 36 + 14 + 46
    2. 36 + 14 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 46 = 96
    Ergebnis:
    96
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 16 + 31 + 84 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    163184
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 84 + 31
    2. 16 + 84 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 31 = 131
    Ergebnis:
    131
  3. ★3
    Rechne geschickt: 34 + 115 + 12 + 66 + 88
    34115126688
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 66 + 12 + 88 + 115
    2. 34 + 66 = 100 und 12 + 88 = 100
    3. 100 + 100 + 115 = 315
    Ergebnis:
    315

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 38
6838
Schritt für Schritt
  1. 68 bekommt 2 dazu, 38 gibt 2 ab.
  2. 68 + 38 = 70 + 36
  3. 70 + 36 = 106
  1. 68 bekommt 2 dazu, 38 gibt 2 ab.
  2. 68 + 38 = 70 + 36
  3. 70 + 36 = 106
Ergebnis:
106

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Elias rechnet 99 + 85 als 100 + 85. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    9985
    So fängst du an:
    Elias hat 99 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 85 = 185.
    3. 1 wieder abziehen: 185 − 1 = 184
    Ergebnis:
    184
  2. ●5
    Noah rechnet 99 + 35 als 100 + 35. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    9935
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 35 = 135.
    3. 1 wieder abziehen: 135 − 1 = 134
    Ergebnis:
    134
  3. ★6
    Lea rechnet 497 + 729 als 500 + 729. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    497729
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 497 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 500 + 729 = 1229.
    3. 3 wieder abziehen: 1229 − 3 = 1226
    Ergebnis:
    1226

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
  3. 90 − 3 = 87
  1. 29 = 30 − 1
  2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
  3. 90 − 3 = 87
Ergebnis:
87

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 43
    So fängst du an:
    43 = 40 + 3
    Lösung zeigen
    1. 43 = 40 + 3
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 3 = 21
    3. 280 + 21 = 301
    Ergebnis:
    301
  2. ●8
    Es gibt 9 Reihen mit je 62 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 62
    2. 62 = 60 + 2
    3. 9 · 60 = 540 und 9 · 2 = 18
    4. 540 + 18 = 558
    Ergebnis:
    558 Stühle
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 82
    Lösung zeigen
    1. 82 = 80 + 2
    2. 3 · 80 = 240 und 3 · 2 = 6
    3. 240 + 6 = 246
    Ergebnis:
    246

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 45 : 3
Schritt für Schritt
  1. 45 = 30 + 15
  2. 30 : 3 = 10 und 15 : 3 = 5
  3. 10 + 5 = 15
  1. 45 = 30 + 15
  2. 30 : 3 = 10 und 15 : 3 = 5
  3. 10 + 5 = 15
Ergebnis:
15

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 255 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 255 : 5?
    255: 5
    So fängst du an:
    255 = 250 + 5
    Lösung zeigen
    1. 255 = 250 + 5
    2. 250 : 5 = 50 und 5 : 5 = 1
    3. 50 + 1 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●11
    Zerlege 176 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 176 : 4?
    176: 4
    Lösung zeigen
    1. 176 = 160 + 16
    2. 160 : 4 = 40 und 16 : 4 = 4
    3. 40 + 4 = 44
    Ergebnis:
    44
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 520 : 5
    Lösung zeigen
    1. 520 = 500 + 20
    2. 500 : 5 = 100 und 20 : 5 = 4
    3. 100 + 4 = 104
    Ergebnis:
    104

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 4 = 7 · ___
14 · 4=7 · ?
Schritt für Schritt
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
Ergebnis:
8

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 91 − 12 = ___ − 22
    So fängst du an:
    12 wird zu 22: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 12 wird zu 22: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 91 um 10 größer.
    3. 91 + 10 = 101
    Ergebnis:
    101
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 4 = 2 · ___
    4 · 4=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
    3. 4 · 2 = 8
    Ergebnis:
    8
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 61 + 62 = 60 + ___
    Lösung zeigen
    1. 61 wird zu 60: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 62 um 1 größer.
    3. 62 + 1 = 63
    Ergebnis:
    63

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Can verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Warum ist 36 · 5 dasselbe wie 18 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 36 · 5 = 18 · 10
    3. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 128 + 299? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 128 + 299 = 127 + 300
  3. 127 + 300 = 427
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 128 + 299 = 127 + 300
  3. 127 + 300 = 427
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 427

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 387 + 299? Nenne ihn und rechne.
    387 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 387 + 299 = 386 + 300
    3. 386 + 300 = 686
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 686
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 52? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 52 = 50 + 2.
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 2 = 16
    3. Zusammen: 416
    Ergebnis:
    zerlegen, 416

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul rechnet 742 − 503 und erhält 339. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 339 + 503 = 842
  2. 842 ist nicht 742: Es ist falsch.
  3. 742 − 503 = 239
  1. Umkehraufgabe: 339 + 503 = 842
  2. 842 ist nicht 742: Es ist falsch.
  3. 742 − 503 = 239
Ergebnis:
falsch, richtig ist 239

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Paul rechnet 402 − 206 und erhält 206. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 206 + 206 = 412
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 206 + 206 = 412
    2. 412 ist nicht 402: Es ist falsch.
    3. 402 − 206 = 196
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 196
  2. ●23
    Mia erhält für 89 · 18 das Ergebnis 2602. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 90 · 20 = 1800
    2. 2602 liegt zu weit weg. Genau: 89 · 18 = 1602
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1602
  3. ★24
    Sofia rechnet 808 : 4 und erhält 203. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    808 : 4Ergebnis 203?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 203 · 4 = 812
    2. 812 ist nicht 808: Es ist falsch.
    3. 808 : 4 = 202
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 202

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 7 + 49 + 13 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    74913
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    1. Vertauschen: 7 + 13 + 49
    2. 7 + 13 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 49 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●26
    Rechne geschickt: 20 · 14 · 5
    20145
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 14
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 14 = 1400
    Ergebnis:
    1400
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 86 = 300 + ___
    29986
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    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 86 um 1 kleiner werden: 86 − 1 = 85
    3. 300 + 85 = 385
    Ergebnis:
    85
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 132 − 97
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 132 − 97 = 135 − 100
    3. 135 − 100 = 35
    Ergebnis:
    35
  5. ●29
    Es gibt 5 Tüten mit je 29 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 29
    2. 29 = 20 + 9
    3. 5 · 20 = 100 und 5 · 9 = 45
    4. 100 + 45 = 145
    Ergebnis:
    145 Bonbons
  6. ●30
    Lina rechnet 7 · 13 so: erst 7 · 10, dann 3 dazu. Lina erhält 73. Zeige am Bild, was fehlt.
    1037
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 3 Kästchen, nicht nur 3.
    2. Rechter Teil: 7 · 3 = 21
    3. 70 + 21 = 91
    Ergebnis:
    91

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 13 + 72 + 17
    137217
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    102

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 45 = 70 + ___
    6945
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    44

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    232

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    424 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 63 − 55 = ___ − 65
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    73

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 68? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 408

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias rechnet 902 − 118 und erhält 794. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 784

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 96
  2. 131
  3. 315
  4. 184
  5. 134
  6. 1226
  7. 301
  8. 558 Stühle
  9. 246
  10. 51
  11. 44
  12. 104
  13. 101
  14. 8
  15. 63
  16. 180
  17. 210
  18. 180
  19. gegensinnig verändern, 686
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. zerlegen, 416
  22. falsch, richtig ist 196
  23. falsch, richtig ist 1602
  24. falsch, richtig ist 202
  25. 69
  26. 1400
  27. 85
  28. 35
  29. 145 Bonbons
  30. 91
  31. 102
  32. 44
  33. 232
  34. 53 Bücher
  35. 73
  36. 180
  37. zerlegen, 408
  38. falsch, richtig ist 784
  39. 26
  40. 88
  41. 26
  42. 58