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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 3 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 3 = 9
    2. 8 + 9 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●40
    Rechne: (2 + 9) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 9 = 11
    2. 11 · 6 = 66
    Ergebnis:
    66

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 5 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 2 = 10
    2. 7 + 10 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 11 und erhalte 65. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 6 + 77 + 34 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
67734
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 6 + 34 + 77
  2. 6 + 34 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 77 = 117
  1. Vertauschen: 6 + 34 + 77
  2. 6 + 34 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 77 = 117
Ergebnis:
117

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lina rechnet 9 + 84 + 21 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    98421
    So fängst du an:
    Vertauschen: 9 + 21 + 84
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 21 + 84
    2. 9 + 21 = 30
    3. 30 + 84 = 114
    Ergebnis:
    114
  2. ●2
    Rechne geschickt: 49 + 32 + 11
    493211
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 49 + 11 + 32
    2. 49 + 11 = 60
    3. 60 + 32 = 92
    Ergebnis:
    92
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 182 + 115 + 118 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    182115118
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 182 + 118 + 115
    2. 182 + 118 = 300
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 115 = 415
    Ergebnis:
    415

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Tom rechnet 98 + 74 als 100 + 74. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
9874
Schritt für Schritt
  1. Tom hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 74 = 174.
  3. 2 wieder abziehen: 174 − 2 = 172
  1. Tom hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 74 = 174.
  3. 2 wieder abziehen: 174 − 2 = 172
Ergebnis:
172

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 29
    9729
    So fängst du an:
    97 bekommt 3 dazu, 29 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 29 gibt 3 ab.
    2. 97 + 29 = 100 + 26
    3. 100 + 26 = 126
    Ergebnis:
    126
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 23
    9823
    Lösung zeigen
    1. 98 bekommt 2 dazu, 23 gibt 2 ab.
    2. 98 + 23 = 100 + 21
    3. 100 + 21 = 121
    Ergebnis:
    121
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1997 + 836 = 2000 + ___
    1997836
    Lösung zeigen
    1. 1997 wird zu 2000: 3 mehr.
    2. Also muss 836 um 3 kleiner werden: 836 − 3 = 833
    3. 2000 + 833 = 2833
    Ergebnis:
    833

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Tüten mit je 36 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 36
  2. 36 = 30 + 6
  3. 5 · 30 = 150 und 5 · 6 = 30
  4. 150 + 30 = 180
  1. 5 · 36
  2. 36 = 30 + 6
  3. 5 · 30 = 150 und 5 · 6 = 30
  4. 150 + 30 = 180
Ergebnis:
180 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 21
    So fängst du an:
    21 = 20 + 1
    Lösung zeigen
    1. 21 = 20 + 1
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
    3. 160 + 8 = 168
    Ergebnis:
    168
  2. ●8
    Es gibt 5 Hefte mit je 39 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 39
    2. 39 = 30 + 9
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 9 = 45
    4. 150 + 45 = 195
    Ergebnis:
    195 Hefte
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 51
    Lösung zeigen
    1. 51 = 50 + 1
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
    3. 400 + 8 = 408
    Ergebnis:
    408

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

304 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 304 : 8
  2. 304 = 240 + 64
  3. 240 : 8 = 30 und 64 : 8 = 8
  4. 30 + 8 = 38
  1. 304 : 8
  2. 304 = 240 + 64
  3. 240 : 8 = 30 und 64 : 8 = 8
  4. 30 + 8 = 38
Ergebnis:
38 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 387 : 9
    So fängst du an:
    387 = 360 + 27
    Lösung zeigen
    1. 387 = 360 + 27
    2. 360 : 9 = 40 und 27 : 9 = 3
    3. 40 + 3 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 384 : 6
    Lösung zeigen
    1. 384 = 360 + 24
    2. 360 : 6 = 60 und 24 : 6 = 4
    3. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 1218 : 7
    Lösung zeigen
    1. 1218 = 1190 + 28
    2. 1190 : 7 = 170 und 28 : 7 = 4
    3. 170 + 4 = 174
    Ergebnis:
    174

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 14 · 14 = 7 · ___
14 · 14=7 · ?
Schritt für Schritt
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
Ergebnis:
28

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 75 − 24 = ___ − 25
    So fängst du an:
    24 wird zu 25: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 24 wird zu 25: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 75 um 1 größer.
    3. 75 + 1 = 76
    Ergebnis:
    76
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 62 + 76 = 52 + ___
    62 + 76=52 + ?
    Lösung zeigen
    1. 62 wird zu 52: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 76 um 10 größer.
    3. 76 + 10 = 86
    Ergebnis:
    86
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 13 = 4 · ___
    8 · 13=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Emma verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 75
    Lösung zeigen
    1. 12 · 75 = 6 · 150
    2. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 70

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 290 + 299? Nenne ihn und rechne.
    290 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 290 + 299 = 289 + 300
    3. 289 + 300 = 589
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 589
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina rechnet 108 : 3 und erhält 46. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
108 : 3Ergebnis 46?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 46 · 3 = 138
  2. 138 ist nicht 108: Es ist falsch.
  3. 108 : 3 = 36
  1. Umkehraufgabe: 46 · 3 = 138
  2. 138 ist nicht 108: Es ist falsch.
  3. 108 : 3 = 36
Ergebnis:
falsch, richtig ist 36

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lea rechnet 504 : 8 und erhält 73. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    504 : 8Ergebnis 73?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 73 · 8 = 584
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 73 · 8 = 584
    2. 584 ist nicht 504: Es ist falsch.
    3. 504 : 8 = 63
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 63
  2. ●23
    Tom erhält für 65 · 38 das Ergebnis 3470. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 40 = 2800
    2. 3470 liegt zu weit weg. Genau: 65 · 38 = 2470
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2470
  3. ★24
    Emma rechnet 8712 − 5556 und erhält 3146. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 3146 + 5556 = 8702
    2. 8702 ist nicht 8712: Es ist falsch.
    3. 8712 − 5556 = 3156
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3156

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 33 + 34 + 17
    333417
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 17 + 34
    2. 33 + 17 = 50
    3. 50 + 34 = 84
    Ergebnis:
    84
  2. ●26
    Rechne geschickt: 25 · 9 · 4
    2594
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 9
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 9 = 900
    Ergebnis:
    900
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 73 = 40 + ___
    3973
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Also muss 73 um 1 kleiner werden: 73 − 1 = 72
    3. 40 + 72 = 112
    Ergebnis:
    72
  4. ●28
    Noah rechnet 59 − 39 als 59 − 40 und erhält 19. Ist das schon das Ergebnis?
    59 − 3959 − 40
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 19 + 1 = 20
    Ergebnis:
    Nein, 20
  5. ●29
    Es gibt 5 Hefte mit je 35 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 35
    2. 35 = 30 + 5
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 5 = 25
    4. 150 + 25 = 175
    Ergebnis:
    175 Hefte
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 26 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2064
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 20 = 80
    2. Rechter Teil: 4 · 6 = 24
    3. Zusammen: 80 + 24 = 104
    Ergebnis:
    104 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Mia rechnet 47 + 34 + 53 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    473453
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    134

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 39 = 200 + ___
    19839
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 6 Hefte mit je 45 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    270 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    68 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 83 + 31 = 82 + ___
    83 + 31=82 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 28 + 57 + 72? Nenne ihn und rechne.
    28 + 57 + 72zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 157

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 156 : 6 und erhält 27. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    156 : 6Ergebnis 27?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 26

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 114
  2. 92
  3. 415
  4. 126
  5. 121
  6. 833
  7. 168
  8. 195 Hefte
  9. 408
  10. 43
  11. 64
  12. 174
  13. 76
  14. 86
  15. 26
  16. 90
  17. 400
  18. 900
  19. halbieren und verdoppeln, 80
  20. gegensinnig verändern, 589
  21. halbieren und verdoppeln, 80
  22. falsch, richtig ist 63
  23. falsch, richtig ist 2470
  24. falsch, richtig ist 3156
  25. 84
  26. 900
  27. 72
  28. Nein, 20
  29. 175 Hefte
  30. 104 Kästchen
  31. 134
  32. 37
  33. 270 Hefte
  34. 17 Sticker
  35. 32
  36. 200
  37. vertauschen, 157
  38. falsch, richtig ist 26
  39. 17
  40. 66
  41. 17
  42. 54