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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 6 + 4 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 3 = 12
    2. 6 + 12 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●40
    Rechne: (5 + 9) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 9 = 14
    2. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 8 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 7 = 56
    2. 9 + 56 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 7 und erhalte 37. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 25 + 29 + 15
252915
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 25 + 15 + 29
  2. 25 + 15 = 40
  3. 40 + 29 = 69
  1. Vertauschen: 25 + 15 + 29
  2. 25 + 15 = 40
  3. 40 + 29 = 69
Ergebnis:
69

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Mia rechnet 36 + 25 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    362514
    So fängst du an:
    Vertauschen: 36 + 14 + 25
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 36 + 14 + 25
    2. 36 + 14 = 50
    3. 50 + 25 = 75
    Ergebnis:
    75
  2. ●2
    Rechne geschickt: 46 + 21 + 14
    462114
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 46 + 14 + 21
    2. 46 + 14 = 60
    3. 60 + 21 = 81
    Ergebnis:
    81
  3. ★3
    Elias rechnet 216 + 377 + 784 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    216377784
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 216 + 784 + 377
    2. 216 + 784 = 1000
    3. 1000 + 377 = 1377
    Ergebnis:
    1377

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 78 = 50 + ___
4778
Schritt für Schritt
  1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
  2. Also muss 78 um 3 kleiner werden: 78 − 3 = 75
  3. 50 + 75 = 125
  1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
  2. Also muss 78 um 3 kleiner werden: 78 − 3 = 75
  3. 50 + 75 = 125
Ergebnis:
75

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 64 = 100 + ___
    9764
    So fängst du an:
    97 wird zu 100: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 64 um 3 kleiner werden: 64 − 3 = 61
    3. 100 + 61 = 161
    Ergebnis:
    61
  2. ●5
    Lea rechnet 39 + 95 als 40 + 95. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    3995
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 39 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 95 = 135.
    3. 1 wieder abziehen: 135 − 1 = 134
    Ergebnis:
    134
  3. ★6
    Aylin rechnet 998 + 544 als 1000 + 544. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    998544
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 998 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 1000 + 544 = 1544.
    3. 2 wieder abziehen: 1544 − 2 = 1542
    Ergebnis:
    1542

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 66
Schritt für Schritt
  1. 66 = 60 + 6
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 6 = 36
  3. 360 + 36 = 396
  1. 66 = 60 + 6
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 6 = 36
  3. 360 + 36 = 396
Ergebnis:
396

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 23
    So fängst du an:
    23 = 20 + 3
    Lösung zeigen
    1. 23 = 20 + 3
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 3 = 18
    3. 120 + 18 = 138
    Ergebnis:
    138
  2. ●8
    Es gibt 4 Tüten mit je 43 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 43
    2. 43 = 40 + 3
    3. 4 · 40 = 160 und 4 · 3 = 12
    4. 160 + 12 = 172
    Ergebnis:
    172 Bonbons
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
    3. 150 − 5 = 145
    Ergebnis:
    145

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 364 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 364 : 7?
364: 7
Schritt für Schritt
  1. 364 = 350 + 14
  2. 350 : 7 = 50 und 14 : 7 = 2
  3. 50 + 2 = 52
  1. 364 = 350 + 14
  2. 350 : 7 = 50 und 14 : 7 = 2
  3. 50 + 2 = 52
Ergebnis:
52

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 168 : 7
    So fängst du an:
    168 = 140 + 28
    Lösung zeigen
    1. 168 = 140 + 28
    2. 140 : 7 = 20 und 28 : 7 = 4
    3. 20 + 4 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●11
    174 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 174 : 6
    2. 174 = 120 + 54
    3. 120 : 6 = 20 und 54 : 6 = 9
    4. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29 Sticker
  3. ★12
    984 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 984 : 8
    2. 984 = 960 + 24
    3. 960 : 8 = 120 und 24 : 8 = 3
    4. 120 + 3 = 123
    Ergebnis:
    123 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 9 = 6 · ___
12 · 9=6 · ?
Schritt für Schritt
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
Ergebnis:
18

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 87 − 39 = ___ − 44
    So fängst du an:
    39 wird zu 44: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 44: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 87 um 5 größer.
    3. 87 + 5 = 92
    Ergebnis:
    92
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 84 + 22 = 74 + ___
    84 + 22=74 + ?
    Lösung zeigen
    1. 84 wird zu 74: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 22 um 10 größer.
    3. 22 + 10 = 32
    Ergebnis:
    32
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 57 − 42 = ___ − 52
    Lösung zeigen
    1. 42 wird zu 52: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 57 um 10 größer.
    3. 57 + 10 = 67
    Ergebnis:
    67

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Tom verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    So fängst du an:
    14 · 5 = 7 · 10
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Paul verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 400

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 26? Nenne ihn und rechne.
    4 · 26zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 26 = 20 + 6.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 26 = 20 + 6.
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 6 = 24
    3. Zusammen: 104
    Ergebnis:
    zerlegen, 104
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 41 + 61 + 59? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 41 + 59 = 100
    3. 100 + 61 = 161
    Ergebnis:
    vertauschen, 161
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 37 + 37 + 63? Nenne ihn und rechne.
    37 + 37 + 63zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 37 + 63 = 100
    3. 100 + 37 = 137
    Ergebnis:
    vertauschen, 137

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 438 − 162 und erhält 296. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 296 + 162 = 458
  2. 458 ist nicht 438: Es ist falsch.
  3. 438 − 162 = 276
  1. Umkehraufgabe: 296 + 162 = 458
  2. 458 ist nicht 438: Es ist falsch.
  3. 438 − 162 = 276
Ergebnis:
falsch, richtig ist 276

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Aylin rechnet 442 − 182 und erhält 360. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 360 + 182 = 542
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 360 + 182 = 542
    2. 542 ist nicht 442: Es ist falsch.
    3. 442 − 182 = 260
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 260
  2. ●23
    Mia erhält für 50 · 49 das Ergebnis 2350. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 50 = 2500
    2. 2350 liegt zu weit weg. Genau: 50 · 49 = 2450
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2450
  3. ★24
    Paul erhält für 315 · 32 das Ergebnis 10.180. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 30 = 9000
    2. 10.180 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 315 · 32 = 10.080
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 10.080

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Elias rechnet 13 + 35 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    13357
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 7 + 35
    2. 13 + 7 = 20
    3. 20 + 35 = 55
    Ergebnis:
    55
  2. ●26
    Rechne geschickt: 17 · 5 · 20
    17520
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 17
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 17 = 1700
    Ergebnis:
    1700
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 64 = 200 + ___
    19864
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 64 um 2 kleiner werden: 64 − 2 = 62
    3. 200 + 62 = 262
    Ergebnis:
    62
  4. ●28
    Ben rechnet 167 − 47 als 167 − 50 und erhält 117. Ist das schon das Ergebnis?
    167 − 47167 − 50
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 117 + 3 = 120
    Ergebnis:
    Nein, 120
  5. ●29
    Es gibt 8 Tüten mit je 27 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 27
    2. 27 = 20 + 7
    3. 8 · 20 = 160 und 8 · 7 = 56
    4. 160 + 56 = 216
    Ergebnis:
    216 Bonbons
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 12?
    1027
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 10 = 70
    2. Rechts: 7 · 2 = 14
    3. 7 · 12 = 70 + 14 = 84
    Ergebnis:
    7 · 10 und 7 · 2, zusammen 84

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Lea rechnet 97 + 28 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    97283
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    128

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 54 = 70 + ___
    6754
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    413

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    378 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 3 = 6 · ___
    12 · 3=6 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 314 + 198? Nenne ihn und rechne.
    314 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 512

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina rechnet 333 − 237 und erhält 106. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 96

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 75
  2. 81
  3. 1377
  4. 61
  5. 134
  6. 1542
  7. 138
  8. 172 Bonbons
  9. 145
  10. 24
  11. 29 Sticker
  12. 123 Sticker
  13. 92
  14. 32
  15. 67
  16. 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. 3000
  19. zerlegen, 104
  20. vertauschen, 161
  21. vertauschen, 137
  22. falsch, richtig ist 260
  23. falsch, richtig ist 2450
  24. falsch, richtig ist 10.080
  25. 55
  26. 1700
  27. 62
  28. Nein, 120
  29. 216 Bonbons
  30. 7 · 10 und 7 · 2, zusammen 84
  31. 128
  32. 51
  33. 413
  34. 54 Murmeln
  35. 6
  36. 80
  37. gegensinnig verändern, 512
  38. falsch, richtig ist 96
  39. 18
  40. 28
  41. 65
  42. 30