Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 45 − 4 · 3
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 4 · 3 = 12
2. 45 − 12 = 33
Ergebnis:
33
●40
Rechne: (6 + 2) · 6
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 6 + 2 = 8
2. 8 · 6 = 48
Ergebnis:
48

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 3 + 8 · 9
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 8 · 9 = 72
2. 3 + 72 = 75
Ergebnis:
75
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 16 und erhalte 55. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
39

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Milan rechnet 16 + 68 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.

Schritt für Schritt

Vertauschen: 16 + 4 + 68
16 + 4 = 20
20 + 68 = 88

Vertauschen: 16 + 4 + 68
16 + 4 = 20
20 + 68 = 88

Ergebnis:

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Rechne geschickt: 15 + 31 + 15
So fängst du an:
Vertauschen: 15 + 15 + 31
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 15 + 15 + 31
2. 15 + 15 = 30
3. 30 + 31 = 61
Ergebnis:
61
●2
Welche Zahlen fasst du bei 12 + 21 + 28 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 12 + 28 + 21
2. 12 + 28 = 40
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 21 = 61
Ergebnis:
61
★3
Rechne geschickt: 162 + 606 + 838
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 162 + 838 + 606
2. 162 + 838 = 1000
3. 1000 + 606 = 1606
Ergebnis:
1606

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Paul rechnet 48 + 65 als 50 + 65. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?

Schritt für Schritt

Paul hat 48 um 2 vergrößert.
Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 65 = 115.
2 wieder abziehen: 115 − 2 = 113

Paul hat 48 um 2 vergrößert.
Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 65 = 115.
2 wieder abziehen: 115 − 2 = 113

Ergebnis:

113

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Milan rechnet 49 + 32 als 50 + 32. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
So fängst du an:
Milan hat 49 um 1 vergrößert.
Lösung zeigen
1. Milan hat 49 um 1 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 32 = 82.
3. 1 wieder abziehen: 82 − 1 = 81
Ergebnis:
81
●5
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 64 = 200 + ___
Lösung zeigen
1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
2. Also muss 64 um 3 kleiner werden: 64 − 3 = 61
3. 200 + 61 = 261
Ergebnis:
61
★6
Tom rechnet 998 + 934 als 1000 + 934. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
1. Tom hat 998 um 2 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 1000 + 934 = 1934.
3. 2 wieder abziehen: 1934 − 2 = 1932
Ergebnis:
1932

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 65

Schritt für Schritt

65 = 60 + 5
3 · 60 = 180 und 3 · 5 = 15
180 + 15 = 195

65 = 60 + 5
3 · 60 = 180 und 3 · 5 = 15
180 + 15 = 195

Ergebnis:

195

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 23
So fängst du an:
23 = 20 + 3
Lösung zeigen
1. 23 = 20 + 3
2. 9 · 20 = 180 und 9 · 3 = 27
3. 180 + 27 = 207
Ergebnis:
207
●8
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
Lösung zeigen
1. 49 = 50 − 1
2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
3. 200 − 4 = 196
Ergebnis:
196
★9
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 98
Lösung zeigen
1. 98 = 100 − 2
2. 7 · 100 = 700 und 7 · 2 = 14
3. 700 − 14 = 686
Ergebnis:
686

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

102 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.

Schritt für Schritt

102 : 6
102 = 60 + 42
60 : 6 = 10 und 42 : 6 = 7
10 + 7 = 17

102 : 6
102 = 60 + 42
60 : 6 = 10 und 42 : 6 = 7
10 + 7 = 17

Ergebnis:

17 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
128 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
So fängst du an:
128 : 4
Lösung zeigen
1. 128 : 4
2. 128 = 120 + 8
3. 120 : 4 = 30 und 8 : 4 = 2
4. 30 + 2 = 32
Ergebnis:
32 Murmeln
●11
Zerlege 126 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 126 : 6?
Lösung zeigen
1. 126 = 120 + 6
2. 120 : 6 = 20 und 6 : 6 = 1
3. 20 + 1 = 21
Ergebnis:
21
★12
387 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 387 : 9
2. 387 = 360 + 27
3. 360 : 9 = 40 und 27 : 9 = 3
4. 40 + 3 = 43
Ergebnis:
43 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 72 − 37 = ___ − 38

Schritt für Schritt

37 wird zu 38: 1 mehr.
Damit der Abstand bleibt, wird auch 72 um 1 größer.
72 + 1 = 73

37 wird zu 38: 1 mehr.
Damit der Abstand bleibt, wird auch 72 um 1 größer.
72 + 1 = 73

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 81 − 16 = ___ − 18
So fängst du an:
16 wird zu 18: 2 mehr.
Lösung zeigen
1. 16 wird zu 18: 2 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 81 um 2 größer.
3. 81 + 2 = 83
Ergebnis:
83
●14
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 54 − 30 = ___ − 31
Lösung zeigen
1. 30 wird zu 31: 1 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 1 größer.
3. 54 + 1 = 55
Ergebnis:
55
★15
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 67 + 6 · 4 = 6 · ___
Lösung zeigen
1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
2. 6 mal 67 und 6 mal 4 sind zusammen 6 mal (67 + 4).
3. 67 + 4 = 71
Ergebnis:
71

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.

Schritt für Schritt

Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
18 · 5 = 9 · 10
9 · 10 = 90

Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
18 · 5 = 9 · 10
9 · 10 = 90

Ergebnis:

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
So fängst du an:
14 · 15 = 7 · 30
Lösung zeigen
1. 14 · 15 = 7 · 30
2. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210
●17
Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Lösung zeigen
1. 16 · 5 = 8 · 10
2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80
★18
Warum ist 24 · 125 dasselbe wie 12 · 250? Rechne dann geschickt.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 24 · 125 = 12 · 250
3. 12 · 250 = 3000
Ergebnis:
3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 152 + 198? Nenne ihn und rechne.

Schritt für Schritt

198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
152 + 198 = 150 + 200
150 + 200 = 350

198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
152 + 198 = 150 + 200
150 + 200 = 350

Ergebnis:

gegensinnig verändern, 350

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 26? Nenne ihn und rechne.
So fängst du an:
Den zweiten Faktor zerlegen: 26 = 20 + 6.
Lösung zeigen
1. Den zweiten Faktor zerlegen: 26 = 20 + 6.
2. 5 · 20 = 100 und 5 · 6 = 30
3. Zusammen: 130
Ergebnis:
zerlegen, 130
●20
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 63? Nenne ihn und rechne.
Lösung zeigen
1. Den zweiten Faktor zerlegen: 63 = 60 + 3.
2. 6 · 60 = 360 und 6 · 3 = 18
3. Zusammen: 378
Ergebnis:
zerlegen, 378
★21
Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 73? Nenne ihn und rechne.
Lösung zeigen
1. Den zweiten Faktor zerlegen: 73 = 70 + 3.
2. 8 · 70 = 560 und 8 · 3 = 24
3. Zusammen: 584
Ergebnis:
zerlegen, 584

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma rechnet 811 − 706 und erhält 115. Prüfe mit der Umkehraufgabe.

Schritt für Schritt

Umkehraufgabe: 115 + 706 = 821
821 ist nicht 811: Es ist falsch.
811 − 706 = 105

Umkehraufgabe: 115 + 706 = 821
821 ist nicht 811: Es ist falsch.
811 − 706 = 105

Ergebnis:

falsch, richtig ist 105

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas rechnet 196 : 4 und erhält 50. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
So fängst du an:
Umkehraufgabe: 50 · 4 = 200
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 50 · 4 = 200
2. 200 ist nicht 196: Es ist falsch.
3. 196 : 4 = 49
Ergebnis:
falsch, richtig ist 49
●23
Tom rechnet 326 − 188 und erhält 238. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 238 + 188 = 426
2. 426 ist nicht 326: Es ist falsch.
3. 326 − 188 = 138
Ergebnis:
falsch, richtig ist 138
★24
Lina erhält für 200 · 34 das Ergebnis 6800. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 200 · 30 = 6000
2. 6800 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 200 · 34 = 6800
3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 6800

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Tom rechnet 88 + 24 + 12 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 88 + 12 + 24
2. 88 + 12 = 100
3. 100 + 24 = 124
Ergebnis:
124
●26
In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Packungen. In jeder Packung sind 14 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
Lösung zeigen
1. Bälle: 5 · 2 · 14
2. 5 · 2 = 10
3. 10 · 14 = 140
Ergebnis:
140 Bälle
●27
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 57
Lösung zeigen
1. 99 bekommt 1 dazu, 57 gibt 1 ab.
2. 99 + 57 = 100 + 56
3. 100 + 56 = 156
Ergebnis:
156
●28
Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 151 − 47
Lösung zeigen
1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
2. 151 − 47 = 154 − 50
3. 154 − 50 = 104
Ergebnis:
104
●29
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 39
Lösung zeigen
1. 39 = 40 − 1
2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
3. 200 − 5 = 195
Ergebnis:
195
●30
Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 26?
Lösung zeigen
1. Links: 6 · 20 = 120
2. Rechts: 6 · 6 = 36
3. 6 · 26 = 120 + 36 = 156
Ergebnis:
6 · 20 und 6 · 6, zusammen 156

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Noah rechnet 9 + 14 + 41 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
Ergebnis:
64
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 94
Lösung zeigen
Ergebnis:
132
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 29
Lösung zeigen
Ergebnis:
232
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
Rechne halbschriftlich: 72 : 3
Lösung zeigen
Ergebnis:
24
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 5 = 4 · ___
Lösung zeigen
Ergebnis:
10
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
Lösung zeigen
Ergebnis:
90
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Welcher Weg passt zu 5 · 53? Nenne ihn und rechne.
Lösung zeigen
Ergebnis:
zerlegen, 265
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Aylin rechnet 433 − 209 und erhält 224. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
stimmt, 224

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

61
61
1606
81
61
1932
207
196
686
32 Murmeln
21
43 Bücher
83
55
71
210
80
3000
zerlegen, 130
zerlegen, 378
zerlegen, 584
falsch, richtig ist 49
falsch, richtig ist 138
stimmt, 6800
124
140 Bälle
156
104
195
6 · 20 und 6 · 6, zusammen 156
64
132
232
24
10
90
zerlegen, 265
stimmt, 224
33
48
75
39