Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 5 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
    2. 5 + 25 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●40
    Rechne: (8 + 7) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 7 = 15
    2. 15 · 9 = 135
    Ergebnis:
    135

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 7 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 2 = 14
    2. 3 + 14 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 32 und erhalte 66. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 4 + 84 + 26
48426
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 4 + 26 + 84
  2. 4 + 26 = 30
  3. 30 + 84 = 114
  1. Vertauschen: 4 + 26 + 84
  2. 4 + 26 = 30
  3. 30 + 84 = 114
Ergebnis:
114

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 43 + 88 + 17 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    438817
    So fängst du an:
    Vertauschen: 43 + 17 + 88
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 43 + 17 + 88
    2. 43 + 17 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 88 = 148
    Ergebnis:
    148
  2. ●2
    Rechne geschickt: 26 + 86 + 34
    268634
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 34 + 86
    2. 26 + 34 = 60
    3. 60 + 86 = 146
    Ergebnis:
    146
  3. ★3
    Aylin rechnet 89 + 756 + 11 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    8975611
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 89 + 11 + 756
    2. 89 + 11 = 100
    3. 100 + 756 = 856
    Ergebnis:
    856

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Milan rechnet 198 + 73 als 200 + 73. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
19873
Schritt für Schritt
  1. Milan hat 198 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 73 = 273.
  3. 2 wieder abziehen: 273 − 2 = 271
  1. Milan hat 198 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 73 = 273.
  3. 2 wieder abziehen: 273 − 2 = 271
Ergebnis:
271

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Elias rechnet 68 + 48 als 70 + 48. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    6848
    So fängst du an:
    Elias hat 68 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 68 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 48 = 118.
    3. 2 wieder abziehen: 118 − 2 = 116
    Ergebnis:
    116
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 24
    9724
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 24 gibt 3 ab.
    2. 97 + 24 = 100 + 21
    3. 100 + 21 = 121
    Ergebnis:
    121
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 699 + 763 = 700 + ___
    699763
    Lösung zeigen
    1. 699 wird zu 700: 1 mehr.
    2. Also muss 763 um 1 kleiner werden: 763 − 1 = 762
    3. 700 + 762 = 1462
    Ergebnis:
    762

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Tüten mit je 17 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 17
  2. 17 = 10 + 7
  3. 5 · 10 = 50 und 5 · 7 = 35
  4. 50 + 35 = 85
  1. 5 · 17
  2. 17 = 10 + 7
  3. 5 · 10 = 50 und 5 · 7 = 35
  4. 50 + 35 = 85
Ergebnis:
85 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Hefte mit je 39 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 39
    Lösung zeigen
    1. 6 · 39
    2. 39 = 30 + 9
    3. 6 · 30 = 180 und 6 · 9 = 54
    4. 180 + 54 = 234
    Ergebnis:
    234 Hefte
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 67
    Lösung zeigen
    1. 67 = 60 + 7
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 7 = 21
    3. 180 + 21 = 201
    Ergebnis:
    201
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
    3. 300 − 5 = 295
    Ergebnis:
    295

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 68 : 4
Schritt für Schritt
  1. 68 = 40 + 28
  2. 40 : 4 = 10 und 28 : 4 = 7
  3. 10 + 7 = 17
  1. 68 = 40 + 28
  2. 40 : 4 = 10 und 28 : 4 = 7
  3. 10 + 7 = 17
Ergebnis:
17

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    164 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    164 : 4
    Lösung zeigen
    1. 164 : 4
    2. 164 = 160 + 4
    3. 160 : 4 = 40 und 4 : 4 = 1
    4. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41 Murmeln
  2. ●11
    402 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 402 : 6
    2. 402 = 360 + 42
    3. 360 : 6 = 60 und 42 : 6 = 7
    4. 60 + 7 = 67
    Ergebnis:
    67 Bücher
  3. ★12
    Zerlege 1629 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 1629 : 9?
    1629: 9
    Lösung zeigen
    1. 1629 = 1620 + 9
    2. 1620 : 9 = 180 und 9 : 9 = 1
    3. 180 + 1 = 181
    Ergebnis:
    181

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 99 − 15 = ___ − 20
Schritt für Schritt
  1. 15 wird zu 20: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 99 um 5 größer.
  3. 99 + 5 = 104
  1. 15 wird zu 20: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 99 um 5 größer.
  3. 99 + 5 = 104
Ergebnis:
104

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 42 − 19 = ___ − 20
    So fängst du an:
    19 wird zu 20: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 19 wird zu 20: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 42 um 1 größer.
    3. 42 + 1 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 69 + 29 = 72 + ___
    69 + 29=72 + ?
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 72: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 29 um 3 kleiner.
    3. 29 − 3 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 66 + 68 = 68 + ___
    66 + 68=68 + ?
    Lösung zeigen
    1. 66 wird zu 68: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 68 um 2 kleiner.
    3. 68 − 2 = 66
    Ergebnis:
    66

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Noah verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Sofia verdoppelt bei 18 · 45 beide Faktoren und rechnet 36 · 90. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 90 = 3240, aber 18 · 45 = 810
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 337 + 598? Nenne ihn und rechne.
337 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 337 + 598 = 335 + 600
  3. 335 + 600 = 935
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 337 + 598 = 335 + 600
  3. 335 + 600 = 935
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 935

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 44? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 44 = 40 + 4.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 44 = 40 + 4.
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 4 = 20
    3. Zusammen: 220
    Ergebnis:
    zerlegen, 220
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 376 : 8 und erhält 47. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
376 : 8Ergebnis 47?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 47 · 8 = 376
  2. 376 ist genau 376: Es stimmt.
  3. 376 : 8 = 47
  1. Umkehraufgabe: 47 · 8 = 376
  2. 376 ist genau 376: Es stimmt.
  3. 376 : 8 = 47
Ergebnis:
stimmt, 47

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 297 : 3 und erhält 101. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    297 : 3Ergebnis 101?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 101 · 3 = 303
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 101 · 3 = 303
    2. 303 ist nicht 297: Es ist falsch.
    3. 297 : 3 = 99
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 99
  2. ●23
    Hanna erhält für 75 · 40 das Ergebnis 4000. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
    2. 4000 liegt zu weit weg. Genau: 75 · 40 = 3000
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3000
  3. ★24
    Can rechnet 4163 − 2180 und erhält 1993. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 1993 + 2180 = 4173
    2. 4173 ist nicht 4163: Es ist falsch.
    3. 4163 − 2180 = 1983
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1983

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Mia rechnet 35 + 42 + 65 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    354265
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 65 + 42
    2. 35 + 65 = 100
    3. 100 + 42 = 142
    Ergebnis:
    142
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Packungen. In jeder Packung sind 6 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Packungen6 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 6
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 6 = 60
    Ergebnis:
    60 Bälle
  3. ●27
    Tom rechnet 98 + 78 als 100 + 78. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    9878
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 78 = 178.
    3. 2 wieder abziehen: 178 − 2 = 176
    Ergebnis:
    176
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 139 − 38 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 139 um 2 größer: 141.
    3. 141 − 40 = 101
    Ergebnis:
    141
  5. ●29
    Es gibt 4 Reihen mit je 67 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 67
    2. 67 = 60 + 7
    3. 4 · 60 = 240 und 4 · 7 = 28
    4. 240 + 28 = 268
    Ergebnis:
    268 Stühle
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 18?
    1083
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 10 = 30
    2. Rechts: 3 · 8 = 24
    3. 3 · 18 = 30 + 24 = 54
    Ergebnis:
    3 · 10 und 3 · 8, zusammen 54

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 35 + 81 + 65 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    358165
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    181

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Can rechnet 97 + 77 als 100 + 77. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    9777
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    174

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    392

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    215 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 20 + 79 = 10 + ___
    20 + 79=10 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    89

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 49? Nenne ihn und rechne.
    5 · 49zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 245

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben erhält für 31 · 48 das Ergebnis 1388. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1488

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 148
  2. 146
  3. 856
  4. 116
  5. 121
  6. 762
  7. 234 Hefte
  8. 201
  9. 295
  10. 41 Murmeln
  11. 67 Bücher
  12. 181
  13. 43
  14. 26
  15. 66
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  17. 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 810
  19. zerlegen, 220
  20. halbieren und verdoppeln, 400
  21. halbieren und verdoppeln, 200
  22. falsch, richtig ist 99
  23. falsch, richtig ist 3000
  24. falsch, richtig ist 1983
  25. 142
  26. 60 Bälle
  27. 176
  28. 141
  29. 268 Stühle
  30. 3 · 10 und 3 · 8, zusammen 54
  31. 181
  32. 174
  33. 392
  34. 43 Bücher
  35. 89
  36. 90
  37. zerlegen, 245
  38. falsch, richtig ist 1488
  39. 30
  40. 135
  41. 17
  42. 34