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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 9 + 24 = 33
    Ergebnis:
    33
  2. ●40
    Rechne: (9 + 5) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 5 = 14
    2. 14 · 9 = 126
    Ergebnis:
    126

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 10 + 16 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 16 und erhalte 28. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Jonas rechnet 18 + 18 + 12 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
181812
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 18 + 12 + 18
  2. 18 + 12 = 30
  3. 30 + 18 = 48
  1. Vertauschen: 18 + 12 + 18
  2. 18 + 12 = 30
  3. 30 + 18 = 48
Ergebnis:
48

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Jonas rechnet 51 + 87 + 9 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    51879
    So fängst du an:
    Vertauschen: 51 + 9 + 87
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 51 + 9 + 87
    2. 51 + 9 = 60
    3. 60 + 87 = 147
    Ergebnis:
    147
  2. ●2
    Lina rechnet 6 + 41 + 44 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    64144
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 44 + 41
    2. 6 + 44 = 50
    3. 50 + 41 = 91
    Ergebnis:
    91
  3. ★3
    Ben rechnet 275 + 547 + 44 + 25 + 56 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    275547442556
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 275 + 25 + 44 + 56 + 547
    2. 275 + 25 = 300 und 44 + 56 = 100
    3. 300 + 100 + 547 = 947
    Ergebnis:
    947

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 26 = 50 + ___
4726
Schritt für Schritt
  1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
  2. Also muss 26 um 3 kleiner werden: 26 − 3 = 23
  3. 50 + 23 = 73
  1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
  2. Also muss 26 um 3 kleiner werden: 26 − 3 = 23
  3. 50 + 23 = 73
Ergebnis:
23

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 44 = 40 + ___
    3744
    So fängst du an:
    37 wird zu 40: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
    2. Also muss 44 um 3 kleiner werden: 44 − 3 = 41
    3. 40 + 41 = 81
    Ergebnis:
    41
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 34 = 100 + ___
    9834
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 34 um 2 kleiner werden: 34 − 2 = 32
    3. 100 + 32 = 132
    Ergebnis:
    32
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 499 + 986
    499986
    Lösung zeigen
    1. 499 bekommt 1 dazu, 986 gibt 1 ab.
    2. 499 + 986 = 500 + 985
    3. 500 + 985 = 1485
    Ergebnis:
    1485

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 48
Schritt für Schritt
  1. 48 = 40 + 8
  2. 9 · 40 = 360 und 9 · 8 = 72
  3. 360 + 72 = 432
  1. 48 = 40 + 8
  2. 9 · 40 = 360 und 9 · 8 = 72
  3. 360 + 72 = 432
Ergebnis:
432

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
    3. 200 − 5 = 195
    Ergebnis:
    195
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 15
    Lösung zeigen
    1. 15 = 10 + 5
    2. 9 · 10 = 90 und 9 · 5 = 45
    3. 90 + 45 = 135
    Ergebnis:
    135
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 87
    Lösung zeigen
    1. 87 = 80 + 7
    2. 5 · 80 = 400 und 5 · 7 = 35
    3. 400 + 35 = 435
    Ergebnis:
    435

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 140 : 5
Schritt für Schritt
  1. 140 = 100 + 40
  2. 100 : 5 = 20 und 40 : 5 = 8
  3. 20 + 8 = 28
  1. 140 = 100 + 40
  2. 100 : 5 = 20 und 40 : 5 = 8
  3. 20 + 8 = 28
Ergebnis:
28

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 256 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 256 : 8?
    256: 8
    So fängst du an:
    256 = 240 + 16
    Lösung zeigen
    1. 256 = 240 + 16
    2. 240 : 8 = 30 und 16 : 8 = 2
    3. 30 + 2 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●11
    528 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 528 : 8
    2. 528 = 480 + 48
    3. 480 : 8 = 60 und 48 : 8 = 6
    4. 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    66 Murmeln
  3. ★12
    Zerlege 260 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 260 : 5?
    260: 5
    Lösung zeigen
    1. 260 = 250 + 10
    2. 250 : 5 = 50 und 10 : 5 = 2
    3. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 4 = 8 · ___
16 · 4=8 · ?
Schritt für Schritt
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
Ergebnis:
8

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 18 · 5 = 9 · ___
    18 · 5=9 · ?
    So fängst du an:
    18 wird halb so groß: 9.
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 78 + 54 = 80 + ___
    Lösung zeigen
    1. 78 wird zu 80: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 54 um 2 kleiner.
    3. 54 − 2 = 52
    Ergebnis:
    52
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 59 − 45 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    1. 45 wird zu 50: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 5 größer.
    3. 59 + 5 = 64
    Ergebnis:
    64

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Lea verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 36 · 5
    Lösung zeigen
    1. 36 · 5 = 18 · 10
    2. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 400

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 6 · 59? Nenne ihn und rechne.
    6 · 59zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 59 = 50 + 9.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 59 = 50 + 9.
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 9 = 54
    3. Zusammen: 354
    Ergebnis:
    zerlegen, 354
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 23 + 34 + 77? Nenne ihn und rechne.
    23 + 34 + 77zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 23 + 77 = 100
    3. 100 + 34 = 134
    Ergebnis:
    vertauschen, 134

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul rechnet 664 : 8 und erhält 83. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
664 : 8Ergebnis 83?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 83 · 8 = 664
  2. 664 ist genau 664: Es stimmt.
  3. 664 : 8 = 83
  1. Umkehraufgabe: 83 · 8 = 664
  2. 664 ist genau 664: Es stimmt.
  3. 664 : 8 = 83
Ergebnis:
stimmt, 83

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 407 − 266 und erhält 241. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 241 + 266 = 507
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 241 + 266 = 507
    2. 507 ist nicht 407: Es ist falsch.
    3. 407 − 266 = 141
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 141
  2. ●23
    Ben rechnet 963 − 889 und erhält 74. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 74 + 889 = 963
    2. 963 ist genau 963: Es stimmt.
    3. 963 − 889 = 74
    Ergebnis:
    stimmt, 74
  3. ★24
    Zeynep erhält für 117 · 43 das Ergebnis 6031. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 100 · 40 = 4000
    2. 6031 liegt zu weit weg. Genau: 117 · 43 = 5031
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 5031

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Tom rechnet 4 + 77 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    47716
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 16 + 77
    2. 4 + 16 = 20
    3. 20 + 77 = 97
    Ergebnis:
    97
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 50 · 18 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    50182
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 18
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 18 = 1800
    Ergebnis:
    1800
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 66 = 50 + ___
    4766
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
    2. Also muss 66 um 3 kleiner werden: 66 − 3 = 63
    3. 50 + 63 = 113
    Ergebnis:
    63
  4. ●28
    Lea rechnet 89 − 18 als 89 − 20 und erhält 69. Ist das schon das Ergebnis?
    89 − 1889 − 20
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 69 + 2 = 71
    Ergebnis:
    Nein, 71
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
    3. 120 − 3 = 117
    Ergebnis:
    117
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 26 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2067
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 20 = 140
    2. Rechter Teil: 7 · 6 = 42
    3. Zusammen: 140 + 42 = 182
    Ergebnis:
    182 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 41 + 67 + 19 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    416719
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    127

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 34 = 40 + ___
    3934
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 7 Reihen mit je 13 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    91 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    297 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 7 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Paul verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Paul rechnet 553 − 328 und erhält 225. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 225

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 147
  2. 91
  3. 947
  4. 41
  5. 32
  6. 1485
  7. 195
  8. 135
  9. 435
  10. 32
  11. 66 Murmeln
  12. 52
  13. 10
  14. 52
  15. 64
  16. 210
  17. 70
  18. 180
  19. zerlegen, 354
  20. halbieren und verdoppeln, 90
  21. vertauschen, 134
  22. falsch, richtig ist 141
  23. stimmt, 74
  24. falsch, richtig ist 5031
  25. 97
  26. 1800
  27. 63
  28. Nein, 71
  29. 117
  30. 182 Kästchen
  31. 127
  32. 33
  33. 91 Stühle
  34. 33 Murmeln
  35. 14
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  37. halbieren und verdoppeln, 300
  38. stimmt, 225
  39. 33
  40. 126
  41. 26
  42. 12