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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 3 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 7 = 21
    2. 4 + 21 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●40
    Rechne: (5 + 6) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 6 = 11
    2. 11 · 9 = 99
    Ergebnis:
    99

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 9 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 8 = 72
    2. 4 + 72 = 76
    Ergebnis:
    76
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 28 und erhalte 56. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 8 + 73 + 52 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
87352
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 8 + 52 + 73
  2. 8 + 52 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 73 = 133
  1. Vertauschen: 8 + 52 + 73
  2. 8 + 52 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 73 = 133
Ergebnis:
133

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 16 + 38 + 34
    163834
    So fängst du an:
    Vertauschen: 16 + 34 + 38
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 34 + 38
    2. 16 + 34 = 50
    3. 50 + 38 = 88
    Ergebnis:
    88
  2. ●2
    Hanna rechnet 48 + 63 + 12 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    486312
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 48 + 12 + 63
    2. 48 + 12 = 60
    3. 60 + 63 = 123
    Ergebnis:
    123
  3. ★3
    Rechne geschickt: 206 + 695 + 63 + 94 + 37
    206695639437
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 206 + 94 + 63 + 37 + 695
    2. 206 + 94 = 300 und 63 + 37 = 100
    3. 300 + 100 + 695 = 1095
    Ergebnis:
    1095

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 84
29784
Schritt für Schritt
  1. 297 bekommt 3 dazu, 84 gibt 3 ab.
  2. 297 + 84 = 300 + 81
  3. 300 + 81 = 381
  1. 297 bekommt 3 dazu, 84 gibt 3 ab.
  2. 297 + 84 = 300 + 81
  3. 300 + 81 = 381
Ergebnis:
381

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 59
    6759
    So fängst du an:
    67 bekommt 3 dazu, 59 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 59 gibt 3 ab.
    2. 67 + 59 = 70 + 56
    3. 70 + 56 = 126
    Ergebnis:
    126
  2. ●5
    Aylin rechnet 98 + 53 als 100 + 53. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    9853
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 53 = 153.
    3. 2 wieder abziehen: 153 − 2 = 151
    Ergebnis:
    151
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1996 + 969 = 2000 + ___
    1996969
    Lösung zeigen
    1. 1996 wird zu 2000: 4 mehr.
    2. Also muss 969 um 4 kleiner werden: 969 − 4 = 965
    3. 2000 + 965 = 2965
    Ergebnis:
    965

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 39
Schritt für Schritt
  1. 39 = 40 − 1
  2. 7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
  3. 280 − 7 = 273
  1. 39 = 40 − 1
  2. 7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
  3. 280 − 7 = 273
Ergebnis:
273

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Reihen mit je 43 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 43
    Lösung zeigen
    1. 6 · 43
    2. 43 = 40 + 3
    3. 6 · 40 = 240 und 6 · 3 = 18
    4. 240 + 18 = 258
    Ergebnis:
    258 Stühle
  2. ●8
    Es gibt 6 Tüten mit je 15 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 15
    2. 15 = 10 + 5
    3. 6 · 10 = 60 und 6 · 5 = 30
    4. 60 + 30 = 90
    Ergebnis:
    90 Bonbons
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 27
    Lösung zeigen
    1. 27 = 20 + 7
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 7 = 63
    3. 180 + 63 = 243
    Ergebnis:
    243

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

567 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 567 : 9
  2. 567 = 540 + 27
  3. 540 : 9 = 60 und 27 : 9 = 3
  4. 60 + 3 = 63
  1. 567 : 9
  2. 567 = 540 + 27
  3. 540 : 9 = 60 und 27 : 9 = 3
  4. 60 + 3 = 63
Ergebnis:
63 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 108 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 108 : 6?
    108: 6
    So fängst du an:
    108 = 60 + 48
    Lösung zeigen
    1. 108 = 60 + 48
    2. 60 : 6 = 10 und 48 : 6 = 8
    3. 10 + 8 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●11
    Zerlege 102 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 102 : 3?
    102: 3
    Lösung zeigen
    1. 102 = 90 + 12
    2. 90 : 3 = 30 und 12 : 3 = 4
    3. 30 + 4 = 34
    Ergebnis:
    34
  3. ★12
    297 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 297 : 9
    2. 297 = 270 + 27
    3. 270 : 9 = 30 und 27 : 9 = 3
    4. 30 + 3 = 33
    Ergebnis:
    33 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 70 − 30 = ___ − 32
Schritt für Schritt
  1. 30 wird zu 32: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 70 um 2 größer.
  3. 70 + 2 = 72
  1. 30 wird zu 32: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 70 um 2 größer.
  3. 70 + 2 = 72
Ergebnis:
72

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 39 + 38 = 40 + ___
    39 + 38=40 + ?
    So fängst du an:
    39 wird zu 40: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 38 um 1 kleiner.
    3. 38 − 1 = 37
    Ergebnis:
    37
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 61 − 43 = ___ − 53
    Lösung zeigen
    1. 43 wird zu 53: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 61 um 10 größer.
    3. 61 + 10 = 71
    Ergebnis:
    71
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 7 · 42 + 7 · 5 = 7 · ___
    7 · 42 + 7 · 5=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 7.
    2. 7 mal 42 und 7 mal 5 sind zusammen 7 mal (42 + 5).
    3. 42 + 5 = 47
    Ergebnis:
    47

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
Schritt für Schritt
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 75
    Lösung zeigen
    1. 12 · 75 = 6 · 150
    2. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 309 + 299? Nenne ihn und rechne.
309 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 309 + 299 = 308 + 300
  3. 308 + 300 = 608
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 309 + 299 = 308 + 300
  3. 308 + 300 = 608
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 608

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 21 + 78 + 79? Nenne ihn und rechne.
    21 + 78 + 79zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 21 + 79 = 100
    3. 100 + 78 = 178
    Ergebnis:
    vertauschen, 178
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah rechnet 560 : 8 und erhält 70. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
560 : 8Ergebnis 70?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 70 · 8 = 560
  2. 560 ist genau 560: Es stimmt.
  3. 560 : 8 = 70
  1. Umkehraufgabe: 70 · 8 = 560
  2. 560 ist genau 560: Es stimmt.
  3. 560 : 8 = 70
Ergebnis:
stimmt, 70

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas rechnet 93 : 3 und erhält 41. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    93 : 3Ergebnis 41?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 41 · 3 = 123
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 41 · 3 = 123
    2. 123 ist nicht 93: Es ist falsch.
    3. 93 : 3 = 31
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 31
  2. ●23
    Elias rechnet 240 : 4 und erhält 70. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    240 : 4Ergebnis 70?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 70 · 4 = 280
    2. 280 ist nicht 240: Es ist falsch.
    3. 240 : 4 = 60
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 60
  3. ★24
    Emma rechnet 2912 − 2174 und erhält 728. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 728 + 2174 = 2902
    2. 2902 ist nicht 2912: Es ist falsch.
    3. 2912 − 2174 = 738
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 738

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Elias rechnet 21 + 45 + 39 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    214539
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 39 + 45
    2. 21 + 39 = 60
    3. 60 + 45 = 105
    Ergebnis:
    105
  2. ●26
    Rechne geschickt: 14 · 2 · 5
    1425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 14
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 14 = 140
    Ergebnis:
    140
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 34
    3834
    Lösung zeigen
    1. 38 bekommt 2 dazu, 34 gibt 2 ab.
    2. 38 + 34 = 40 + 32
    3. 40 + 32 = 72
    Ergebnis:
    72
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 219 − 198
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 219 − 198 = 221 − 200
    3. 221 − 200 = 21
    Ergebnis:
    21
  5. ●29
    Es gibt 7 Reihen mit je 41 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 41
    2. 41 = 40 + 1
    3. 7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
    4. 280 + 7 = 287
    Ergebnis:
    287 Stühle
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 27 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2073
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 20 = 60
    2. Rechter Teil: 3 · 7 = 21
    3. Zusammen: 60 + 21 = 81
    Ergebnis:
    81 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Can rechnet 15 + 71 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    15715
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    91

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 48
    19748
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    245

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    108 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 88 − 79 = ___ − 89
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    98

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Emma erhält für 34 · 40 das Ergebnis 1360. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 1360

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 88
  2. 123
  3. 1095
  4. 126
  5. 151
  6. 965
  7. 258 Stühle
  8. 90 Bonbons
  9. 243
  10. 18
  11. 34
  12. 33 Sticker
  13. 37
  14. 71
  15. 47
  16. 180
  17. 70
  18. 900
  19. halbieren und verdoppeln, 200
  20. vertauschen, 178
  21. halbieren und verdoppeln, 80
  22. falsch, richtig ist 31
  23. falsch, richtig ist 60
  24. falsch, richtig ist 738
  25. 105
  26. 140
  27. 72
  28. 21
  29. 287 Stühle
  30. 81 Kästchen
  31. 91
  32. 245
  33. 45
  34. 36 Sticker
  35. 98
  36. 90
  37. halbieren und verdoppeln, 200
  38. stimmt, 1360
  39. 25
  40. 99
  41. 76
  42. 28