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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 2 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 6 = 12
    2. 3 + 12 = 15
    Ergebnis:
    15
  2. ●40
    Rechne: (9 + 5) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 5 = 14
    2. 14 · 5 = 70
    Ergebnis:
    70

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 8 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 3 = 24
    2. 11 + 24 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 32 und erhalte 89. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 26 + 77 + 74
267774
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 26 + 74 + 77
  2. 26 + 74 = 100
  3. 100 + 77 = 177
  1. Vertauschen: 26 + 74 + 77
  2. 26 + 74 = 100
  3. 100 + 77 = 177
Ergebnis:
177

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Elias rechnet 42 + 54 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    425418
    So fängst du an:
    Vertauschen: 42 + 18 + 54
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 42 + 18 + 54
    2. 42 + 18 = 60
    3. 60 + 54 = 114
    Ergebnis:
    114
  2. ●2
    Lina rechnet 39 + 55 + 61 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    395561
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 39 + 61 + 55
    2. 39 + 61 = 100
    3. 100 + 55 = 155
    Ergebnis:
    155
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 83 + 542 + 76 + 17 + 24 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    83542761724
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 83 + 17 + 76 + 24 + 542
    2. 83 + 17 = 100 und 76 + 24 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 100 + 542 = 742
    Ergebnis:
    742

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 49
3849
Schritt für Schritt
  1. 38 bekommt 2 dazu, 49 gibt 2 ab.
  2. 38 + 49 = 40 + 47
  3. 40 + 47 = 87
  1. 38 bekommt 2 dazu, 49 gibt 2 ab.
  2. 38 + 49 = 40 + 47
  3. 40 + 47 = 87
Ergebnis:
87

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 94 = 300 + ___
    29894
    So fängst du an:
    298 wird zu 300: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
    2. Also muss 94 um 2 kleiner werden: 94 − 2 = 92
    3. 300 + 92 = 392
    Ergebnis:
    92
  2. ●5
    Tom rechnet 297 + 55 als 300 + 55. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    29755
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 297 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 55 = 355.
    3. 3 wieder abziehen: 355 − 3 = 352
    Ergebnis:
    352
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 998 + 958
    998958
    Lösung zeigen
    1. 998 bekommt 2 dazu, 958 gibt 2 ab.
    2. 998 + 958 = 1000 + 956
    3. 1000 + 956 = 1956
    Ergebnis:
    1956

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 16
Schritt für Schritt
  1. 16 = 10 + 6
  2. 9 · 10 = 90 und 9 · 6 = 54
  3. 90 + 54 = 144
  1. 16 = 10 + 6
  2. 9 · 10 = 90 und 9 · 6 = 54
  3. 90 + 54 = 144
Ergebnis:
144

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Tüten mit je 44 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 44
    Lösung zeigen
    1. 9 · 44
    2. 44 = 40 + 4
    3. 9 · 40 = 360 und 9 · 4 = 36
    4. 360 + 36 = 396
    Ergebnis:
    396 Bonbons
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
    3. 80 − 4 = 76
    Ergebnis:
    76
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
    3. 420 − 7 = 413
    Ergebnis:
    413

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 216 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 216 : 6?
216: 6
Schritt für Schritt
  1. 216 = 180 + 36
  2. 180 : 6 = 30 und 36 : 6 = 6
  3. 30 + 6 = 36
  1. 216 = 180 + 36
  2. 180 : 6 = 30 und 36 : 6 = 6
  3. 30 + 6 = 36
Ergebnis:
36

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 216 : 8
    So fängst du an:
    216 = 160 + 56
    Lösung zeigen
    1. 216 = 160 + 56
    2. 160 : 8 = 20 und 56 : 8 = 7
    3. 20 + 7 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●11
    81 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 81 : 3
    2. 81 = 60 + 21
    3. 60 : 3 = 20 und 21 : 3 = 7
    4. 20 + 7 = 27
    Ergebnis:
    27 Sticker
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 207 : 3
    Lösung zeigen
    1. 207 = 180 + 27
    2. 180 : 3 = 60 und 27 : 3 = 9
    3. 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 29 + 55 = 31 + ___
29 + 55=31 + ?
Schritt für Schritt
  1. 29 wird zu 31: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 55 um 2 kleiner.
  3. 55 − 2 = 53
  1. 29 wird zu 31: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 55 um 2 kleiner.
  3. 55 − 2 = 53
Ergebnis:
53

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 12 = 4 · ___
    8 · 12=4 · ?
    So fängst du an:
    8 wird halb so groß: 4.
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 24 + 39 = 23 + ___
    24 + 39=23 + ?
    Lösung zeigen
    1. 24 wird zu 23: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 39 um 1 größer.
    3. 39 + 1 = 40
    Ergebnis:
    40
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 16 + 71 = 17 + ___
    16 + 71=17 + ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird zu 17: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 71 um 1 kleiner.
    3. 71 − 1 = 70
    Ergebnis:
    70

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Tom verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zeynep verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 22 · 15
    Lösung zeigen
    1. 22 · 15 = 11 · 30
    2. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 400

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 82? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 82 = 80 + 2.
    2. 9 · 80 = 720 und 9 · 2 = 18
    3. Zusammen: 738
    Ergebnis:
    zerlegen, 738
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 18 + 74 + 82? Nenne ihn und rechne.
    18 + 74 + 82zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 18 + 82 = 100
    3. 100 + 74 = 174
    Ergebnis:
    vertauschen, 174

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lea erhält für 77 · 34 das Ergebnis 2618. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 30 = 2400
  2. 2618 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 77 · 34 = 2618
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 80 · 30 = 2400
  2. 2618 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 77 · 34 = 2618
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 2618

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah erhält für 32 · 39 das Ergebnis 1348. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 30 · 40 = 1200
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 40 = 1200
    2. 1348 liegt zu weit weg. Genau: 32 · 39 = 1248
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1248
  2. ●23
    Sofia rechnet 522 : 6 und erhält 97. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    522 : 6Ergebnis 97?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 97 · 6 = 582
    2. 582 ist nicht 522: Es ist falsch.
    3. 522 : 6 = 87
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 87
  3. ★24
    Tom rechnet 7810 − 4495 und erhält 3335. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 3335 + 4495 = 7830
    2. 7830 ist nicht 7810: Es ist falsch.
    3. 7810 − 4495 = 3315
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3315

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 19 + 62 + 11
    196211
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    1. Vertauschen: 19 + 11 + 62
    2. 19 + 11 = 30
    3. 30 + 62 = 92
    Ergebnis:
    92
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 5 · 4 · 25 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    5425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 5
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 5 = 500
    Ergebnis:
    500
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 66 = 100 + ___
    9766
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 66 um 3 kleiner werden: 66 − 3 = 63
    3. 100 + 63 = 163
    Ergebnis:
    63
  4. ●28
    Aylin rechnet 219 − 198 als 219 − 200 und erhält 19. Ist das schon das Ergebnis?
    219 − 198219 − 200
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 19 + 2 = 21
    Ergebnis:
    Nein, 21
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
    3. 140 − 7 = 133
    Ergebnis:
    133
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 15?
    1057
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 10 = 70
    2. Rechts: 7 · 5 = 35
    3. 7 · 15 = 70 + 35 = 105
    Ergebnis:
    7 · 10 und 7 · 5, zusammen 105

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Emma rechnet 22 + 66 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    226618
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    106

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Noah rechnet 98 + 26 als 100 + 26. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    9826
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    124

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 37
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    185

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 165 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 93 − 87 = ___ − 88
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    94

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 859 − 577 und erhält 302. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 282

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 114
  2. 155
  3. 742
  4. 92
  5. 352
  6. 1956
  7. 396 Bonbons
  8. 76
  9. 413
  10. 27
  11. 27 Sticker
  12. 69
  13. 24
  14. 40
  15. 70
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. 90
  18. 330
  19. halbieren und verdoppeln, 200
  20. zerlegen, 738
  21. vertauschen, 174
  22. falsch, richtig ist 1248
  23. falsch, richtig ist 87
  24. falsch, richtig ist 3315
  25. 92
  26. 500
  27. 63
  28. Nein, 21
  29. 133
  30. 7 · 10 und 7 · 5, zusammen 105
  31. 106
  32. 124
  33. 185
  34. 33
  35. 94
  36. 90
  37. halbieren und verdoppeln, 200
  38. falsch, richtig ist 282
  39. 15
  40. 70
  41. 35
  42. 57