Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 57 − 3 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 7 = 21
    2. 57 − 21 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●40
    Rechne: (4 + 9) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 9 = 13
    2. 13 · 7 = 91
    Ergebnis:
    91

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 9 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 4 = 36
    2. 3 + 36 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 33 und erhalte 61. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 14 + 72 + 26
147226
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 14 + 26 + 72
  2. 14 + 26 = 40
  3. 40 + 72 = 112
  1. Vertauschen: 14 + 26 + 72
  2. 14 + 26 = 40
  3. 40 + 72 = 112
Ergebnis:
112

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 12 + 15 + 18
    121518
    So fängst du an:
    Vertauschen: 12 + 18 + 15
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 18 + 15
    2. 12 + 18 = 30
    3. 30 + 15 = 45
    Ergebnis:
    45
  2. ●2
    Sofia rechnet 77 + 16 + 23 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    771623
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 77 + 23 + 16
    2. 77 + 23 = 100
    3. 100 + 16 = 116
    Ergebnis:
    116
  3. ★3
    Tom rechnet 158 + 717 + 11 + 42 + 89 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    158717114289
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 158 + 42 + 11 + 89 + 717
    2. 158 + 42 = 200 und 11 + 89 = 100
    3. 200 + 100 + 717 = 1017
    Ergebnis:
    1017

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Tom rechnet 197 + 77 als 200 + 77. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
19777
Schritt für Schritt
  1. Tom hat 197 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 77 = 277.
  3. 3 wieder abziehen: 277 − 3 = 274
  1. Tom hat 197 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 77 = 277.
  3. 3 wieder abziehen: 277 − 3 = 274
Ergebnis:
274

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Can rechnet 198 + 65 als 200 + 65. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    19865
    So fängst du an:
    Can hat 198 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Can hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 65 = 265.
    3. 2 wieder abziehen: 265 − 2 = 263
    Ergebnis:
    263
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 84 = 70 + ___
    6984
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
    2. Also muss 84 um 1 kleiner werden: 84 − 1 = 83
    3. 70 + 83 = 153
    Ergebnis:
    83
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 396 + 465
    396465
    Lösung zeigen
    1. 396 bekommt 4 dazu, 465 gibt 4 ab.
    2. 396 + 465 = 400 + 461
    3. 400 + 461 = 861
    Ergebnis:
    861

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
  3. 270 − 9 = 261
  1. 29 = 30 − 1
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
  3. 270 − 9 = 261
Ergebnis:
261

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
    3. 120 − 3 = 117
    Ergebnis:
    117
  2. ●8
    Es gibt 4 Reihen mit je 56 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 56
    2. 56 = 50 + 6
    3. 4 · 50 = 200 und 4 · 6 = 24
    4. 200 + 24 = 224
    Ergebnis:
    224 Stühle
  3. ★9
    Es gibt 7 Tüten mit je 98 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 98
    2. 98 = 90 + 8
    3. 7 · 90 = 630 und 7 · 8 = 56
    4. 630 + 56 = 686
    Ergebnis:
    686 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 90 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 90 : 6?
90: 6
Schritt für Schritt
  1. 90 = 60 + 30
  2. 60 : 6 = 10 und 30 : 6 = 5
  3. 10 + 5 = 15
  1. 90 = 60 + 30
  2. 60 : 6 = 10 und 30 : 6 = 5
  3. 10 + 5 = 15
Ergebnis:
15

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 315 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 315 : 7?
    315: 7
    So fängst du an:
    315 = 280 + 35
    Lösung zeigen
    1. 315 = 280 + 35
    2. 280 : 7 = 40 und 35 : 7 = 5
    3. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45
  2. ●11
    Zerlege 612 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 612 : 9?
    612: 9
    Lösung zeigen
    1. 612 = 540 + 72
    2. 540 : 9 = 60 und 72 : 9 = 8
    3. 60 + 8 = 68
    Ergebnis:
    68
  3. ★12
    805 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 805 : 5
    2. 805 = 800 + 5
    3. 800 : 5 = 160 und 5 : 5 = 1
    4. 160 + 1 = 161
    Ergebnis:
    161 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 7 = 9 · ___
18 · 7=9 · ?
Schritt für Schritt
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
  3. 7 · 2 = 14
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
  3. 7 · 2 = 14
Ergebnis:
14

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 60 − 30 = ___ − 32
    So fängst du an:
    30 wird zu 32: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 30 wird zu 32: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 60 um 2 größer.
    3. 60 + 2 = 62
    Ergebnis:
    62
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 11 = 3 · ___
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 14 = 2 · ___
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
Schritt für Schritt
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Elias verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 176 + 497? Nenne ihn und rechne.
176 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 176 + 497 = 173 + 500
  3. 173 + 500 = 673
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 176 + 497 = 173 + 500
  3. 173 + 500 = 673
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 673

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 276 + 598? Nenne ihn und rechne.
    276 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 276 + 598 = 274 + 600
    3. 274 + 600 = 874
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 874
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 19 + 37 + 81? Nenne ihn und rechne.
    19 + 37 + 81zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 19 + 81 = 100
    3. 100 + 37 = 137
    Ergebnis:
    vertauschen, 137
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 44 + 51 + 56? Nenne ihn und rechne.
    44 + 51 + 56zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 44 + 56 = 100
    3. 100 + 51 = 151
    Ergebnis:
    vertauschen, 151

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Jonas rechnet 231 : 3 und erhält 79. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
231 : 3Ergebnis 79?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 79 · 3 = 237
  2. 237 ist nicht 231: Es ist falsch.
  3. 231 : 3 = 77
  1. Umkehraufgabe: 79 · 3 = 237
  2. 237 ist nicht 231: Es ist falsch.
  3. 231 : 3 = 77
Ergebnis:
falsch, richtig ist 77

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom rechnet 208 : 8 und erhält 25. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    208 : 8Ergebnis 25?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 25 · 8 = 200
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 25 · 8 = 200
    2. 200 ist nicht 208: Es ist falsch.
    3. 208 : 8 = 26
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 26
  2. ●23
    Can erhält für 89 · 44 das Ergebnis 3716. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 90 · 40 = 3600
    2. 3716 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 89 · 44 = 3916
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3916
  3. ★24
    Aylin rechnet 5616 : 9 und erhält 623. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    5616 : 9Ergebnis 623?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 623 · 9 = 5607
    2. 5607 ist nicht 5616: Es ist falsch.
    3. 5616 : 9 = 624
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 624

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Jonas rechnet 81 + 38 + 19 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    813819
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 81 + 19 + 38
    2. 81 + 19 = 100
    3. 100 + 38 = 138
    Ergebnis:
    138
  2. ●26
    Rechne geschickt: 19 · 2 · 5
    1925
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 19
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 19 = 190
    Ergebnis:
    190
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 89
    9989
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 89 gibt 1 ab.
    2. 99 + 89 = 100 + 88
    3. 100 + 88 = 188
    Ergebnis:
    188
  4. ●28
    Tom rechnet 93 − 49 als 93 − 50 und erhält 43. Ist das schon das Ergebnis?
    93 − 4993 − 50
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 43 + 1 = 44
    Ergebnis:
    Nein, 44
  5. ●29
    Es gibt 7 Reihen mit je 39 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 39
    2. 39 = 30 + 9
    3. 7 · 30 = 210 und 7 · 9 = 63
    4. 210 + 63 = 273
    Ergebnis:
    273 Stühle
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 26 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2063
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 20 = 60
    2. Rechter Teil: 3 · 6 = 18
    3. Zusammen: 60 + 18 = 78
    Ergebnis:
    78 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Noah rechnet 6 + 35 + 24 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    63524
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 77
    19877
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    275

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 7 Reihen mit je 19 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    133 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    156 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 56 − 50 = ___ − 52
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 199 + 497? Nenne ihn und rechne.
    199 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 696

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea rechnet 474 − 209 und erhält 255. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 265

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 45
  2. 116
  3. 1017
  4. 263
  5. 83
  6. 861
  7. 117
  8. 224 Stühle
  9. 686 Bonbons
  10. 45
  11. 68
  12. 161 Bücher
  13. 62
  14. 22
  15. 28
  16. 200
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. 400
  19. gegensinnig verändern, 874
  20. vertauschen, 137
  21. vertauschen, 151
  22. falsch, richtig ist 26
  23. falsch, richtig ist 3916
  24. falsch, richtig ist 624
  25. 138
  26. 190
  27. 188
  28. Nein, 44
  29. 273 Stühle
  30. 78 Kästchen
  31. 65
  32. 275
  33. 133 Stühle
  34. 52 Bücher
  35. 58
  36. 400
  37. gegensinnig verändern, 696
  38. falsch, richtig ist 265
  39. 36
  40. 91
  41. 39
  42. 28