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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 4 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 9 = 36
    2. 5 + 36 = 41
    Ergebnis:
    41
  2. ●40
    Rechne: (8 + 2) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 2 = 10
    2. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 7 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 7 = 49
    2. 3 + 49 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 20 und erhalte 73. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Paul rechnet 16 + 27 + 84 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
162784
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 16 + 84 + 27
  2. 16 + 84 = 100
  3. 100 + 27 = 127
  1. Vertauschen: 16 + 84 + 27
  2. 16 + 84 = 100
  3. 100 + 27 = 127
Ergebnis:
127

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 3 + 35 + 27 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    33527
    So fängst du an:
    Vertauschen: 3 + 27 + 35
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 3 + 27 + 35
    2. 3 + 27 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 35 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●2
    Rechne geschickt: 36 + 21 + 4
    36214
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 36 + 4 + 21
    2. 36 + 4 = 40
    3. 40 + 21 = 61
    Ergebnis:
    61
  3. ★3
    Zeynep rechnet 34 + 505 + 73 + 66 + 27 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    34505736627
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 66 + 73 + 27 + 505
    2. 34 + 66 = 100 und 73 + 27 = 100
    3. 100 + 100 + 505 = 705
    Ergebnis:
    705

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 76 = 70 + ___
6976
Schritt für Schritt
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Also muss 76 um 1 kleiner werden: 76 − 1 = 75
  3. 70 + 75 = 145
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Also muss 76 um 1 kleiner werden: 76 − 1 = 75
  3. 70 + 75 = 145
Ergebnis:
75

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 27 = 50 + ___
    4827
    So fängst du an:
    48 wird zu 50: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Also muss 27 um 2 kleiner werden: 27 − 2 = 25
    3. 50 + 25 = 75
    Ergebnis:
    25
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 87 = 100 + ___
    9987
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 87 um 1 kleiner werden: 87 − 1 = 86
    3. 100 + 86 = 186
    Ergebnis:
    86
  3. ★6
    Noah rechnet 399 + 967 als 400 + 967. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    399967
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 399 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 400 + 967 = 1367.
    3. 1 wieder abziehen: 1367 − 1 = 1366
    Ergebnis:
    1366

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 56
Schritt für Schritt
  1. 56 = 50 + 6
  2. 8 · 50 = 400 und 8 · 6 = 48
  3. 400 + 48 = 448
  1. 56 = 50 + 6
  2. 8 · 50 = 400 und 8 · 6 = 48
  3. 400 + 48 = 448
Ergebnis:
448

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Tüten mit je 16 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 16
    Lösung zeigen
    1. 9 · 16
    2. 16 = 10 + 6
    3. 9 · 10 = 90 und 9 · 6 = 54
    4. 90 + 54 = 144
    Ergebnis:
    144 Bonbons
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 30 + 9
    2. 4 · 30 = 120 und 4 · 9 = 36
    3. 120 + 36 = 156
    Ergebnis:
    156
  3. ★9
    Es gibt 8 Hefte mit je 37 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 37
    2. 37 = 30 + 7
    3. 8 · 30 = 240 und 8 · 7 = 56
    4. 240 + 56 = 296
    Ergebnis:
    296 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

204 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 204 : 3
  2. 204 = 180 + 24
  3. 180 : 3 = 60 und 24 : 3 = 8
  4. 60 + 8 = 68
  1. 204 : 3
  2. 204 = 180 + 24
  3. 180 : 3 = 60 und 24 : 3 = 8
  4. 60 + 8 = 68
Ergebnis:
68 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    235 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    235 : 5
    Lösung zeigen
    1. 235 : 5
    2. 235 = 200 + 35
    3. 200 : 5 = 40 und 35 : 5 = 7
    4. 40 + 7 = 47
    Ergebnis:
    47 Sticker
  2. ●11
    Zerlege 123 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 123 : 3?
    123: 3
    Lösung zeigen
    1. 123 = 120 + 3
    2. 120 : 3 = 40 und 3 : 3 = 1
    3. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41
  3. ★12
    Zerlege 972 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 972 : 6?
    972: 6
    Lösung zeigen
    1. 972 = 960 + 12
    2. 960 : 6 = 160 und 12 : 6 = 2
    3. 160 + 2 = 162
    Ergebnis:
    162

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 48 − 35 = ___ − 45
Schritt für Schritt
  1. 35 wird zu 45: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 48 um 10 größer.
  3. 48 + 10 = 58
  1. 35 wird zu 45: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 48 um 10 größer.
  3. 48 + 10 = 58
Ergebnis:
58

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 11 = 4 · ___
    So fängst du an:
    8 wird halb so groß: 4.
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 21 + 16 = 18 + ___
    Lösung zeigen
    1. 21 wird zu 18: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 16 um 3 größer.
    3. 16 + 3 = 19
    Ergebnis:
    19
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 9 · 42 + 9 · 4 = 9 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 9.
    2. 9 mal 42 und 9 mal 4 sind zusammen 9 mal (42 + 4).
    3. 42 + 4 = 46
    Ergebnis:
    46

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Warum ist 14 · 35 dasselbe wie 7 · 70? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 35 = 7 · 70
    3. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 18 + 56 + 82? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 18 + 82 = 100
  3. 100 + 56 = 156
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 18 + 82 = 100
  3. 100 + 56 = 156
Ergebnis:
vertauschen, 156

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 34 + 66 + 66? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 34 + 66 = 100
    3. 100 + 66 = 166
    Ergebnis:
    vertauschen, 166
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 45 + 48 + 55? Nenne ihn und rechne.
    45 + 48 + 55zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 45 + 55 = 100
    3. 100 + 48 = 148
    Ergebnis:
    vertauschen, 148

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 522 : 9 und erhält 68. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
522 : 9Ergebnis 68?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 68 · 9 = 612
  2. 612 ist nicht 522: Es ist falsch.
  3. 522 : 9 = 58
  1. Umkehraufgabe: 68 · 9 = 612
  2. 612 ist nicht 522: Es ist falsch.
  3. 522 : 9 = 58
Ergebnis:
falsch, richtig ist 58

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma rechnet 459 − 294 und erhält 165. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 165 + 294 = 459
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 165 + 294 = 459
    2. 459 ist genau 459: Es stimmt.
    3. 459 − 294 = 165
    Ergebnis:
    stimmt, 165
  2. ●23
    Jonas rechnet 592 : 8 und erhält 74. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    592 : 8Ergebnis 74?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 74 · 8 = 592
    2. 592 ist genau 592: Es stimmt.
    3. 592 : 8 = 74
    Ergebnis:
    stimmt, 74
  3. ★24
    Paul rechnet 6108 − 348 und erhält 5760. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 5760 + 348 = 6108
    2. 6108 ist genau 6108: Es stimmt.
    3. 6108 − 348 = 5760
    Ergebnis:
    stimmt, 5760

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 9 + 28 + 11
    92811
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 11 + 28
    2. 9 + 11 = 20
    3. 20 + 28 = 48
    Ergebnis:
    48
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Kisten. In jeder Kiste sind 16 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Kisten16 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 16
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 16 = 1600
    Ergebnis:
    1600 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 63
    4863
    Lösung zeigen
    1. 48 bekommt 2 dazu, 63 gibt 2 ab.
    2. 48 + 63 = 50 + 61
    3. 50 + 61 = 111
    Ergebnis:
    111
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 137 − 97 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 137 um 3 größer: 140.
    3. 140 − 100 = 40
    Ergebnis:
    140
  5. ●29
    Es gibt 5 Hefte mit je 45 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 45
    2. 45 = 40 + 5
    3. 5 · 40 = 200 und 5 · 5 = 25
    4. 200 + 25 = 225
    Ergebnis:
    225 Hefte
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 22 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2025
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 20 = 100
    2. Rechter Teil: 5 · 2 = 10
    3. Zusammen: 100 + 10 = 110
    Ergebnis:
    110 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 16 + 81 + 4
    16814
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    101

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 94
    19794
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    291

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 3 Hefte mit je 14 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 352 : 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    44

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 11 = 9 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 59? Nenne ihn und rechne.
    9 · 59zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 531

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina rechnet 482 − 230 und erhält 242. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 252

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 65
  2. 61
  3. 705
  4. 25
  5. 86
  6. 1366
  7. 144 Bonbons
  8. 156
  9. 296 Hefte
  10. 47 Sticker
  11. 41
  12. 162
  13. 22
  14. 19
  15. 46
  16. 70
  17. 80
  18. 490
  19. halbieren und verdoppeln, 300
  20. vertauschen, 166
  21. vertauschen, 148
  22. stimmt, 165
  23. stimmt, 74
  24. stimmt, 5760
  25. 48
  26. 1600 Bälle
  27. 111
  28. 140
  29. 225 Hefte
  30. 110 Kästchen
  31. 101
  32. 291
  33. 42 Hefte
  34. 44
  35. 22
  36. 200
  37. zerlegen, 531
  38. falsch, richtig ist 252
  39. 41
  40. 20
  41. 52
  42. 53