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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 55 − 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 55 − 24 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●40
    Rechne: (2 + 9) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 9 = 11
    2. 11 · 8 = 88
    Ergebnis:
    88

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 8 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 3 = 24
    2. 3 + 24 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 19 und erhalte 70. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Noah rechnet 37 + 45 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
37453
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 37 + 3 + 45
  2. 37 + 3 = 40
  3. 40 + 45 = 85
  1. Vertauschen: 37 + 3 + 45
  2. 37 + 3 = 40
  3. 40 + 45 = 85
Ergebnis:
85

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 41 + 62 + 59
    416259
    So fängst du an:
    Vertauschen: 41 + 59 + 62
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 41 + 59 + 62
    2. 41 + 59 = 100
    3. 100 + 62 = 162
    Ergebnis:
    162
  2. ●2
    Emma rechnet 8 + 28 + 42 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    82842
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 42 + 28
    2. 8 + 42 = 50
    3. 50 + 28 = 78
    Ergebnis:
    78
  3. ★3
    Can rechnet 588 + 177 + 31 + 412 + 69 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    5881773141269
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 588 + 412 + 31 + 69 + 177
    2. 588 + 412 = 1000 und 31 + 69 = 100
    3. 1000 + 100 + 177 = 1277
    Ergebnis:
    1277

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 68
6868
Schritt für Schritt
  1. 68 bekommt 2 dazu, 68 gibt 2 ab.
  2. 68 + 68 = 70 + 66
  3. 70 + 66 = 136
  1. 68 bekommt 2 dazu, 68 gibt 2 ab.
  2. 68 + 68 = 70 + 66
  3. 70 + 66 = 136
Ergebnis:
136

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 97 = 70 + ___
    6797
    So fängst du an:
    67 wird zu 70: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
    2. Also muss 97 um 3 kleiner werden: 97 − 3 = 94
    3. 70 + 94 = 164
    Ergebnis:
    94
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 47 = 200 + ___
    19847
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 47 um 2 kleiner werden: 47 − 2 = 45
    3. 200 + 45 = 245
    Ergebnis:
    45
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 396 + 168
    396168
    Lösung zeigen
    1. 396 bekommt 4 dazu, 168 gibt 4 ab.
    2. 396 + 168 = 400 + 164
    3. 400 + 164 = 564
    Ergebnis:
    564

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 4 · 30 = 120 und 4 · 1 = 4
  3. 120 − 4 = 116
  1. 29 = 30 − 1
  2. 4 · 30 = 120 und 4 · 1 = 4
  3. 120 − 4 = 116
Ergebnis:
116

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 68
    So fängst du an:
    68 = 60 + 8
    Lösung zeigen
    1. 68 = 60 + 8
    2. 6 · 60 = 360 und 6 · 8 = 48
    3. 360 + 48 = 408
    Ergebnis:
    408
  2. ●8
    Es gibt 4 Hefte mit je 34 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 34
    2. 34 = 30 + 4
    3. 4 · 30 = 120 und 4 · 4 = 16
    4. 120 + 16 = 136
    Ergebnis:
    136 Hefte
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 31
    Lösung zeigen
    1. 31 = 30 + 1
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
    3. 150 + 5 = 155
    Ergebnis:
    155

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 256 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 256 : 4?
256: 4
Schritt für Schritt
  1. 256 = 240 + 16
  2. 240 : 4 = 60 und 16 : 4 = 4
  3. 60 + 4 = 64
  1. 256 = 240 + 16
  2. 240 : 4 = 60 und 16 : 4 = 4
  3. 60 + 4 = 64
Ergebnis:
64

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    312 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    312 : 8
    Lösung zeigen
    1. 312 : 8
    2. 312 = 240 + 72
    3. 240 : 8 = 30 und 72 : 8 = 9
    4. 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39 Murmeln
  2. ●11
    Zerlege 140 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 140 : 5?
    140: 5
    Lösung zeigen
    1. 140 = 100 + 40
    2. 100 : 5 = 20 und 40 : 5 = 8
    3. 20 + 8 = 28
    Ergebnis:
    28
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 556 : 4
    Lösung zeigen
    1. 556 = 520 + 36
    2. 520 : 4 = 130 und 36 : 4 = 9
    3. 130 + 9 = 139
    Ergebnis:
    139

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 10 = 4 · ___
Schritt für Schritt
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 41 + 15 = 40 + ___
    41 + 15=40 + ?
    So fängst du an:
    41 wird zu 40: 1 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 41 wird zu 40: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 15 um 1 größer.
    3. 15 + 1 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 74 − 35 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 35 wird zu 40: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 74 um 5 größer.
    3. 74 + 5 = 79
    Ergebnis:
    79
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 4 · 39 + 4 · 8 = 4 · ___
    4 · 39 + 4 · 8=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 4.
    2. 4 mal 39 und 4 mal 8 sind zusammen 4 mal (39 + 8).
    3. 39 + 8 = 47
    Ergebnis:
    47

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Noah verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Hanna verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Jonas verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 33 + 68 + 67? Nenne ihn und rechne.
33 + 68 + 67zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 33 + 67 = 100
  3. 100 + 68 = 168
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 33 + 67 = 100
  3. 100 + 68 = 168
Ergebnis:
vertauschen, 168

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 77? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 77 = 70 + 7.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 77 = 70 + 7.
    2. 5 · 70 = 350 und 5 · 7 = 35
    3. Zusammen: 385
    Ergebnis:
    zerlegen, 385
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 14 + 51 + 86? Nenne ihn und rechne.
    14 + 51 + 86zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 14 + 86 = 100
    3. 100 + 51 = 151
    Ergebnis:
    vertauschen, 151
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 36 + 24 + 64? Nenne ihn und rechne.
    36 + 24 + 64zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 36 + 64 = 100
    3. 100 + 24 = 124
    Ergebnis:
    vertauschen, 124

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia rechnet 544 : 8 und erhält 68. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
544 : 8Ergebnis 68?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 68 · 8 = 544
  2. 544 ist genau 544: Es stimmt.
  3. 544 : 8 = 68
  1. Umkehraufgabe: 68 · 8 = 544
  2. 544 ist genau 544: Es stimmt.
  3. 544 : 8 = 68
Ergebnis:
stimmt, 68

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia rechnet 744 − 414 und erhält 350. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 350 + 414 = 764
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 350 + 414 = 764
    2. 764 ist nicht 744: Es ist falsch.
    3. 744 − 414 = 330
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 330
  2. ●23
    Elias rechnet 538 − 203 und erhält 355. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 355 + 203 = 558
    2. 558 ist nicht 538: Es ist falsch.
    3. 538 − 203 = 335
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 335
  3. ★24
    Mia rechnet 3010 : 5 und erhält 604. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    3010 : 5Ergebnis 604?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 604 · 5 = 3020
    2. 3020 ist nicht 3010: Es ist falsch.
    3. 3010 : 5 = 602
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 602

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 87 + 35 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    158735
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 35 + 87
    2. 15 + 35 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 87 = 137
    Ergebnis:
    137
  2. ●26
    Rechne geschickt: 25 · 5 · 4
    2554
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 5
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 5 = 500
    Ergebnis:
    500
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 65 = 200 + ___
    19765
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Also muss 65 um 3 kleiner werden: 65 − 3 = 62
    3. 200 + 62 = 262
    Ergebnis:
    62
  4. ●28
    Lea rechnet 92 − 48 als 92 − 50 und erhält 42. Ist das schon das Ergebnis?
    92 − 4892 − 50
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 42 + 2 = 44
    Ergebnis:
    Nein, 44
  5. ●29
    Es gibt 7 Hefte mit je 35 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 35
    2. 35 = 30 + 5
    3. 7 · 30 = 210 und 7 · 5 = 35
    4. 210 + 35 = 245
    Ergebnis:
    245 Hefte
  6. ●30
    Zeynep rechnet 3 · 12 so: erst 3 · 10, dann 2 dazu. Zeynep erhält 32. Zeige am Bild, was fehlt.
    1023
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 3 · 2 = 6
    3. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 16 + 29 + 34
    162934
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    79

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 89 = 50 + ___
    4889
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    87

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    196

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    576 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    64 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 52 − 26 = ___ − 31
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 27 + 52 + 73? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 152

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna erhält für 31 · 23 das Ergebnis 913. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 713

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 162
  2. 78
  3. 1277
  4. 94
  5. 45
  6. 564
  7. 408
  8. 136 Hefte
  9. 155
  10. 39 Murmeln
  11. 28
  12. 139
  13. 16
  14. 79
  15. 47
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  17. 210
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 490
  19. zerlegen, 385
  20. vertauschen, 151
  21. vertauschen, 124
  22. falsch, richtig ist 330
  23. falsch, richtig ist 335
  24. falsch, richtig ist 602
  25. 137
  26. 500
  27. 62
  28. Nein, 44
  29. 245 Hefte
  30. 36
  31. 79
  32. 87
  33. 196
  34. 64 Bücher
  35. 57
  36. 90
  37. vertauschen, 152
  38. falsch, richtig ist 713
  39. 31
  40. 88
  41. 27
  42. 51