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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 9 + 35 = 44
    Ergebnis:
    44
  2. ●40
    Rechne: (5 + 2) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 2 = 7
    2. 7 · 8 = 56
    Ergebnis:
    56

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 9 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 6 = 54
    2. 5 + 54 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 28 und erhalte 56. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Tom rechnet 67 + 54 + 33 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
675433
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 67 + 33 + 54
  2. 67 + 33 = 100
  3. 100 + 54 = 154
  1. Vertauschen: 67 + 33 + 54
  2. 67 + 33 = 100
  3. 100 + 54 = 154
Ergebnis:
154

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 81 + 11 + 19
    811119
    So fängst du an:
    Vertauschen: 81 + 19 + 11
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 81 + 19 + 11
    2. 81 + 19 = 100
    3. 100 + 11 = 111
    Ergebnis:
    111
  2. ●2
    Lea rechnet 12 + 14 + 8 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    12148
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 8 + 14
    2. 12 + 8 = 20
    3. 20 + 14 = 34
    Ergebnis:
    34
  3. ★3
    Mia rechnet 56 + 452 + 144 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    56452144
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 56 + 144 + 452
    2. 56 + 144 = 200
    3. 200 + 452 = 652
    Ergebnis:
    652

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ben rechnet 199 + 63 als 200 + 63. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
19963
Schritt für Schritt
  1. Ben hat 199 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 63 = 263.
  3. 1 wieder abziehen: 263 − 1 = 262
  1. Ben hat 199 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 63 = 263.
  3. 1 wieder abziehen: 263 − 1 = 262
Ergebnis:
262

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 54
    4754
    So fängst du an:
    47 bekommt 3 dazu, 54 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 47 bekommt 3 dazu, 54 gibt 3 ab.
    2. 47 + 54 = 50 + 51
    3. 50 + 51 = 101
    Ergebnis:
    101
  2. ●5
    Lina rechnet 47 + 74 als 50 + 74. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    4774
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 74 = 124.
    3. 3 wieder abziehen: 124 − 3 = 121
    Ergebnis:
    121
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 396 + 955 = 400 + ___
    396955
    Lösung zeigen
    1. 396 wird zu 400: 4 mehr.
    2. Also muss 955 um 4 kleiner werden: 955 − 4 = 951
    3. 400 + 951 = 1351
    Ergebnis:
    951

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 33
Schritt für Schritt
  1. 33 = 30 + 3
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 3 = 18
  3. 180 + 18 = 198
  1. 33 = 30 + 3
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 3 = 18
  3. 180 + 18 = 198
Ergebnis:
198

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Tüten mit je 69 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 69
    Lösung zeigen
    1. 8 · 69
    2. 69 = 60 + 9
    3. 8 · 60 = 480 und 8 · 9 = 72
    4. 480 + 72 = 552
    Ergebnis:
    552 Bonbons
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 45
    Lösung zeigen
    1. 45 = 40 + 5
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 5 = 25
    3. 200 + 25 = 225
    Ergebnis:
    225
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 37
    Lösung zeigen
    1. 37 = 30 + 7
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 7 = 49
    3. 210 + 49 = 259
    Ergebnis:
    259

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 306 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 306 : 9?
306: 9
Schritt für Schritt
  1. 306 = 270 + 36
  2. 270 : 9 = 30 und 36 : 9 = 4
  3. 30 + 4 = 34
  1. 306 = 270 + 36
  2. 270 : 9 = 30 und 36 : 9 = 4
  3. 30 + 4 = 34
Ergebnis:
34

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    290 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    290 : 5
    Lösung zeigen
    1. 290 : 5
    2. 290 = 250 + 40
    3. 250 : 5 = 50 und 40 : 5 = 8
    4. 50 + 8 = 58
    Ergebnis:
    58 Bücher
  2. ●11
    Zerlege 45 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 45 : 3?
    45: 3
    Lösung zeigen
    1. 45 = 30 + 15
    2. 30 : 3 = 10 und 15 : 3 = 5
    3. 10 + 5 = 15
    Ergebnis:
    15
  3. ★12
    1584 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1584 : 8
    2. 1584 = 1520 + 64
    3. 1520 : 8 = 190 und 64 : 8 = 8
    4. 190 + 8 = 198
    Ergebnis:
    198 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 49 + 22 = 51 + ___
49 + 22=51 + ?
Schritt für Schritt
  1. 49 wird zu 51: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 22 um 2 kleiner.
  3. 22 − 2 = 20
  1. 49 wird zu 51: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 22 um 2 kleiner.
  3. 22 − 2 = 20
Ergebnis:
20

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 15 = 3 · ___
    6 · 15=3 · ?
    So fängst du an:
    6 wird halb so groß: 3.
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 18 · 14 = 9 · ___
    18 · 14=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 6 · 66 + 6 · 2 = 6 · ___
    6 · 66 + 6 · 2=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
    2. 6 mal 66 und 6 mal 2 sind zusammen 6 mal (66 + 2).
    3. 66 + 2 = 68
    Ergebnis:
    68

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Can verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Jonas verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 45
    Lösung zeigen
    1. 18 · 45 = 9 · 90
    2. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 27? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 27 = 20 + 7.
  2. 6 · 20 = 120 und 6 · 7 = 42
  3. Zusammen: 162
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 27 = 20 + 7.
  2. 6 · 20 = 120 und 6 · 7 = 42
  3. Zusammen: 162
Ergebnis:
zerlegen, 162

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 41 + 36 + 59? Nenne ihn und rechne.
    41 + 36 + 59zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 41 + 59 = 100
    3. 100 + 36 = 136
    Ergebnis:
    vertauschen, 136
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 328 + 497? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 328 + 497 = 325 + 500
    3. 325 + 500 = 825
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 825
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah rechnet 651 : 7 und erhält 103. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
651 : 7Ergebnis 103?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 103 · 7 = 721
  2. 721 ist nicht 651: Es ist falsch.
  3. 651 : 7 = 93
  1. Umkehraufgabe: 103 · 7 = 721
  2. 721 ist nicht 651: Es ist falsch.
  3. 651 : 7 = 93
Ergebnis:
falsch, richtig ist 93

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 415 − 189 und erhält 326. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 326 + 189 = 515
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 326 + 189 = 515
    2. 515 ist nicht 415: Es ist falsch.
    3. 415 − 189 = 226
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 226
  2. ●23
    Ben rechnet 576 : 6 und erhält 106. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    576 : 6Ergebnis 106?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 106 · 6 = 636
    2. 636 ist nicht 576: Es ist falsch.
    3. 576 : 6 = 96
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 96
  3. ★24
    Milan rechnet 6143 − 5712 und erhält 431. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 431 + 5712 = 6143
    2. 6143 ist genau 6143: Es stimmt.
    3. 6143 − 5712 = 431
    Ergebnis:
    stimmt, 431

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 12 + 74 + 18 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    127418
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 18 + 74
    2. 12 + 18 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 74 = 104
    Ergebnis:
    104
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Packungen. In jeder Packung sind 12 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Packungen12 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 12
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 12 = 1200
    Ergebnis:
    1200 Bälle
  3. ●27
    Lina rechnet 68 + 44 als 70 + 44. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    6844
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 68 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 44 = 114.
    3. 2 wieder abziehen: 114 − 2 = 112
    Ergebnis:
    112
  4. ●28
    Lina rechnet 113 − 28 als 113 − 30 und erhält 83. Ist das schon das Ergebnis?
    113 − 28113 − 30
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 83 + 2 = 85
    Ergebnis:
    Nein, 85
  5. ●29
    Es gibt 3 Tüten mit je 59 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 59
    2. 59 = 50 + 9
    3. 3 · 50 = 150 und 3 · 9 = 27
    4. 150 + 27 = 177
    Ergebnis:
    177 Bonbons
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 13 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1037
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 10 = 70
    2. Rechter Teil: 7 · 3 = 21
    3. Zusammen: 70 + 21 = 91
    Ergebnis:
    91 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 12 + 22 + 48 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    122248
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    82

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Can rechnet 199 + 32 als 200 + 32. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    19932
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    231

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Reihen mit je 65 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    520 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 360 : 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 92 − 83 = ___ − 85
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    94

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 44? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 264

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas erhält für 40 · 46 das Ergebnis 1840. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 1840

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 111
  2. 34
  3. 652
  4. 101
  5. 121
  6. 951
  7. 552 Bonbons
  8. 225
  9. 259
  10. 58 Bücher
  11. 15
  12. 198 Murmeln
  13. 30
  14. 28
  15. 68
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  18. 810
  19. vertauschen, 136
  20. gegensinnig verändern, 825
  21. halbieren und verdoppeln, 200
  22. falsch, richtig ist 226
  23. falsch, richtig ist 96
  24. stimmt, 431
  25. 104
  26. 1200 Bälle
  27. 112
  28. Nein, 85
  29. 177 Bonbons
  30. 91 Kästchen
  31. 82
  32. 231
  33. 520 Stühle
  34. 45
  35. 94
  36. 210
  37. zerlegen, 264
  38. stimmt, 1840
  39. 44
  40. 56
  41. 59
  42. 28