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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 4 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 7 = 28
    2. 3 + 28 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●40
    Rechne: (8 + 5) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 5 = 13
    2. 13 · 7 = 91
    Ergebnis:
    91

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 4 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 5 = 20
    2. 12 + 20 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 9 und erhalte 15. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 46 + 48 + 4 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
46484
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 46 + 4 + 48
  2. 46 + 4 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 48 = 98
  1. Vertauschen: 46 + 4 + 48
  2. 46 + 4 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 48 = 98
Ergebnis:
98

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 25 + 74 + 5 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    25745
    So fängst du an:
    Vertauschen: 25 + 5 + 74
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 5 + 74
    2. 25 + 5 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 74 = 104
    Ergebnis:
    104
  2. ●2
    Rechne geschickt: 51 + 73 + 49
    517349
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 51 + 49 + 73
    2. 51 + 49 = 100
    3. 100 + 73 = 173
    Ergebnis:
    173
  3. ★3
    Rechne geschickt: 664 + 507 + 336
    664507336
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 664 + 336 + 507
    2. 664 + 336 = 1000
    3. 1000 + 507 = 1507
    Ergebnis:
    1507

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Noah rechnet 47 + 34 als 50 + 34. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
4734
Schritt für Schritt
  1. Noah hat 47 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 34 = 84.
  3. 3 wieder abziehen: 84 − 3 = 81
  1. Noah hat 47 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 34 = 84.
  3. 3 wieder abziehen: 84 − 3 = 81
Ergebnis:
81

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Jonas rechnet 47 + 85 als 50 + 85. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    4785
    So fängst du an:
    Jonas hat 47 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 85 = 135.
    3. 3 wieder abziehen: 135 − 3 = 132
    Ergebnis:
    132
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 85 = 70 + ___
    6985
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
    2. Also muss 85 um 1 kleiner werden: 85 − 1 = 84
    3. 70 + 84 = 154
    Ergebnis:
    84
  3. ★6
    Sofia rechnet 996 + 299 als 1000 + 299. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    996299
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 996 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 1000 + 299 = 1299.
    3. 4 wieder abziehen: 1299 − 4 = 1295
    Ergebnis:
    1295

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
  3. 120 − 6 = 114
  1. 19 = 20 − 1
  2. 6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
  3. 120 − 6 = 114
Ergebnis:
114

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Hefte mit je 47 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 47
    Lösung zeigen
    1. 6 · 47
    2. 47 = 40 + 7
    3. 6 · 40 = 240 und 6 · 7 = 42
    4. 240 + 42 = 282
    Ergebnis:
    282 Hefte
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
    3. 160 − 8 = 152
    Ergebnis:
    152
  3. ★9
    Es gibt 7 Hefte mit je 52 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 52
    2. 52 = 50 + 2
    3. 7 · 50 = 350 und 7 · 2 = 14
    4. 350 + 14 = 364
    Ergebnis:
    364 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 114 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 114 : 3?
114: 3
Schritt für Schritt
  1. 114 = 90 + 24
  2. 90 : 3 = 30 und 24 : 3 = 8
  3. 30 + 8 = 38
  1. 114 = 90 + 24
  2. 90 : 3 = 30 und 24 : 3 = 8
  3. 30 + 8 = 38
Ergebnis:
38

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    126 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    126 : 7
    Lösung zeigen
    1. 126 : 7
    2. 126 = 70 + 56
    3. 70 : 7 = 10 und 56 : 7 = 8
    4. 10 + 8 = 18
    Ergebnis:
    18 Bücher
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 87 : 3
    Lösung zeigen
    1. 87 = 60 + 27
    2. 60 : 3 = 20 und 27 : 3 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 231 : 7
    Lösung zeigen
    1. 231 = 210 + 21
    2. 210 : 7 = 30 und 21 : 7 = 3
    3. 30 + 3 = 33
    Ergebnis:
    33

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 50 + 20 = 47 + ___
50 + 20=47 + ?
Schritt für Schritt
  1. 50 wird zu 47: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 20 um 3 größer.
  3. 20 + 3 = 23
  1. 50 wird zu 47: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 20 um 3 größer.
  3. 20 + 3 = 23
Ergebnis:
23

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 78 + 21 = 88 + ___
    78 + 21=88 + ?
    So fängst du an:
    78 wird zu 88: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 78 wird zu 88: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 21 um 10 kleiner.
    3. 21 − 10 = 11
    Ergebnis:
    11
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 4 · 6 = 2 · ___
    4 · 6=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 5 · 58 + 5 · 9 = 5 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 5.
    2. 5 mal 58 und 5 mal 9 sind zusammen 5 mal (58 + 9).
    3. 58 + 9 = 67
    Ergebnis:
    67

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
Schritt für Schritt
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 265 + 299? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 265 + 299 = 264 + 300
  3. 264 + 300 = 564
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 265 + 299 = 264 + 300
  3. 264 + 300 = 564
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 564

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 25 + 25 + 75? Nenne ihn und rechne.
    25 + 25 + 75zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 25 + 75 = 100
    3. 100 + 25 = 125
    Ergebnis:
    vertauschen, 125
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 32 + 21 + 68? Nenne ihn und rechne.
    32 + 21 + 68zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 32 + 68 = 100
    3. 100 + 21 = 121
    Ergebnis:
    vertauschen, 121

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben rechnet 340 : 4 und erhält 84. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
340 : 4Ergebnis 84?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 84 · 4 = 336
  2. 336 ist nicht 340: Es ist falsch.
  3. 340 : 4 = 85
  1. Umkehraufgabe: 84 · 4 = 336
  2. 336 ist nicht 340: Es ist falsch.
  3. 340 : 4 = 85
Ergebnis:
falsch, richtig ist 85

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia rechnet 787 − 384 und erhält 403. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 403 + 384 = 787
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 403 + 384 = 787
    2. 787 ist genau 787: Es stimmt.
    3. 787 − 384 = 403
    Ergebnis:
    stimmt, 403
  2. ●23
    Elias rechnet 870 − 120 und erhält 760. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 760 + 120 = 880
    2. 880 ist nicht 870: Es ist falsch.
    3. 870 − 120 = 750
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 750
  3. ★24
    Zeynep rechnet 4120 : 8 und erhält 517. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    4120 : 8Ergebnis 517?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 517 · 8 = 4136
    2. 4136 ist nicht 4120: Es ist falsch.
    3. 4120 : 8 = 515
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 515

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 22 + 11 + 8 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    22118
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 22 + 8 + 11
    2. 22 + 8 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 11 = 41
    Ergebnis:
    41
  2. ●26
    Rechne geschickt: 14 · 5 · 2
    1452
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 14
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 14 = 140
    Ergebnis:
    140
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 44
    19844
    Lösung zeigen
    1. 198 bekommt 2 dazu, 44 gibt 2 ab.
    2. 198 + 44 = 200 + 42
    3. 200 + 42 = 242
    Ergebnis:
    242
  4. ●28
    Lea rechnet 143 − 39 als 143 − 40 und erhält 103. Ist das schon das Ergebnis?
    143 − 39143 − 40
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 103 + 1 = 104
    Ergebnis:
    Nein, 104
  5. ●29
    Es gibt 6 Tüten mit je 26 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 26
    2. 26 = 20 + 6
    3. 6 · 20 = 120 und 6 · 6 = 36
    4. 120 + 36 = 156
    Ergebnis:
    156 Bonbons
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 21 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2014
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 20 = 80
    2. Rechter Teil: 4 · 1 = 4
    3. Zusammen: 80 + 4 = 84
    Ergebnis:
    84 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 18 + 36 + 12 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    183612
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 76 = 40 + ___
    3776
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    73

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    232

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 51 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 51 : 3?
    51: 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 4 = 8 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 39 + 52 + 61? Nenne ihn und rechne.
    39 + 52 + 61zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 152

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom rechnet 385 : 7 und erhält 55. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    385 : 7Ergebnis 55?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 55

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 104
  2. 173
  3. 1507
  4. 132
  5. 84
  6. 1295
  7. 282 Hefte
  8. 152
  9. 364 Hefte
  10. 18 Bücher
  11. 29
  12. 33
  13. 11
  14. 12
  15. 67
  16. 180
  17. 210
  18. 3000
  19. vertauschen, 125
  20. halbieren und verdoppeln, 70
  21. vertauschen, 121
  22. stimmt, 403
  23. falsch, richtig ist 750
  24. falsch, richtig ist 515
  25. 41
  26. 140
  27. 242
  28. Nein, 104
  29. 156 Bonbons
  30. 84 Kästchen
  31. 66
  32. 73
  33. 232
  34. 17
  35. 8
  36. 180
  37. vertauschen, 152
  38. stimmt, 55
  39. 31
  40. 91
  41. 32
  42. 6