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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 3 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
    2. 5 + 27 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●40
    Rechne: (7 + 3) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 3 = 10
    2. 10 · 8 = 80
    Ergebnis:
    80

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 6 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 4 = 24
    2. 10 + 24 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 15 und erhalte 68. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Mia rechnet 7 + 35 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
73513
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 7 + 13 + 35
  2. 7 + 13 = 20
  3. 20 + 35 = 55
  1. Vertauschen: 7 + 13 + 35
  2. 7 + 13 = 20
  3. 20 + 35 = 55
Ergebnis:
55

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 53 + 33 + 47 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    533347
    So fängst du an:
    Vertauschen: 53 + 47 + 33
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 53 + 47 + 33
    2. 53 + 47 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 33 = 133
    Ergebnis:
    133
  2. ●2
    Lea rechnet 4 + 67 + 26 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    46726
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 26 + 67
    2. 4 + 26 = 30
    3. 30 + 67 = 97
    Ergebnis:
    97
  3. ★3
    Can rechnet 152 + 464 + 63 + 48 + 37 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    152464634837
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 152 + 48 + 63 + 37 + 464
    2. 152 + 48 = 200 und 63 + 37 = 100
    3. 200 + 100 + 464 = 764
    Ergebnis:
    764

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 68 = 50 + ___
4768
Schritt für Schritt
  1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
  2. Also muss 68 um 3 kleiner werden: 68 − 3 = 65
  3. 50 + 65 = 115
  1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
  2. Also muss 68 um 3 kleiner werden: 68 − 3 = 65
  3. 50 + 65 = 115
Ergebnis:
65

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lea rechnet 38 + 69 als 40 + 69. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    3869
    So fängst du an:
    Lea hat 38 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 38 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 69 = 109.
    3. 2 wieder abziehen: 109 − 2 = 107
    Ergebnis:
    107
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 56
    6756
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 56 gibt 3 ab.
    2. 67 + 56 = 70 + 53
    3. 70 + 53 = 123
    Ergebnis:
    123
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1998 + 389
    1998389
    Lösung zeigen
    1. 1998 bekommt 2 dazu, 389 gibt 2 ab.
    2. 1998 + 389 = 2000 + 387
    3. 2000 + 387 = 2387
    Ergebnis:
    2387

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 62
Schritt für Schritt
  1. 62 = 60 + 2
  2. 9 · 60 = 540 und 9 · 2 = 18
  3. 540 + 18 = 558
  1. 62 = 60 + 2
  2. 9 · 60 = 540 und 9 · 2 = 18
  3. 540 + 18 = 558
Ergebnis:
558

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 4 Reihen mit je 14 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    4 · 14
    Lösung zeigen
    1. 4 · 14
    2. 14 = 10 + 4
    3. 4 · 10 = 40 und 4 · 4 = 16
    4. 40 + 16 = 56
    Ergebnis:
    56 Stühle
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
    3. 100 − 5 = 95
    Ergebnis:
    95
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
    3. 540 − 9 = 531
    Ergebnis:
    531

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

472 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 472 : 8
  2. 472 = 400 + 72
  3. 400 : 8 = 50 und 72 : 8 = 9
  4. 50 + 9 = 59
  1. 472 : 8
  2. 472 = 400 + 72
  3. 400 : 8 = 50 und 72 : 8 = 9
  4. 50 + 9 = 59
Ergebnis:
59 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    512 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    512 : 8
    Lösung zeigen
    1. 512 : 8
    2. 512 = 480 + 32
    3. 480 : 8 = 60 und 32 : 8 = 4
    4. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64 Sticker
  2. ●11
    Zerlege 270 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 270 : 6?
    270: 6
    Lösung zeigen
    1. 270 = 240 + 30
    2. 240 : 6 = 40 und 30 : 6 = 5
    3. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45
  3. ★12
    1029 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1029 : 7
    2. 1029 = 980 + 49
    3. 980 : 7 = 140 und 49 : 7 = 7
    4. 140 + 7 = 147
    Ergebnis:
    147 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 83 − 12 = ___ − 13
Schritt für Schritt
  1. 12 wird zu 13: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 83 um 1 größer.
  3. 83 + 1 = 84
  1. 12 wird zu 13: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 83 um 1 größer.
  3. 83 + 1 = 84
Ergebnis:
84

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 55 − 30 = ___ − 40
    So fängst du an:
    30 wird zu 40: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 30 wird zu 40: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 55 um 10 größer.
    3. 55 + 10 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 7 = 9 · ___
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 49 − 39 = ___ − 41
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 41: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 49 um 2 größer.
    3. 49 + 2 = 51
    Ergebnis:
    51

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Warum ist 32 · 25 dasselbe wie 16 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 32 · 25 = 16 · 50
    3. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 7 · 80? Nenne ihn und rechne.
7 · 80zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 80 = 80 + 0.
  2. 7 · 80 = 560 und 7 · 0 = 0
  3. Zusammen: 560
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 80 = 80 + 0.
  2. 7 · 80 = 560 und 7 · 0 = 0
  3. Zusammen: 560
Ergebnis:
zerlegen, 560

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 4 · 62? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 62 = 60 + 2.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 62 = 60 + 2.
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 2 = 8
    3. Zusammen: 248
    Ergebnis:
    zerlegen, 248
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 26? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 26 = 20 + 6.
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 6 = 36
    3. Zusammen: 156
    Ergebnis:
    zerlegen, 156
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 74? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 74 = 70 + 4.
    2. 7 · 70 = 490 und 7 · 4 = 28
    3. Zusammen: 518
    Ergebnis:
    zerlegen, 518

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Elias rechnet 322 : 7 und erhält 48. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
322 : 7Ergebnis 48?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 48 · 7 = 336
  2. 336 ist nicht 322: Es ist falsch.
  3. 322 : 7 = 46
  1. Umkehraufgabe: 48 · 7 = 336
  2. 336 ist nicht 322: Es ist falsch.
  3. 322 : 7 = 46
Ergebnis:
falsch, richtig ist 46

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah rechnet 444 : 6 und erhält 76. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    444 : 6Ergebnis 76?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 76 · 6 = 456
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 76 · 6 = 456
    2. 456 ist nicht 444: Es ist falsch.
    3. 444 : 6 = 74
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 74
  2. ●23
    Hanna rechnet 665 − 491 und erhält 184. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 184 + 491 = 675
    2. 675 ist nicht 665: Es ist falsch.
    3. 665 − 491 = 174
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 174
  3. ★24
    Noah rechnet 1592 : 8 und erhält 198. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1592 : 8Ergebnis 198?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 198 · 8 = 1584
    2. 1584 ist nicht 1592: Es ist falsch.
    3. 1592 : 8 = 199
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 199

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 12 + 59 + 8 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    12598
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 8 + 59
    2. 12 + 8 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 59 = 79
    Ergebnis:
    79
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 13 · 4 · 25 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    13425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 13
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 13 = 1300
    Ergebnis:
    1300
  3. ●27
    Can rechnet 39 + 53 als 40 + 53. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    3953
    Lösung zeigen
    1. Can hat 39 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 53 = 93.
    3. 1 wieder abziehen: 93 − 1 = 92
    Ergebnis:
    92
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 133 − 98
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 133 − 98 = 135 − 100
    3. 135 − 100 = 35
    Ergebnis:
    35
  5. ●29
    Es gibt 8 Tüten mit je 45 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 45
    2. 45 = 40 + 5
    3. 8 · 40 = 320 und 8 · 5 = 40
    4. 320 + 40 = 360
    Ergebnis:
    360 Bonbons
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 15?
    1054
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 10 = 40
    2. Rechts: 4 · 5 = 20
    3. 4 · 15 = 40 + 20 = 60
    Ergebnis:
    4 · 10 und 4 · 5, zusammen 60

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 22 + 63 + 38
    226338
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    123

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Aylin rechnet 49 + 26 als 50 + 26. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    4926
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    75

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    114

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 66 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 66 : 3?
    66: 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 79 + 32 = 80 + ___
    79 + 32=80 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 33? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 297

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Emma rechnet 390 : 6 und erhält 65. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    390 : 6Ergebnis 65?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 65

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 133
  2. 97
  3. 764
  4. 107
  5. 123
  6. 2387
  7. 56 Stühle
  8. 95
  9. 531
  10. 64 Sticker
  11. 45
  12. 147 Bücher
  13. 65
  14. 14
  15. 51
  16. 200
  17. 180
  18. 800
  19. zerlegen, 248
  20. zerlegen, 156
  21. zerlegen, 518
  22. falsch, richtig ist 74
  23. falsch, richtig ist 174
  24. falsch, richtig ist 199
  25. 79
  26. 1300
  27. 92
  28. 35
  29. 360 Bonbons
  30. 4 · 10 und 4 · 5, zusammen 60
  31. 123
  32. 75
  33. 114
  34. 22
  35. 31
  36. 180
  37. zerlegen, 297
  38. stimmt, 65
  39. 32
  40. 80
  41. 34
  42. 53