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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 5 + 15 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●40
    Rechne: (9 + 7) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 7 = 16
    2. 16 · 3 = 48
    Ergebnis:
    48

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 2 + 3 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 3 = 9
    2. 2 + 9 = 11
    Ergebnis:
    11
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 35 und erhalte 62. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 4 + 28 + 26
42826
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 4 + 26 + 28
  2. 4 + 26 = 30
  3. 30 + 28 = 58
  1. Vertauschen: 4 + 26 + 28
  2. 4 + 26 = 30
  3. 30 + 28 = 58
Ergebnis:
58

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 9 + 88 + 21 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    98821
    So fängst du an:
    Vertauschen: 9 + 21 + 88
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 21 + 88
    2. 9 + 21 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 88 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●2
    Rechne geschickt: 6 + 68 + 44
    66844
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 44 + 68
    2. 6 + 44 = 50
    3. 50 + 68 = 118
    Ergebnis:
    118
  3. ★3
    Paul rechnet 183 + 174 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    18317417
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 183 + 17 + 174
    2. 183 + 17 = 200
    3. 200 + 174 = 374
    Ergebnis:
    374

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 34 = 40 + ___
3734
Schritt für Schritt
  1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
  2. Also muss 34 um 3 kleiner werden: 34 − 3 = 31
  3. 40 + 31 = 71
  1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
  2. Also muss 34 um 3 kleiner werden: 34 − 3 = 31
  3. 40 + 31 = 71
Ergebnis:
31

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Aylin rechnet 197 + 38 als 200 + 38. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    19738
    So fängst du an:
    Aylin hat 197 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 38 = 238.
    3. 3 wieder abziehen: 238 − 3 = 235
    Ergebnis:
    235
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 46 = 200 + ___
    19946
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 46 um 1 kleiner werden: 46 − 1 = 45
    3. 200 + 45 = 245
    Ergebnis:
    45
  3. ★6
    Ben rechnet 396 + 928 als 400 + 928. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    396928
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 396 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 400 + 928 = 1328.
    3. 4 wieder abziehen: 1328 − 4 = 1324
    Ergebnis:
    1324

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
  3. 180 − 3 = 177
  1. 59 = 60 − 1
  2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
  3. 180 − 3 = 177
Ergebnis:
177

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 33
    So fängst du an:
    33 = 30 + 3
    Lösung zeigen
    1. 33 = 30 + 3
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 3 = 27
    3. 270 + 27 = 297
    Ergebnis:
    297
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 23
    Lösung zeigen
    1. 23 = 20 + 3
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 3 = 9
    3. 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69
  3. ★9
    Es gibt 8 Reihen mit je 65 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 65
    2. 65 = 60 + 5
    3. 8 · 60 = 480 und 8 · 5 = 40
    4. 480 + 40 = 520
    Ergebnis:
    520 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 256 : 4
Schritt für Schritt
  1. 256 = 240 + 16
  2. 240 : 4 = 60 und 16 : 4 = 4
  3. 60 + 4 = 64
  1. 256 = 240 + 16
  2. 240 : 4 = 60 und 16 : 4 = 4
  3. 60 + 4 = 64
Ergebnis:
64

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    366 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    366 : 6
    Lösung zeigen
    1. 366 : 6
    2. 366 = 360 + 6
    3. 360 : 6 = 60 und 6 : 6 = 1
    4. 60 + 1 = 61
    Ergebnis:
    61 Bücher
  2. ●11
    Zerlege 68 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 68 : 4?
    68: 4
    Lösung zeigen
    1. 68 = 40 + 28
    2. 40 : 4 = 10 und 28 : 4 = 7
    3. 10 + 7 = 17
    Ergebnis:
    17
  3. ★12
    Zerlege 966 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 966 : 6?
    966: 6
    Lösung zeigen
    1. 966 = 960 + 6
    2. 960 : 6 = 160 und 6 : 6 = 1
    3. 160 + 1 = 161
    Ergebnis:
    161

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 62 − 12 = ___ − 22
Schritt für Schritt
  1. 12 wird zu 22: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 62 um 10 größer.
  3. 62 + 10 = 72
  1. 12 wird zu 22: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 62 um 10 größer.
  3. 62 + 10 = 72
Ergebnis:
72

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 41 − 30 = ___ − 32
    So fängst du an:
    30 wird zu 32: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 30 wird zu 32: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 41 um 2 größer.
    3. 41 + 2 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 68 − 40 = ___ − 42
    Lösung zeigen
    1. 40 wird zu 42: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 68 um 2 größer.
    3. 68 + 2 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 8 · 6 = 4 · ___
    8 · 6=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Hanna verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  3. ★18
    Emma verdoppelt bei 32 · 25 beide Faktoren und rechnet 64 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 64 · 50 = 3200, aber 32 · 25 = 800
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 236 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    236 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 236 + 299 = 235 + 300
    3. 235 + 300 = 535
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 535
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 22? Nenne ihn. Rechne danach.
    6 · 22zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 22 = 20 + 2.
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 2 = 12
    3. Zusammen: 132
    Ergebnis:
    zerlegen, 132
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6950 − 5225? Nenne ihn. Rechne danach.
    6950 − 5225zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 6950 − 5225 = 1725
    Ergebnis:
    schriftlich, 1725

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul rechnet 296 : 4 und erhält 75. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
296 : 4Ergebnis 75?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 75 · 4 = 300
  2. 300 ist nicht 296: Es ist falsch.
  3. 296 : 4 = 74
  1. Umkehraufgabe: 75 · 4 = 300
  2. 300 ist nicht 296: Es ist falsch.
  3. 296 : 4 = 74
Ergebnis:
falsch, richtig ist 74

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 489 − 357 und erhält 122. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 122 + 357 = 479
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 122 + 357 = 479
    2. 479 ist nicht 489: Es ist falsch.
    3. 489 − 357 = 132
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 132
  2. ●23
    Emma rechnet 360 : 4 und erhält 90. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    360 : 4Ergebnis 90?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 90 · 4 = 360
    2. 360 ist genau 360: Es stimmt.
    3. 360 : 4 = 90
    Ergebnis:
    stimmt, 90
  3. ★24
    Elias rechnet 1395 : 5 und erhält 279. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1395 : 5Ergebnis 279?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 279 · 5 = 1395
    2. 1395 ist genau 1395: Es stimmt.
    3. 1395 : 5 = 279
    Ergebnis:
    stimmt, 279

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 86 + 43 + 14
    864314
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 86 + 14 + 43
    2. 86 + 14 = 100
    3. 100 + 43 = 143
    Ergebnis:
    143
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Packungen. In jeder Packung sind 14 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Packungen14 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 14
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 14 = 1400
    Ergebnis:
    1400 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 37
    29937
    Lösung zeigen
    1. 299 bekommt 1 dazu, 37 gibt 1 ab.
    2. 299 + 37 = 300 + 36
    3. 300 + 36 = 336
    Ergebnis:
    336
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 82 − 29
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 82 − 29 = 83 − 30
    3. 83 − 30 = 53
    Ergebnis:
    53
  5. ●29
    Es gibt 5 Hefte mit je 17 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 17
    2. 17 = 10 + 7
    3. 5 · 10 = 50 und 5 · 7 = 35
    4. 50 + 35 = 85
    Ergebnis:
    85 Hefte
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 27 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2075
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 20 = 100
    2. Rechter Teil: 5 · 7 = 35
    3. Zusammen: 100 + 35 = 135
    Ergebnis:
    135 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Ben rechnet 11 + 73 + 29 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    117329
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    113

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Hanna rechnet 67 + 69 als 70 + 69. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    6769
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    136

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    117

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 301 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 301 : 7?
    301: 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 49 − 34 = ___ − 44
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 5 · 71? Nenne ihn. Rechne danach.
    5 · 71zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 355

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Sofia erhält für 42 · 42 das Ergebnis 1964. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1764

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 118
  2. 118
  3. 374
  4. 235
  5. 45
  6. 1324
  7. 297
  8. 69
  9. 520 Stühle
  10. 61 Bücher
  11. 17
  12. 161
  13. 43
  14. 70
  15. 12
  16. 80
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 800
  19. gegensinnig verändern, 535
  20. zerlegen, 132
  21. schriftlich, 1725
  22. falsch, richtig ist 132
  23. stimmt, 90
  24. stimmt, 279
  25. 143
  26. 1400 Bälle
  27. 336
  28. 53
  29. 85 Hefte
  30. 135 Kästchen
  31. 113
  32. 136
  33. 117
  34. 43
  35. 59
  36. 210
  37. zerlegen, 355
  38. falsch, richtig ist 1764
  39. 20
  40. 48
  41. 11
  42. 27